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Linee di trasmissione - 2: il doppio bipolo equivalente

Qualche anno fa mi ero proposto di trattare le linee di trasmissione dell'energia, ma non ero andato oltre l'articolo sui parametri Z ed Y dei doppi bipoli. Un commento-domanda al metodo di calcolo della caduta di tensione industriale, mi ha indotto a riprovare. Questo articolo intanto illustra il modello da utilizzare per il calcolo delle grandezze significative per una linea di trasmissione di energia elettrica.

Indice

Struttura del sistema elettrico nazionale

L'energia elettrica è distribuita nelle nostre abitazioni, uffici o laboratori, a 400 V / 230 V (BT:bassa tensione).
Le linee che la trasportano a questo livello, arrivano dalle cabine di distribuzione, hanno lunghezze dell'ordine delle centinaia di metri e le potenze sono dell'ordine delle decine o centinaia di kW. Costituiscono la rete di distribuzione in BT.

Le linee entranti nelle cabine di distribuzione, dove avviene la trasformazione da Media, in genere 20 kV, a Bassa tensione, trasportano potenze che possono arrivare a 10 MW per lunghezze di decine di km.
Le cabine di distribuzione sono a loro volta alimentate dalle stazioni di trasformazione, dove l'alta tensione, in genere 130 kV o 220 kV, viene trasformata in media tensione. La lunghezza delle linee che in AT che portano l'energia alle stazioni, e che costituiscono la rete di distribuzione primaria, può arrivare a 100 km e la potenza trasportata a 100 MW.

Esse costituiscono la rete di distribuzione secondaria.
Il grosso della produzione dell'energia avviene nelle centrali elettriche, dove gli alternatori, organizzati in gruppi di alcune unità, possono produrre potenze di uno o due GW alla tensione di 20 kV. Per trasportare tale potenza fino alle stazioni di interconnessione, da cui partono le linee AT che alimentano le stazioni di trasformazione e linee che gestiscono gli scambi con le altre reti nazionali, si usano linee ad alta tensione, in genere 220 kV o 380 kV, che possono trasmettere centinaia di MW per centinaia di km. Esse costituiscono la rete di trasporto ed interconnessione.

Il dimensionamento e la gestione di una linea consiste nel determinare tensioni e potenze che devono esserci in partenza per consegnare all'arrivo una data potenza complessa (attiva e reattiva).
Le linee di distribuzione in BT ed MT è in genere sufficiente considerarle a costanti concentrate, tenendo conto solo della resistenza e dell'induttanza longitudinali, come si vedrà.
Per la rete di distribuzione primaria e di interconnessione, occorre invece considerare la linea a costanti distribuite: in pratica una serie di doppi bipoli del tipo mostrato in figura, in base a cui ricavare il doppio bipolo equivalente.

Matrice di trasmissione

Rappresenta il metodo più generale per lo studio di una linea di trasmissione. Riferendosi ad una fase di una rete trifase, ogni linea è sempre rappresentabile con il doppio bipolo seguente

Le relazioni tra tensioni (stellate) e correnti in partenza ed in arrivo sono esprimibili con


\begin{array}{l}
{{\dot E}_p} = \dot A{{\dot E}_a} + \dot B{{\dot I}_a}\\
{{\dot I}_p} = \dot C{{\dot E}_a} + \dot D{{\dot I}_a}\\
\\
\end{array} \quad [1]

I quattro parametri \dot A \, , \, \dot B \, , \, \dot C \, , \dot D costituiscono la matrice di trasmissione.
Dalle [1] si ricavano le definizioni seguenti:

  • \dot A={\left( {\frac{{{{\dot E}_p}}}{{{{\dot E}_a}}}} \right)_{{{\dot I}_a} = 0}} è un numero puro che rappresenta il rapporto tra la tensione in partenza e quella in arrivo a vuoto, cioè con l'arrivo aperto;quindi il prodotto \dot E_{p_v}=\dot A \dot E_a è la tensione che il generatore deve fornire in partenza per avere la tensione \dot E_a a vuoto;
  • \dot B = {\left( {\frac{{{{\dot E}_p}}}{{{{\dot I}_a}}}} \right)_{{{\dot E}_a} = 0}} è un'impedenza corrispondente al rapporto tra la tensione in partenza e la corrente all'arrivo chiuso in cortocircuito; il prodotto \dot E_{p_{cc}}=\dot B \dot I_a è la tensione che ci deve essere in partenza per mantenere la corrente \dot I_a in condizioni di cortocircito;
  • \dot C = {\left( {\frac{{{{\dot I}_p}}}{{{{\dot E}_a}}}} \right)_{{{\dot I}_a} = 0}} è un'ammettenza data dal rapporto tra la corrente in partenza e la tensione in arrivo con arrivo aperto; il prodotto \dot I_{p_v}=\dot C \dot E_a è la corrente che il generatore deve erogare con l'arrivo aperto;
  • \dot D = {\left( {\frac{{{{\dot I}_p}}}{{{{\dot I}_a}}}} \right)_{{{\dot E}_a} = 0}} è un numero puro che rappresenta il rapporto tra la corrente in partenza e la corrente all'arrivo in cortocircuito; il prodotto \dot I_{p_{cc}}=\dot D \dot I_a, è la corrente che il generatore deve erogare per mantenere all'arrivo in cortocircuito la corrente \dot I_a.

Il funzionamento a carico risulta dunque la somma dei due funzionamenti limite: a vuoto ed in cortocircuito
Dal punto di vista dimensionale i coefficienti sono dunque diversi e la matrice cui essi danno luogo è detta, oltre che matrice di trasmissione, matrice ibrida o mista.

Il doppio bipolo che rappresenta le linee è reciproco, il che significa che le mutue ammettenze tra le due porte sono uguali (ed opposte per la differente scelta del verso della corrente in uscita ed in ingresso).
La mutua ammettenza tra le porte è il rapporto tra la corrente in una porta cortocircuitata e la tensione nell'altra; quindi

\dot Y_{ap}=\left ( \frac{\dot I_a}{\dot E_p}\right)_{E_a=0}=\frac{1}{\dot B}
\dot Y_{pa}=\left ( \frac{\dot I_p}{\dot E_a}\right)_{E_p=0}=-\frac{\dot A \dot D-\dot B \dot C}{\dot B}

E' inoltre simmetrico simmetrico cioè le autoammettenze sono uguali (ed opposte sempre per la diversa convenzione usta in ingresso ed in uscita). Le autoammettenze sono il rapporto tra la corrente e la tensione della stessa porta quando l'altra è in cortocircuito. Quindi

\begin{array}{l}
{{\dot Y}_{pp}} = {\left( {\frac{{{{\dot I}_p}}}{{{{\dot E}_p}}}} \right)_{{{\dot E}_a} = 0}} = \frac{{\dot D}}{{\dot B}}\\
{{\dot Y}_{aa}} = {\left( {\frac{{{{\dot I}_a}}}{{{{\dot E}_a}}}} \right)_{{{\dot E}_p} = 0}} =  - \frac{{\dot A}}{{\dot B}}
\end{array}

Le uguaglianze imposte
\begin{array}{l}
{{\dot Y}_{pa}} =  - {{\dot Y}_{ap}}\\
{{\dot Y}_{pp}} =  - {{\dot Y}_{aa}}
\end{array}
determinano le relazioni

\dot A=\dot D
\dot A^2-\dot B \dot C =1 \quad [2]

Espressioni per i parametri

Immaginando la linea come la serie di infiniti doppi bipoli di lunghezza infinitesima come quello rappresentato nella figura che segue, assumendo come origine delle ascisse l'arrivo della linea di lunghezza d, e note le costanti primarie (resistenza r, induttanza l, capacità c e conduttanza g, unitarie di esercizio ), le espressioni matematiche dei coefficienti si ricavano dalla soluzione delle equazioni differenziali che derivano dall'applicazione della legge di Ohm agli elementi del doppio dipolo elementare

Si considera il regime sinusoidale. Tensioni e correnti sono rappresentate dai rispettivi fasori il cui modulo e la cui fase dipendono dalla distanza della sezione di controllo dall'arrivo, l'ascissa x.

