Dopo l'articolo dedicato alle matrici, vi proponiamo stavolta una breve passeggiata tra i sistemi di equazioni lineari, i quali rivestono un ruolo centrale nell'algebra lineare.
In tutti i sistemi di equazioni lineari "sono coinvolti" scalari sia in qualità di coefficienti che di costanti che supponiamo appartenenti ad un campo generico K. Non si perde di generalità se si afferma che essi appartengono al campo dei numeri reali R.

Definizioni

Equazione lineare

Una equazione lineare nelle incognite x₁, x₂,..., x_n è l'equazione che può essere posta nella forma standard:

dove a₁, a₂, ... , a_n sono delle costanti. La costante a_k è il coefficiente di x_k.
b è detto invece termine noto dell'equazione.
Una soluzione dell'equazione lineare è un insieme di valori per ciascuna incognita o un vettore u di K, cioè:

tale che sia soddisfatta la seguente relazione, o enunciato, che segue:

In tal caso, si dice che la soluzione trovata soddisfa l'equazione.

Sistema di equazioni lineari

In maniera intuitiva potremmo dire che esso non è altro che un insieme di equazioni lineari con le stesse incognite. Nello specifico un sistema di m equazioni lineari L₁, L₂, ... , L_m in n incognite x₁, x₂, ... , x_n può essere posto nella consueta forma standard :

dove a_ij e b_i sono costanti.
a_ij è il coefficiente dell'incognita x_j nell'equazione L_i, mentre b_i è la costante o termine noto dell'equazione L_i.
Il sistema prima scritto a titolo di esempio è detto sistema m x n. E' detto sistema qudrato se m = n, cioè se il numero delle equazioni è uguale a quello delle incognite.

Si dice omogeneo se tutti i termini noti sono nulli, altrimenti è detto non omogeneo.

Una soluzione del sistema di equazioni lineari è un insieme di valori per ognuna delle incognite o, in maniera equivalente, un vettore u di Kⁿ, che sia soluzione di ognuna delle equazioni che compongono il sistema. L'insieme di tutte le soluzioni è detto insieme delle soluzioni o soluzione generale del sistema.

Il sistema di equazioni lineari è detto inconsistente se non ha soluzioni, consistente se ha una o più soluzioni. Se il campo degli scalari K è infinito, come può esserlo il campo R dei numeri reali o quello dei numeri complessi C, vale il teorema che segue.

Supposto che il campo K sia infinito, allora ogni sistema di equazioni lineari:

• ha un'unica soluzione;
• non ha alcuna soluzione;
• ha infinite soluzioni.

Matrice aumentata e matrice dei coefficienti

Dato ancora una volta il sistema generico di cui sopra, si dicono rispettivamente matrice aumentata e matrice dei coefficienti le seguenti due matrici:

La matrice dei coefficienti è la matrice aumentata privata dell'ultima colonna dei termini noti o costanti. Un sistema di equazioni lineari è completamente determinato dalla sua matrice aumentata M e viceversa.

Equazione lineare degenere

Una equazione lineare si dice degenere se tutti i oefficienti sono nulli, cioè se si presenta nella forma:

La soluzione di tale equazione dipende esclusivamente dal valore di b:

• se b ≠ 0 l'equazione non ha soluzioni;
• se b = 0 ogni vettore u = (k₁, k₂, ... , k_n) in Kⁿ è soluzione.

Sistemi equivalenti ed operazioni elementari

Consideriamo ancora il generico sistema di equazioni lineari m x n:

Detta L l'equazione lineare ottenuta moltiplicando le m equazioni per le costanti c₁, c₂, ... , c_n e sommando le equazioni ottenute:

Tale equazione è detta combinazione lineare delle equazioni del sistema. Ogni soluzione del sistema generico prima scritto è anche soluzione di tale combinazione lineare.
Due sistemi di equazioni lineari si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Dato un sistema di equazioni elementari L₁, L₂, ... , L_m si dicono operazioni elementari le seguenti operazioni:

• scambiare due delle equazioni ;
• sostituire un'equazione con un multiplo diverso da zero di se stessa;
• sostituire un'equazione con la somma di un multiplo di un'altra equazione e se stessa.

Vale inoltre il seguente teorema:

se abbiamo un sistema M di equazioni lineari ottenuto da un altro sistema, chimiamolo S, grazie ad una sucessione finita di operazioni elementari, allora M ed S hanno le stesse soluzioni.

Partiamo dal basso...

