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Facciamo il Poynting della tramissione

Indice

Premessa

Già IsidoroKZ ha messo in luce come l'energia elettrica si trasmette dall'avvolgimento primario al secondario di un trasformatore. Non solo, ma in una interessante interpretazione dell' effetto pelle, ha accennato a come si propaga negli elettrodotti.
Nel forum qualcuno desiderava sapere se all'esterno di un filo rettilineo di una linea bipolare percorso da corrente continua esiste una componente radiale del campo elettrico. La risposta affermativa di RenzoDF (altrimenti non esiste trasmissione di energia) non è stata successivamente sviluppata, per un'inutile polemica provocata (dal mio punto di vista) dal nuovo utente subito dispensatore di lezioni di forum.
Ho pensato allora ad un articolo: eccolo.

Proviamo dapprima ad esaminare la simbologia degli schemi elettrici. Riferiamoci al più semplice

circuito elettrico

composto da bipolo generatore, linea bifilare e bipolo utilizzatore.
Se indichiamo con U la tensione tra i due fili in una sezione AA qualsiasi della linea, e con I l'intensità di corrente che scorre nei fili, il prodotto P=U \cdot I rappresenta la potenza che attraversa quella sezione AA della linea.

Per rappresentare il flusso di potenza si può usare la freccia verde grande "in mezzo ai fili" della linea, che ha il verso della corrente convenzionale nel filo che ha il potenziale maggiore. Nella sezione individuata dai morsetti del generatore, c'è la potenza che si trasferisce dal generatore alla linea; nella sezione di uscita, individuata dai morsetti dell'utilizzatore, quella che la linea consegna all'utilizzatore. Se la linea non ha perdite, le due potenze coincidono; se ci sono perdite, la potenza di uscita è minore di quella in ingresso: c'è dunque per ogni sezione un flusso di potenza trasversale a quello guidato dalla linea : è la potenza dissipata per effetto Joule. Possiamo rappresentare graficamente i flussi in questo modo

Per il principio di conservazione dell'energia, quindi delle potenze, si ha

Pi = Pu + Pp

con

Pp = Pp1 + Pp2

I disegni mostrano che il flusso di potenza avviene tra i fili e non nei fili. La potenza entra nello spazio tra tra di essi uscendo lateralmente dal generatore; entra nell'utilizzatore uscendo dallo spazio tra i fili; le perdite entrano nei fili dallo spazio tra di essi.
I fili sono isolati tra loro, quindi lo spazio in cui sono immersi è un dielettrico. Sembra dunque essere il dielettrico il mezzo che trasmette l'energia.
Sarà così o è solo una questione di vincoli grafici?
Per avere trasmissione di potenza devono essere contemporaneamente esistenti, cioè diverse da zero, tensione e corrente.
La tensione è legata ad una separazione di cariche, prodotta e mantenuta dal generatore; la corrente ad un loro movimento. La tensione è legata al campo elettrico; la corrente al campo magnetico: per avere trasmissione di energia elettrica i due campi devono essere contemporaneamente esistenti.

Il vettore di Poynting

E' un concetto importante e, per certi aspetti, sorprendente, come messo in luce dalle risposte di IsidoroKZ.
La sua "presenza" è però inevitabile e deriva dal principio che sta alla base della fisica attuale: la conservazione dell'energia.

La definizione

Se in un certo punto dello spazio esistono campo elettrico \mathbf E e campo magnetico \mathbf H, il vettore di Poynting è dato dal loro prodotto esterno

\mathbf S = \mathbf E \times \mathbf H

L'analisi dimensionale del modulo del prodotto, \frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} \cdot \frac{{\rm{A}}}{{\rm{m}}} = \frac{{\rm{W}}}{{{\rm{m}}^2 }} , mostra che il vettore di Poynting ha le dimensioni di una potenza per unità di superficie.
Quindi, ad esempio, ricordando la definizione di flusso di un vettore, se immaginiamo che in tutti i punti dell'area A di figura, S sia costante, il flusso di S attraverso A rappresenta una potenza che "attraversa" quella superficie.
E' inevitabile chiedersi se questo risultato ha un senso fisico. E'senza dubbio incredibile che una costruzione astratta quale è la matematica, riesca ad interpretare la fisica, però non è che qualsiasi operazione con gli enti matematici dia luogo necessariamente a grandezze fisiche reali.
Ma il vettore di Poynting deriva dal principio di conservazione dell'energia. Non è una definizione "casuale" e, in base alla necessità della contemporanea esistenza di campo elettrico e campo magnetico per avere un flusso di energia, l'esistenza di un vettore che permetta di determinarlo è probabile.
La matematica poi ci mette a disposizione il prodotto esterno tra vettori per ricavare un nuovo vettore e l'equazione dimensionale vista ci insospettisce abbastanza che l'idea possa essere giusta.