\frac{\text{d}\dot V(x)}{\text{d}x}=\dot z \dot I(x)

\frac{\text{d}\dot I(x)}{\text{d}x}=\dot y \dot V(x) \quad [3]
Nota: per la scrittura della seconda equazione, si è trascurato il prodotto \dot y \text{d} V \text{d} x (infinitesimo di ordine superiore).

Il doppio bipolo equivalente alla linea, si ottiene integrando le due equazioni precedenti sull'intera lunghezza della linea, d. Tenendo conto delle condizioni iniziali, corrente \dot I_a e tensione \dot E_a all'arrivo, si hanno le seguenti espressioni per i coefficienti:

\dot A = \cosh \dot kd \quad; \quad \dot B = {{\dot Z}_0}\sinh \dot kd \quad;\quad \dot C = \frac{{\sinh \dot kd}}{{{{\dot Z}_0}}} \quad [4]

con

{{\dot Z}_0} = \sqrt {\frac{{\dot z}}{{\dot y}}}\text{ impedenza caratteristica} \quad \Omega

\dot k = \sqrt {\dot z\dot y}\text{ costante di propagazione} \quad \text{km}^{-1}

Nota: la distanza x è usualmente espressa in km, come la lunghezza d

e

\dot z = r + {\rm{j}}\omega l =r + {\rm{j}}x= ze^{\text{j}\varphi}\quad; \quad \dot y = g + {\rm{j}}\omega c=g + {\rm{j}}b=ye^{\text{j}\psi}
z=\sqrt{r^2+x^2} , \varphi=\arctan \left(\frac x r \right) \quad y=\sqrt{g^2+b^2} , \psi=\arctan \left(\frac b g \right)

Ricordiamo che

\cosh \dot kd = \frac{{{e^{\dot kd}} + {e^{ - \dot kd}}}}{2} \quad;\quad \sinh \dot kd = \frac{{{e^{\dot kd}} - {e^{ - \dot kd}}}}{2}

Sviluppo in serie

Se si definiscono i parametri totali della linea, impedenza totale longitudinale, ammettenza trasversale totale, costante di propagazione totale,

\dot Z = \dot zd \quad \Omega \quad

\dot \theta  = \dot kd \quad  \quad [5]

\dot Y = \dot yd \quad S \quad

si ha

\begin{array}{l}
\frac{{\dot Z}}{{\dot \theta }} = \frac{{\dot z}}{{\dot k}} = \frac{{\dot z}}{{\sqrt {\dot z\dot y} }} = \sqrt {\frac{{\dot z}}{{\dot y}}}  = {{\dot Z}_0}\\
\frac{{\dot Y}}{{\dot \theta }} = \frac{{\dot y}}{{\dot k}} = \frac{{\dot y}}{{\sqrt {\dot z\dot y} }} = \sqrt {\frac{{\dot y}}{{\dot z}}}  = \frac{1}{{{{\dot Z}_0}}}
\end{array}

quindi i parametri possono essere scritti con

\begin{array}{l}
\dot A = \cosh \dot \theta \\
\dot B = \dot Z\frac{{\sinh \dot \theta }}{{\dot \theta }}\\
\dot C = \dot Y\frac{{\sinh \dot \theta }}{{\dot \theta }}
\end{array} \quad [6]

quindi sviluppando in serie le funzioni iperboliche, con

\begin{array}{l}
\dot A = 1 + \frac{{{{\dot \theta }^2}}}{2} + \frac{{{{\dot \theta }^4}}}{{24}} + \frac{{{{\dot \theta }^6}}}{{120}} + ...\\
\dot B = \dot Z\left( {1 + \frac{{{{\dot \theta }^2}}}{6} + \frac{{{{\dot \theta }^4}}}{{120}} + \frac{{{{\dot \theta }^6}}}{{5040}} + ...} \right)\\
\dot C = \dot Y\left( {1 + \frac{{{{\dot \theta }^2}}}{6} + \frac{{{{\dot \theta }^4}}}{{120}} + \frac{{{{\dot \theta }^6}}}{{5040}} + ...} \right)
\end{array} \quad [7]

Per le linee aeree si ha |\dot \theta| \approx 10^{-3}d
Per linee aeree di lunghezza inferiore a 100 km si può limitare lo sviluppo in serie al solo primo termine della serie; per linee comprese tra i 100 km ed i 400 km basterebbero i primi due.