Equazione lineare in un'incognita

Data l'equazione lineare ax = b, si ha:

• se a ≠ 0 allora x = b/a è l'unica soluzione dell'equazione;
• se a = 0 e b ≠ 0, allora l'equazione non ha nessuna soluzione;
• se a e b sono entrambi uguali a zero, ogni scalare k è soluzione dell'equazione.

Sistema di due equazioni lineari in due incognite

Consideriamo il sistema di due equazioni lineari non degeneri in due incognite composto dalle seguenti equazioni:

Essendo le due equazioni non degeneri, A₁ e B₁ non possono essere entrambi uguali a zero e lo stesso vale per A₂ e B₂.
Detto R il campo degli scalari, il grafico di ogni equazione è una retta in R² e ci sono "tre tipologie" di soluzione, descrivibili geometricamente:

• il sistema ha una soluzione: le due rette delle due equazioni si intersecano in un punto. Ciò si verifica quando i coefficienti angolari delle due rette sono differenti tra loro:

L'esempio in figura che segue chiarisce meglio l'idea, dove le due rette hanno coefficienti angolari differenti, in particolare 1/3 ≠ -1/2.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

• il sistema non ha soluzioni: accade che le due rette sono parallele. Ciò si verifica quando le due rette hanno gli stessi coefficienti angolari ma è diversa l'intercetta di y, cioè quando è soddisfatta la relazione:

Si comprende meglio graficamente tale eventualità nell'esempio che segue, dove si ha 1/2 = 3/6 ≠ -3/8:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

• il sistema ha infinite soluzioni: le due rette coincidono in questo caso. Ciò accade quando le rette hanno lo stesso coefficiente angolare e la stessa intercetta di y, cioè quando è soddisfatta la relazione :

Nell'esempio che segue in figura, si comprende meglio tale situazione ed in particolare risulta 1/2 = 2/4 = 4/8:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Algoritmo di eliminazione

La soluzione al sistema 2 x 2 può essere trovata grazie al procedimento cosiddetto di eliminazione attraverso il quale il sistema viene ridotto ad una sola equazione ad una incognita. Qualora la soluzione del sistema sia unica esso si divide in due parti: input: due equazioni L₁ e L₂ non degeneri in due incognite; il sistema ammette un'unica soluzione.

• Parte 1, detta di Eliminazione in avanti : moltiplicare ogni equazione per una costante in modo che i coefficienti di una delle due incognite (x e y) siano l'uno l'opposto dell'altro in modo tale che andando a sommare le due equazioni se ne ottiene ne una "nuova" L con una sola incognita.

• Parte 2, detta di Sostituzione all'indietro: si risolve la nuova equazione ottenuta L e si sotituisce il valore dell'unica incognita in una delle due equazioni "di partenza" in modo da trovare il valore dell'altra incognita.

La Parte 1 è applicabile sia a sistemi che ammettono un'unica soluzione sia a quelli che non ammettono un'unica soluzione. In quest'ultimo caso, l'equazione L che si ottiene è degenere e la Parte 2 non è applicabile.

Esempio

Facciamo un piccolo esempio con un sistema che ammette soluzione unica per capire meglio quanto detto finora.
Consideriamo il sistema che segue, composto dalle equazioni L₁ e L₂:

Scegliamo di "eliminare" ad esempio la x e quindi moltiplichiamo la prima equazione per -3 e la seconda per 1 e sommiamo algebricamente le equazioni risultanti:

otteniamo l'equazione L:

da cui y = 1 che sostituito in una delle due equazioni di partenza fornisce il valore di x = -1.

Sistemi in forma triangolare e sistemi in forma a scala

Consideriamo due tipi semplici di sistemi di equazioni lineari, quelli in forma triangolare e a scala.

Sistemi in forma triangolare

Ne è un esempio il seguente sistema:

In esso la prima incognita x₁ è l'incognita principale della prima equazione. L'incognita principale della seconda equazione è x₂ ed è a destra di x₁ e così via .
Un sistema del genere ha un'unica soluzione ottenibile col metodo della sostituzione all'indietro. In altre parole:

• si risolve l'ultima equazione ricavando la x₄;
• si sostituisce il valore trovato nella penultima equazione e si risolve trovando x₃;
• si sostituiscono nella seconda equazione di tale sistema i valori trovati di x₃ e x₄ e si ricava x₂;
• si sotituiscono nella prima equazione i valori di x₃, x₃ e x₄ trovando poi x₁.