Flussi energetici nel campo elettromagnetico

Una porzione di spazio, che supponiamo inizialmente privo di materia, sede di un campo elettromagnetico, è un contenitore di energia. Indichiamone con w l'energia specifica ( J / m3) funzione dei punti dello spazio. L'energia presente in un certo istante in un volume ΔV è la somma dell'energia contenuta nei volumi infinitesimi dV in cui esso si può suddividere; in altre parole, l'integrale di w calcolato sull'intero volume:

W = \int\limits_{\Delta V} {w{\rm{d}}V}
.

Assumendo che l'energia contenuta nel volume si conservi, cioè che qualunque fenomeno fisico interno non possa determinarne una variazione, occorre ammettere che il flusso di energia che attraversa la superficie Σ che delimita il volume sia nullo. Se per qualche motivo nel volume ΔV l'energia diminuisce di una certa quantità in un certo tempo, è necessario che una identica quantità esca dalla superficie di delimitazione nello stesso tempo.
Indichiamo con \mathbf{S} un vettore il cui flusso attraverso una superficie corrisponda ad un flusso di energia nell'unità di tempo. Vogliamo vedere in che modo tale vettore è legato ai campi elettrico e magnetico. Il suo flusso attraverso un'areola dS sulla superficie Σ è dato da \mathbf{S} \cdot \mathbf{n}\text{d}S dove \mathbf{n} è il versore perpendicolare all'areola, uscente dal volume, mentre \mathbf{S} è il valore del vettore costante sull'areola. Applicando la conservazione di energia al volume, quindi calcolando la totale diminuzione di energia nell'unità di tempo e ponendola uguale al flusso totale che esce dalla superficie Σ, si ha

- \frac{\text{d} W}{{\text {d} t}} =- \int\limits_{\Delta V} {\frac{{\partial w}}{{\partial t}}{\rm{d}}V}  = \int\limits_\Sigma  {\mathbf{S}}  \cdot {\mathbf{n}}{\rm{ d}}\Sigma

Per il teorema della divergenza, il flusso di un vettore uscente da una superficie chiusa è uguale all'integrale della divergenza del vettore esteso al volume racchiuso dalla superficie. In definitiva abbiamo, nel vuoto,

\nabla  \cdot {\mathbf{S}} =  - \frac{{\partial w}}{{\partial t}}

detta equazione di continuità dell'energia.

Se il volume non è vuoto ma contiene particelle elettricamente cariche, parte della variazione dell'energia del campo è scambiata con esse. Questa energia corrisponde al lavoro del solo campo elettrico in quanto la forza magnetica è perpendicolare alla velocità delle cariche.
Se \mathbf{J} è la densità di corrente in un volume infinitesimo dV, Il lavoro fatto dal campo elettrico vale \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} \text{d} V.

Nota: Nel volume infinitesimo dV, siano presenti N cariche elementari di valore q dotate ciascuna di velocità \mathbf{v}_i. Il lavoro fatto nell'unità di tempo su di esse dal campo elettrico \mathbf {E}, presente nel punto individuato dal volume infinitesimo, vale q \mathbf{E} \cdot \sum\limits_{i = 1}^N {\mathbf{v}_i } = q \mathbf {E} N \cdot \mathbf{v}_{media} = \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}, avendo posto ovviamente \mathbf{J}=q N \mathbf{v}_{media}

Se la superficie Σ non è attraversata da materia (nel qual caso occorrerebbe mettere in conto l'energia cinetica) , si può scrivere