Nota: per una conoscenza più dettagliata di tali funzioni si può consultare la pagina Funzioni iperboliche su Wikipedia.


Osservazioni su \dot k \quad ; \dot Z_0

Sono numeri complessi, quindi esprimibili con

\dot k=k^{\prime}+\text{j}k^{\prime \prime}=|\sqrt{zy}|e^{\text{j}\frac{\psi+\varphi)}{2}}

{{\dot Z}_0} = {R_0} + j{X_0} = \left| {\sqrt {\frac{z}{y}} } \right|{e^{j\frac{{\varphi  - \psi }}{2}}}

Per le linee aeree valori di ψ sono in genere prossimi a 90°, quelli di \varphi sugli 80°. L'argomento di \dot k è intorno agli 85°, mentre quello di \dot Z_0 è di qualche grado, negativo.
Le linee in cavo si differenziano dalle aeree per la capacità di esercizio molto più elevata e la reattanza più bassa. ψ è ancora più prossimo ai 90° mentre \varphi ha valori un po' più bassi.


Linea ideale

E' priva di perdite, quindi con r = g = 0. Di conseguenza \varphi=\psi=90^{\circ}, quindi la costante di proipagazione è puramente immaginaria, l'impedenza caratteristica puramente reale.

Possiamo dunque rappresentare graficamente i due parametri in questo modo

La costante di propagazione di una linea ideale dipende solo dalla permeabilità magnetica e dalla costante dielettrica del mezzo in cui si sviluppano campo magnetico e campo elettrico.

k^{\prime\prime}=2 \pi f \sqrt{lc}=\sqrt{\mu \epsilon}

Vale dunque per linee aeree
k^{\prime\prime}=1,048 \times 10^{-3} \, \text{km}^{-1}
mentre per linee in cavo con εr = 3,5 vale
k^{\prime\prime}=1,96 \times 10^{-3} \, \text{km}^{-1}

L'impedenza caratteristica dipende invece anche dalla geometria del mezzo isolante.

Le linee aeree di qualche centinaio di ohm (circa 400 \, \Omega per linee AT 220 \, \text{kV} con un conduttore per fase; circa 250 \, \Omega per linee AT 380 \, \text{kV} con conduttore a fascio)

Le linee in cavo hanno in genere valori di qualche decina di ohm (20 \div 40 \, \Omega) in quanto l'ammettenza è alcune decine di volte maggiore mentre la reattanza è inferiore ;

Nota: tanto per avere un'idea di massima degli ordini di grandezza delle costanti fondamentali, cui dovrà essere dedicato un articolo specifico, riporto i valori relativi ad una linea aerea e ad una in cavo entrambe per 130 kV
Tipo S \quad \text{mm}^2 r \quad \Omega/ \text{km} a 20°C x \quad \Omega/ \text{km} g \quad \text{S}/ \text{km} b \quad \text{S} / \text{km}
aerea AL - Acciaio 264Al + 43acc. 0,109 0,406 0,013 \times 10^{-6} 2,82 \times 10^{-6}
3 cavi unipolari in rame 400 0,047 0,235 0,57\times 10^{-6} 57\times 10^{-6}

La discussione di tali parametri richiede un approfondimento che non rientra precisamente nello scopo di questo articolo, però credo sia utile riassumerne le proprietà.

\dot k è detta costante di propagazione poiché i valori di tensione e di corrente nel punto generico x variano in ampiezza in base al valore della sua parte reale, ed in fase in base al valore della sua parte immaginaria; non solo, ma la parte immaginaria è proporzionale (la costante di proporzionalità è la pulsazione ω) all'inverso della velocità di propagazione delle onde di tensione e di corrente, quindi della potenza trasmessa. Questa è la velocità dell'onda elettromagnetica, guidata dai conduttori, che si propaga nel mezzo in cui si sviluppano i campi elettrici e magnetici prodotti dalla tensione tra i conduttori e dall'intensità di corrente in essi circolante e vale v=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} con μ ed ε permeabilità e costante dielettrica del mezzo.
\dot Z_0 è detta impedenza caratteristica in quanto se l'arrivo è chiuso su un'impedenza che ha questo valore, il rapporto tra tensione e corrente in ogni punto della linea è sempre pari a \dot Z_0 . Il funzionamento in tale condizione è detto a potenza naturale, ed ha significative caratteristiche quali, nel caso di linea priva di perdite, notevole potenza attiva trasmessa, potenza reattiva di linea nulla, assenza di attenuazione della tensione che subisce tra partenza ed arrivo unicamente una variazione di fase. E le linee reali sono ben approssimate dal funzionamento delle linee ideali.

Calcolo di tensioni e correnti

Procedimento analitico

Nota la struttura della linea trifase e la sua lunghezza d in km, quindi note le costanti fondamentali unitarie, si determinano le grandezze \dot z in Ω / km ed \dot y in S / km, quindi si calcolano \dot Z_0 , \dot k d ed i parametri \dot A, \dot B, \dot C.
Per la precisione dei parametri calcolati sarà bene verificare che sia \dot A^2-\dot B \dot C=1
Stabilita la potenza complessa in arrivo, \dot N_a in MW + jMvar, assumendo la tensione Ea in kV come numero reale pari a U_a/\sqrt{3}, si calcola la corrente in arrivo, che risulterà espressa in kA:

\dot I_a=\frac{\hat N}{3E_a}

Ora si possono calcolare mediante le [1] tensione e corrente in partenza. Quindi:

\vartheta :sfasamento di Ep rispetto Ea

\left| {{U_{p\Delta }}} \right|:tensione concatenata in partenza

\Delta U = \frac{{\left| {{U_{p\Delta }}} \right| - \left| {{U_{a\Delta }}} \right|}}{{\left| {{U_{a\Delta }}} \right|}}: caduta relativa di tensione

{{\dot N}_p} = 3{{\dot E}_p}{{\hat I}_p} potenza apparente in partenza

quindi potenza attiva e reattiva in partenza

\Delta \dot N = {{\dot N}_p} - {{\dot N}_a} = \Delta P + {\rm{j}}\Delta Q potenza attiva dissipata e reattiva impegnata dalla linea

{\Delta_p} = \frac{{\Delta P}}{{{P_a}}} potenza relativa persa

\eta=\frac {1}{1+\Delta_p} rendimento della trasmissione

Procedimento grafico: diagramma di Perryne-Baum

E' l'interpretazione grafica delle equazioni del doppio bipolo, quindi ricava graficamente le grandezze tensione e corrente in partenza, note quelle in arrivo e le condizioni estreme di funzionamento, a vuoto ed in cortocircuito come illustrato in precedenza (paragrafo Matrice di trasmissione)
Come in genere tutti i grafici vettoriali fornisce una visione compatta della situazione che consegue alle variazioni di carico. Permette anche valutazioni quantitative, di precisione però inferiore, ovviamente, al metodo analitico.