 - \frac{\text{d}}{\text{d} t}\int\limits_{\Delta V} {w{\rm{d}}V}  = \int\limits_\Sigma  {\mathbf{S}}  \cdot {\mathbf{n}}{\rm{d}}\Sigma  + \int\limits_{\Delta V} {{\mathbf{E}} \cdot {\mathbf{J}}{\rm{d}}V}

Sempre per il teorema della divergenza si ha

\mathbf{E} \cdot \mathbf{J}=-\nabla  \cdot {\mathbf{S}} - \frac{{\partial w}}{{\partial t}}

Ora basta ( :) ) risolvere questa equazione per determinare \mathbf{S} e w
Per farlo, basta ( :) ) ricordare la quarta equazione di Maxwell

\nabla  \times {\mathbf{B}} = \mu _0 {\mathbf{J}} + \mu _0 \varepsilon _0 \frac{{\partial {\mathbf{E}}}}{{\partial t}}

A questo punto non è difficile ricavare \mathbf{J}; quindi, moltiplicando scalarmente primo e secondo membro per \mathbf{E}, si ottiene

{\mathbf{E}} \cdot {\mathbf{J}} = \frac{1}{{\mu _0 }}{\mathbf{E}} \cdot \nabla  \times {\mathbf{B}} - \varepsilon _0 {\mathbf{E}} \cdot \frac{{\partial {\mathbf{E}}}}{{\partial t}}

Ora ricordando una notissima ( :) ) proprietà del prodotto vettoriale

{\mathbf{E}} \cdot \nabla  \times {\mathbf{B}} = {\mathbf{B}} \cdot \left( {\nabla  \times {\mathbf{E}}} \right) - \nabla  \cdot \left( {{\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}} \right)

ed eseguendo le opportune sostituzioni nella precedente equazione si ha

{\mathbf{E}} \cdot {\mathbf{J}} = \frac{1}{{\mu _0 }}\left [{\mathbf{B}} \cdot \left( {\nabla  \times {\mathbf{E}}} \right) + \nabla  \cdot \left( {{\mathbf{B}} \times {\mathbf{E}}} \right) \right] - \frac{{\partial \left( {\frac{{\varepsilon _0 }}{2}} \right){\mathbf{E}}^2 }}{{\partial t}}

Poiché infine è

\nabla  \times {\mathbf{E}} =  - \frac{{\partial {\mathbf{B}}}}{{\partial t}}

che è l'equazione di Maxwell che esprime la legge di Faraday, si può scrivere

{\mathbf{E}} \cdot {\mathbf{J}} = \frac{1}{{\mu _0 }}\left[ { - {\mathbf{B}} \cdot \frac{{\partial {\mathbf{B}}}}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {{\mathbf{B}} \times {\mathbf{E}}} \right)} \right] - \frac{{\partial \left( {\frac{{\varepsilon _0 }}{2}} \right){\mathbf{E}}^2 }}{{\partial t}}

quindi con elementari ( :) ) passaggi scrivere anche

{\mathbf{E}} \cdot {\mathbf{J}} =  - \frac{1}{{\mu _0 }}\nabla  \cdot \left( {{\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}} \right) - \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\varepsilon _0 }}{2}{\mathbf{E}}^2  + \frac{1}{{2\mu _0 }}{\mathbf{B}}^2 } \right)

Ora dal confronto con l'iniziale equazione differenziale da risolvere possiamo porre

w = \frac{{\varepsilon _0 }}{2}{\mathbf{E}}^2  + \frac{1}{{2\mu _0 }}{\mathbf{B}}^2
{\mathbf{S}} = \frac{1}{{\mu _0 }}{\mathbf{E}} \times {\mathbf{B}}

Ponendo poi

\begin{array}{l}
 {\mathbf{B}} = \mu_0 {\mathbf{H}} \\
 {\mathbf{D}} = \varepsilon_0 {\mathbf{E}} \\
 \end{array}

(relazioni valide anche per materiali lineari, cioè con costanti dielettrica \varepsilon e magnetica μ costanti)
si ha

\begin{array}{l}
 w = \frac{1}{2}{\mathbf{D}} \cdot {\mathbf{E}} + \frac{1}{2}{\mathbf{B}} \cdot {\mathbf{H}} \\
 {\mathbf{S}} = {\mathbf{E}} \times {\mathbf{H}} \\
 \end{array}
  • w è l'energia specifica immagazzinata nel volume;
  • \mathbf{S} è il vettore la cui esistenza fu dimostrata con il precedente teorema nel 1884 dal fisico britannico John Henry Poynting.
Nota: è possibile trovare altre soluzioni (c'è chi ci riesce!) dell'equazione differenziale, ma sono tutte più complicate per cui queste sono state scelte.