Per la prima delle due equazioni, fissata la tensione in arrivo, \dot E_a, si ricava la tensione \dot E_p per ogni potenza complessa in arrivo su una fase.
Scriviamo i parametri di trasmissione in questo modo
\dot A = A{e^{{\rm{j}}\alpha }};\dot B = B{e^{{\rm{j}}\beta }};\dot C = C{e^{{\rm{j}}\gamma }} ricordando che è: \dot D = \dot A
Disegnato \dot E_a orizzontale, fissata \dot I_a, si può tracciare il vettore \dot A \dot E_a , ricordando che la moltiplicazione per un numero complesso fa ruotare li vettore in senso antiorario dell'angolo corrispondente all'argomento, modificandone la lunghezza in base al modulo. Generalmente A è poco inferiore all'unità ed α è un paio di gradi. Moltiplicando ora \dot I_a per \dot B si ottiene il vettore \dot B \dot I_a che sommato a \dot A \dot E_a fornisce \dot E_p. Orientativamente per linee di potenza β è dell'ordine di 80 °
Osserviamo che \dot B \dot I_a è la composizione vettoriale delle sue componenti \dot B I_{aq} e \dot B I_{af} ottenute moltiplicando per \dot B le componenti della corrente \dot I_a rispettivamente in quadratura ed in fase con la tensione \dot E_a. Per una fissata Ea, tali componenti sono pure proporzionali, rispettivamente, alla potenza reattiva ed attiva in arrivo. Il punto H estremo del vettore \dot A \dot E_a , può essere assunto come origine degli assi cartesiani Pa e Qa ed in tale sistema di riferimento il punto N, estremo di \dot E_p rappresenta la potenza complessa in arrivo.
Puntando il compasso in O si possono tracciare circonferenze che definiscono i punti per i quali Ep ed Ea stanno in rapporto fisso.
Fissata arbitrariamente la scala delle tensioni, ad esempio 1 \, cm = N \, \text{volt}, si possono leggere nel diagramma le correnti e le potenze secondo la scala descritta nel disegno.

Per la seconda equazione, si procede in modo simile.
A partire da tensione e corrente in arrivo si ricava il vettore OS=\dot I_p sommando i valori delle correnti che si hanno nelle due condizioni estreme di funzionamento, a vuoto ed in cortocircuito, quindi \dot C \dot V_a e \dot D \dot I_a. Il valore di γ argomento di \dot C è poco meno di 90° (la corrente assorbita a vuoto è dovuta principalmente alla capacità di esercizio). L'estremo R è poi l'origine degli assi Pa e Qa, cioe dei riferimenti per la potenza in arrivo.

Nota:Le relazioni per determinare la scala dei grafici, riportate nel primo grafico, sono derivate dal fatto che nei due grafici i segmenti HN nel primo, RS nel secondo rappresentano la stessa potenza.

Circuito equivalente a π

Il doppio bipolo può essere rappresentato dal seguente circuito equivalente

dove

\begin{array}{l}
{{\dot Z}_L} = \dot B = \dot Z\frac{{\sinh \dot \theta }}{{\dot \theta }}\\
{{\dot Y}_T} = \frac{{\dot A - 1}}{{\dot B}} = \frac{{\dot \theta }}{{\dot Z}}\frac{{\cosh \dot \theta  - 1}}{{\sinh \dot \theta }} = \frac{{\dot Y}}{{\dot \theta }}\tanh \frac{{\dot \theta }}{2} = \frac{{\dot Y}}{2}\frac{{\tanh \frac{{\dot \theta }}{2}}}{{\frac{{\dot \theta }}{2}}}
\end{array}

poiché
\begin{array}{l}
\tanh \frac{{\dot \theta }}{2} = \frac{{{e^{\frac{{\dot \theta }}{2}}} - {e^{ - \frac{{\dot \theta }}{2}}}}}{{{e^{\frac{{\dot \theta }}{2}}} + {e^{ - \frac{{\dot \theta }}{2}}}}} = \frac{{\sqrt {{e^{\dot \theta }}} - \sqrt {{e^{ - \dot \theta }}} }}{{\sqrt {{e^{\dot \theta }}} + \sqrt {{e^{ - \dot \theta }}} }} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{e^{\dot \theta }}} - \sqrt {{e^{ - \dot \theta }}} } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt {{e^{\dot \theta }}} + \sqrt {{e^{ - \dot \theta }}} } \right)\left( {\sqrt {{e^{\dot \theta }}} - \sqrt {{e^{ - \dot \theta }}} } \right)}} = \\
= \frac{{{e^{\dot \theta }} + {e^{ - \dot \theta }} - 2}}{{{e^{\dot \theta }} - {e^{ - \dot \theta }}}} = \frac{{\frac{{{e^{\dot \theta }} + {e^{ - \dot \theta }}}}{2} - 1}}{{\frac{{{e^{\dot \theta }} - {e^{ - \dot \theta }}}}{2}}} = \frac{{\cosh \dot \theta - 1}}{{\sinh \dot \theta }}\\\end{array}