Esempi

Torniamo al

circuito semplice

di partenza. Schematizziamo generatore, utilizzatore e conduttori di linea con cilindri conduttori. L'intensità di corrente ha il verso indicato dalle frecce nere; i "+" ed i "-" indicano rispettivamente il punto a potenziale più alto e quello a potenziale più basso del bipolo cui si riferiscono. Il campo elettrico \mathbf {E} è orientato sempre dal "+" al "-"; il verso del campo magnetico \mathbf {H} si trova con la regola della mano destra. Nella figura il campo elettrico nei pressi dei diversi bipoli è indicato da una freccia blu che giace nel piano del disegno; il campo magnetico da una freccia rossa, perpendicolare al piano di disegno, (entrante con tratteggio; continua se uscente).
La freccia gialla indica il vettore di Poynting. Sta sul piano del disegno ed è uscente dal volume del generatore, entrante in quello dell'utilizzatore; entrante ed uscente dal volume tra i conduttori. Se nei conduttori esiste un campo elettrico longitudinale, quindi se sono conduttori reali, il vettore di Poynting è entrante in essi. In pratica ritroviamo i flussi di energia indicati nel circuito simbolico.

Cavo coassiale

In una linea bifilare, la geometria è tale che è impossibile calcolare con semplicità il flusso del vettore di Poynting per mostrare che esso è uguale proprio alla potenza che transita nella sezione considerata, calcolata nel modo che ci è consueto: tensione per intensità di corrente. Il calcolo è molto più semplice con la geometria di un cavo coassiale.
La corrente I scorre nel conduttore centrale e nella calza, il conduttore esterno. Campo magnetico e campo elettrico esistono solo tra i due conduttori, nel dielettrico che li separa; il campo elettrico è radiale; le linee di forza del campo magnetico sono circonferenze concentriche.

Se U è la tensione applicata tra anima e calza ed I la corrente, si ha in un generico punto a distanza r dall'asse del cavo

E = \frac{U}{{r\ln \frac{D}{d}}}

H = \frac{I}{{2\pi r}}

S = EH = \frac{{UI}}{{2\pi r^2 \ln \frac{D}{d}}}
r_1  = \frac{d}{2};r_2  = \frac{D}{2}

Calcoliamo ora il flusso di S attraverso una sezione del dielettrico del cavo, una corona circolare di raggi r1 ed r2 ed area A, cioè integriamo S, funzione di r su A

\int\limits_A {S \cdot {\rm{d}}A}  = \int_{r_1 }^{r_2 } {\frac{{UI}}{{2\pi r^2 \ln \frac{D}{d}}}}  \cdot 2\pi r \cdot {\rm{d}}r =
= \frac{{UI}}{{\ln \frac{D}{d}}}\int_{r_1 }^{r_2 } {\frac{1}{r}}  \cdot {\rm{d}}r = \frac{{UI}}{{\ln \frac{D}{d}}}\left[ {\ln r} \right]_{r_1 }^{r_2 }  = UI\frac{{\ln \frac{{r_2 }}{{r_1 }}}}{{\ln \frac{D}{d}}} = UI

Carica di un condensatore

Durante la carica di un condensatore, che supponiamo piano e ad armature circolari, il campo elettrico, le cui linee sono perpendicolari alle armature (escludiamo l'incurvatura ai bordi per semplicità) e diretto dalla positiva alla negativa, è variabile. Supponiamo anche che la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del mezzo interposto siano costanti (aria o vuoto, ad esempio).

In un certo istante t in cui la tensione tra le armature vale U, se d è la distanza tra le armature, il campo elettrico, per l'ipotesi fatta, vale in ogni punto del dielettrico

E = \frac{U}{d}

Il campo elettrico variabile produce un campo magnetico variabile: in particolare la derivata del campo elettrico moltiplicata per la costante dielettrica è la densità di corrente di spostamento:J = \varepsilon \frac{{{\rm{d}}E}}{{{\rm{d}}t}}
Se il campo elettrico cresce, com'è nel caso di carica del condensatore, la densità di corrente di spostamento ha lo stesso verso del campo. Le linee del campo magnetico prodotto sono rappresentate nel disegno con circonferenze concentriche tratteggiate, giacenti su piani paralleli alle armature. Il verso è quello determinato dalla regola della mano destra: nel disegno le frecce rosse lo rappresentano.
La circuitazione del campo magnetico lungo una qualsiasi linea che abbraccia il dielettrico cilindrico delimitato dalle armature, deve essere alla totale corrente di spostamento. H \cdot \pi D = J \cdot A = \varepsilon \frac{{{\rm{d}}E}}{{{\rm{d}}t}} \cdot \frac{{\pi D^2 }}{4}
Quindi

H = \varepsilon \frac{{{\rm{d}}E}}{{{\rm{d}}t}} \cdot \frac{D}{4}

In ogni punto della superficie laterale del cilindro che racchiude il dielettrico, il vettore di Poynting è entrante in esso. Quindi significa che c'è un flusso di energia che "entra" nel condensatore. Di conseguenza ne aumenta l'energia immagazzinata che, indicata con C la sua capacità vale, nel momento in cui la tensione è U

W = \frac{1}{2}CU^2

Il valore del vettore di Poynting è

S = EH = \varepsilon U \cdot \frac{{{\rm{d}}E}}{{{\rm{d}}t}} \cdot \frac{D}{{4d}} = \varepsilon U \cdot \frac{{{\rm{d}}U}}{{{\rm{d}}t}} \cdot \frac{D}{{4d^2 }}

Il suo flusso attraverso la superficie laterale del cilindro vale

\begin{array}{l}
 P = A_l  \cdot S = \pi Dd \cdot \varepsilon U \cdot \frac{{{\rm{d}}U}}{{{\rm{d}}t}} \cdot \frac{D}{{4d^2 }} = \varepsilon \frac{{\pi D^2 }}{4}U \cdot \frac{{{\rm{d}}U}}{{{\rm{d}}t}} =  \\
  = CU \cdot \frac{{{\rm{d}}U}}{{{\rm{d}}t}} \\
 \end{array}

che è proprio

P = \frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}}

cioè uguale alla variazione di energia immagazzinata nell'unità di tempo.

Conclusione

Secondo Poynting dunque è il mezzo che permette la propagazione dell'energia elettromagnetica. Non sono le correnti nei conduttori che trasportano l'energia; anzi le correnti sono viste come effetti delle trasformazioni energetiche del campo. L'energia appare come una "sostanza" che risiede nel mezzo circostante i conduttori e li' si propaga a velocità finita: quella delle onde elettromagnetiche. Poynting era consapevole però che il modo in cui questo avviene non è univoco e tuttora, come ha osservato Feynmann, delle differenti possibilità di stabilire il suo vettore \mathbf{S} e l'energia specifica w, nessuno sa dire quale sia quella effettivamente giusta. Ci si è accontentati perciò di considerare quella più semplice, che è quella esposta, come detto.

Bibliografia

  1. Elettromagnetismo-Alessandro Bettini- Ed. Zanichelli, 1994

    Elettromagnetismo-Alessandro Bettini- Ed. Zanichelli, 1994

  2. Elettrotecnica generale - Giovanni Someda

    Elettrotecnica generale - Giovanni Someda

  3. La conservazione locale dell'energia secondo Maxwell e Poynting
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Commenti e note

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di ,

Veramente un ottimo articolo che mi era sfuggito, grazie admin!

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di ,

ottimo!!!

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di ,

Mi unisco al coro dei complimenti! Un articolo veramente ben scritto, molto chiaro, molto interessante perchè offre una visione globale di fenomeni che spesso diamo un po' troppo per scontati. Concordo che l'obiettivo di divulgazione rigorosa che ti eri posto, Admin, è stato raggiunto brillantemente. Per chi si spaventa del formalismo matematico vorrei dire che i concetti di integrale, di derivata, di vettore, non sono poi così difficili e a scuola più o meno li abbiamo incontrati tutti. Anche l'operatore Nabla (il triangolo con la punta in basso) non è altro che un modo sintetico di indicare una derivata nelle tre dimensioni dello spazio. Io penso e spero che articoli come questo siano di stimolo a tutti per elevare il proprio livello di comprensione dei fenomeni.