Infatti, applicando le definizioni dei parametri di trasmissione, utilizzando lo schema a π si possono determinare le espressioni di \dot Z_L ed \dot Y_T in funzione dei parametri di trasmissione in questo modo

\begin{array}{l}
\dot B = {\left( {\frac{{{{\dot E}_p}}}{{{{\dot I}_a}}}} \right)_{{{\dot E}_a} = 0}} = {{\dot Z}_L}\\
\\
\dot A = {\left( {\frac{{{{\dot E}_p}}}{{{{\dot E}_a}}}} \right)_{{{\dot I}_a} = 0}} = \frac{{{{\dot E}_p}}}{{\frac{{{{\dot E}_p}}}{{\dot Z_L + \frac{1}{{{{\dot Y}_T}}}}} \cdot \frac{1}{{{{\dot Y}_T}}}}} = \dot Z_L{{\dot Y}_T} + 1 = \dot B{{\dot Y}_T} + 1\\
 \Rightarrow {{\dot Y}_T} = \frac{{\dot A - 1}}{{\dot B}}\\
\\
\dot C = {\left( {\frac{{{{\dot I}_p}}}{{{{\dot E}_a}}}} \right)_{{{\dot I}_a} = 0}} = \frac{{{{\dot I}_p}}}{{\frac{{\dot I}}{{{{\dot Y}_T}}}}} = {{\dot Y}_T} \cdot \frac{{{{\dot I}_p}}}{{{{\dot I}_p}\frac{{\frac{1}{{{{\dot Y}_T}}}}}{{\frac{1}{{{{\dot Y}_T}}} + \frac{1}{{{{\dot Y}_T}}} + {{\dot Z}_L}}}}} = {{\dot Y}_T}\left( {{{\dot Z}_L}{{\dot Y}_T} + 2} \right)\\
\\
\dot D = {\left( {\frac{{{{\dot I}_p}}}{{{{\dot I}_a}}}} \right)_{{{\dot E}_a} = 0}} = \frac{{{{\dot I}_p}}}{{\frac{{{{\dot I}_p}}}{{{{\dot Z}_L} + \frac{1}{{{{\dot Y}_T}}}}} \cdot \frac{1}{{{{\dot Y}_T}}}}} = {{\dot Z}_L}{{\dot Y}_T} + 1
\end{array}

Circuito equivalente a π a costanti semplificate

Se la costante di propagazione totale \dot \theta è piccola, sia la tangente iperbolica che il seno, si confondono con il loro argomento per cui il loro rapporto è praticamente uguale ad 1. Quindi
\dot Z_L \to \dot Z e \dot Y_T \to \frac{\dot Y}{2}
Il circuito equivalente ha dunque come impedenza longitudinale l'impedenza totale, mentre l'ammettenza totale è suddivisa in due parti uguali, poste all'ingresso ed all'uscita del quadripolo.

Sostituendo nelle relazioni precedenti \dot Z_L con \dot Z e \dot Y_T con \frac{\dot Y}{2} si hanno per i parametri di trasmissione le espressioni semplificate

\dot A = \frac{{\dot Z\dot Y}}{2} + 1

\dot B = \dot Z

\dot C =  \dot Y\left( {\frac{{\dot Z\dot Y}}{4} + 1} \right)

\dot D= \dot A

Nel caso si possa assumere \dot Y=0 i parametri diventano \dot A =\dot D=1 \, , \, \dot B=\dot Z \, , \, \dot C=0 ed il circuito equivalente si riduce all'impedenza totale serie.

e le equazioni da considerare diventano

\begin{array}{l}
{{\dot E}_p} = {{\dot E}_a} + \dot Z{{\dot I}_a}\\
{{\dot I}_p} = {{\dot I}_a}
\end{array}

Sono le condizioni che si verificano in bassa e media tensione sulle quali si basa, ad esempio, la trattazione della caduta industriale della tensione esaminata nell'articolo citato in apertura.