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di ,

Bello, bello, bello, mi ricorda i tempi di scuola, e soprattutto gli esempi pratici rendono la lettura più piacevole ed utile all'esposizione di concetti che risultano di solito aridamente accademici.

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di ,

Innanzitutto  mi sono molto graditi gli apprezzamenti.
Tutto quello che ognuno di noi fa senza che nessuno glielo chieda, lo fa senz'altro per sé, ma è innegabile che  il riconoscimento degli altri, per di più di coloro di cui si conosce il valore, aumenta il piacere di farlo.
Un articolo come questo lo scrivo per cercare di spiegare a me stesso alcuni concetti, il che è uno sforzo notevole perché sono un allievo con parecchi limiti. Quindi lo propongo nel mio blog sia per essere di aiuto ad altri interessati allo stesso argomento, sia per stimolare la produzione di nuovi contenuti da parte dei blogger, che arricchiscano EY.
Si tratta di argomenti teorici che  non risolvono problemi pratici immediati, ma tali speculazioni sono, secondo me, il fondamento della cultura nella sua più ampia accezione. Ciò che mi esce è un misto tra divulgazione e rigore, che quindi potrebbe deludere sia gli utenti che desiderano un'informazione più facile, sia chi desidera una trattazione più precisa ed approfondita.
Significativi, da questo punto di vista, sono gli interventi di mubeta ed IsidiroKZ. Per Mubeta direi che la "troppa" matematica può essere la causa della sua difficoltà; per IsidoroKZ invece la discussione matematica dovrebbe essere allargata.
Ma proprio questi due atteggiamenti mi confortano perché, almeno in teoria, mi sembra di aver raggiunto i due obiettivi che mi proponevo: dal lato divulgativo è stato colto il fascino della speculazione scientifica che cerca di interpretare la natura; dal lato del rigore l'osservazione tecnica di IsidoroKZ può essere il preludio di interessanti approfondimenti.

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RenzoDF, per l'esempio del trasformatore ho pensato sufficiente inserire il link alla discussione a suo tempo fatta da IsidoroKZ

Demos81, di specifico sul potenziale vettore su EY non c'è ancora nulla. Però c'è un ottimo articolo di RenzoDF  che ne fa uso e che, tra l'altro rappresenta un ulteriore esempio dell'uso del vettore di Poynting

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di ,

davvero bello, una bella base teorica accompagnata da degli esempi concreti (che a mio avviso son sempre il segreto della comprensione). uno degli argomenti di elettromagnetismo che preferisco :), Admin posso chiederle una gentilezza? che lei sappia c'è nel sito un qualcosa di simile con qualche riferimento pratico e concreto anche sul potenziale vettore del campo magnetico? è passato qualche anno dai miei studi e rispolverarlo non mi dispiacerebbe...

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di ,

Un articolone galattico! Non ho parole.

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di ,

L'ho letto almeno tre volte, non potevo farne a meno perché intravedevo una grossa novità per me. Ed infatti così è stato. Però ora ho bisogno di meditare parecchio sopra. Quest'energia che si sposta, senza "galoppare" sulla corrente mi turba...

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di ,

I miei Complimenti admin! ... quoto Isidoro, questo articolo merita ben piu' di un voto. Utilissimi gli esempi applicativi, aggiungerei solo l'esempio del trasformatore.

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di ,

Mi rode molto il non saperlo leggere e comprendere bene tutto. Grazie Admin.

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di ,

Propongo una modifica al sito: voglio poter dare piu` di un voto positivo :). Grande articolo, complimenti. Tempo fa avevo cominciato a preparare un articolo del genere, poi non ero piu` andato avanti, ed e` stato un bene, perche' questo e` molto piu` completo di quanto avevo in mente! Come nota tecnica metterei in evidenza che interpretare S come flusso di potenza in un punto e` "stiracchiare" un po' il teorema di Poynting, bisognerebbe discutere che cosa capita su tutta una superficie chiusa, pero` funziona benissimo anche l'interpretazione puntuale.

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