Il modello di linea basato sul calcolo esatto dei parametri della matrice di trasmissione è valido per ogni tipo di linea, quindi in base ad esso si può implementare un semplice script per un software di matematica, quale ad esempio Scilab, valido qualunque sia la linea, come vedremo nel successivo articolo

Se si eseguono i calcoli manualmente può invece essere inutilmente dispendioso utilizzarlo. I calcoli per il procedimento esatto sono piuttosto laboriosi come si vedrà. I parametri possono allora essere approssimati senza pregiudicare la validità dei risultati finali. Il fattore discriminante per decidere l'approssimazione è la lunghezza delle linee, che si possono suddividere in corte, medie e lunghe.
Grossomodo si possono considerare corte le linee aeree inferiori ad alcune decine di km, fino ad ottanta, più o meno; medie quelle di qualche centinaio di km, sui trecento chilometri grossomodo; lunghe le altre.
Nelle linee corte si possono anche trascurare suscettanza e conduttanza e considerare solo resistenza ed induttanza, quindi la sola impedenza longitudinale \dot Z , specie nel caso in cui la tensione non sia molto elevata e la corrente capacitiva di esercizio trascurabile. E' quel che si fa comunemente in bassa ed in media tensione, sia per linee aeree che in cavo.
Per tali linee dunque i parametri sono \dot A=1 \, ; \, \dot B= \dot Z \, ; \, \dot C=0.
Per linee lunghe, occorre adottare il modello con il calcolo esatto dei parametri della matrice di trasmissione.
Per le linee intermedie è in genere sufficiente adottare il modello a parametri semplificati

Per le linee in cavo i limiti sono inferiori a quelli delle linee aeree, per la capacità di esercizio molto maggiore. E' bene usare in tal caso sempre il modello della matrice di trasmissione e confrontare eventualmente i risultati con il modello semplificato per decidere se quest'ultimo si può adottare.
In generale i costruttori di cavi forniscono il valore della capacità di esercizio in μF / km e dell'induttanza in mH / km come si può constatare dei fogli tecnici elencati nei riferimenti, anche se, a dire il vero, non c'è una buona uniformità tra i vari costruttori

Le considerazioni sulle approssimazioni possibili sono anche utili per acquisire una padronanza maggiore nella conoscenza delle linee, ma resta il fatto che con la potenza elaborativa ormai a disposizione la soluzione finale è quella di utilizzare un software basato sul procedimento analitico esatto.

Bibliografia


ELECTRIC MACHINERY and POWER SISTEM FUNDAMENTALS, Stephen J. Chapman, 
Mc Graw Hill, 2002


COMPLEMENTI DI IMPIANTI ELETTRICI- Lorenzo Fellin, 
DIADE, Padova 2005


TRASMISSIONE E DISTRIBUZIONE DELL'ENERGIA ELETTRICA VOL II, 
N. Faletti - P. Chizzolini,
Patron Editore , Bologna 2005


Lezioni di TRASMISSIONE DELL'ENERGIA ELETTRICA -Antonio Paolucci,
CLEUP EDITORE, Padova 1998
3

Commenti e note

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di ,

Bellissimo articolo! ...sarebbe bello proseguire anche con il discorso dell'onda progressiva e regressiva con i vari casi di rete ideale e reale, prorpio come fa il Prof. Paolucci, credo nel cap. 4 o 5; certo questo aprirebbe un mondo assai grande! P.S. Nel link seguente, è possibile trovare una mia esercitazione con Matlab, su un confronto tra le rappresentazioni di una linea elettrica. Bisogna registrarsi, ma è completamente gratuito! Ditemi che ve ne pare! Enjoy
Esercitazione con Matlab

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di ,

Chiarezza esemplare! Molto ben fatto, come, del resto, sempre. Complimenti!

Rispondi

di ,

Notevole! Complimenti, -carlo.

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