Il vettore u=(x₁,x₂,x₃,x₄), con i valori trovati, è l'unica soluzione di tale sistema.

Sistemi in forma a scala

Un sistema come quello che segue è detto in forma a scala:

In esso nessuna equazione è degenere e l'incognita principale di ogni equazione tranne la prima è a destra della variabile principale dell'equazione precedente.
Le variabili x₁, x₃, x₄ sono dette pivot, mentre le altre incognite x₂ e x₅ sono dette libere.
Consideriamo un sistema in forma a scala con r equazioni ed n incognite. Due sono i casi possibili:

• r = n: numero di equazioni e di incognite coincidono, allora il sistema ammette un'unica soluzione (esso sarà infatti un sistema in forma triangolare);
• r < n: il numero di incognite è maggiore del numero di equazioni. Possiamo assegnare alle n - r variabili libere valori arbitrari e risolvere il sistema in modo unico calcolando quelle che sono le variabili pivot, ottenendo la soluzione del sistema.

Se come nell'esempio in alto il nostro sistema avesse più incognite che equazioni e se supponessimo che il campo K a cui appartengono gli scalari fosse infinito sarebbero tali anche le soluzioni del sistema.
Ebbene, la soluzione di un sistema con variabili libere, come nel nostro caso, può essere raggiunta in due modi equivalenti tra loro: forma parametrica e forma in funzione delle variabili libere.

Forma parametrica

Tenendo sempre presente il nostro sistema in forma a scala di cui sopra, dobbiamo assegnare dei valori arbitrari, detti parametri alle variabili libere x₂ e x₅, ad esempio x₂= a e x₅= b. Utilizziamo poi il metodo della sostituzione all'indietro, che già abbiamo conosciuto ed affrontato in precedenza, per ricavare le variabili pivot in funzione di a e b.
Si ottiene:

Forma in funzione delle variabili libere

Anche qui si utilizza il metodo della sostituzione all'indietro, ma stavolta le variabili pivot si ricavano non in funzione dei parametri ma direttamente delle variabili libere x₂ e x₅. In altre parole, partendo dall'ultima equazione si ha che x₄= 2+ 3x₅. Si sostituisce tale espressione nella seconda equazione ottenendo x₃ in funzione di x₅ (x₃= 1 - 8x₅) e si sotituisce ancora nella prima equazione. Si ottiene in maniera analoga a prima:

Come si può intuire i due metodi sono praticamente identici tra loro e la scelta nell'applicare l'uno piuttosto che l'altro è puramente di carattere estetico/formale.

Metodo di eliminazione di Gauss

Il metodo principe per risolvere il generico sistema di equazioni lineari in forma generale, cioè per come l'abbiamo presentato in principio di articolo, resta quello di eliminazione di Gauss. E' composto di due parti:

• Parte 1: riduzione passo dopo passo del sistema in modo da avere una equazione degenere senza soluzioni o un sistema in forma triangolare o a scala;
• Parte 2: sostituzione all'indietro passo dopo passo fino ad avere la soluzione del sistema nella forma più semplice

Come si può intuire la Parte 2 è la seconda parte dell'algoritmo per eliminazione di cui abbiamo già parlato prima.
Riportiamo quindi la spiegazione della Parte 1 di tale metodo

Algoritmo per la Parte 1

INPUT: Abbiamo un sistema di equazioni lineari m x n:

PASSO DI ELIMINAZIONE: Si trova la prima incognita del sistema con coefficiente non nullo (secondo le notazioni adottate sinora deve essere x₁):

• supponiamo appunto che sia a₁₁ ≠ 0. Quindi se dovesse essere necessario si procede con lo scambio delle equazioni di modo che x₁ appaia nella prima equazione;
• usiamo a₁₁ come coefficiente pivot per eliminare la x₁ da tutte le altre equazioni tranne la prima. In parole più brevi, per i >1:

1. porre m= -a_i1/a₁₁
2. sostituire L_i con mL_i + L_i.

Il sistema assumerà la seguente forma:

dove x₁ non appare solo nella prima equazione, a₁₁ ≠ 0 e x_j2 è la prima incognita con coefficiente non nullo in una qualunque delle altre equazioni, fuorchè la prima.

• Poi occorre esaminare ogni nuova equazione L. In particolare se :

1. L ha la forma 0x₁ + 0x₂ + ... + 0x_n=b con b non nullo , allora NON BISOGNA CONTINUARE, in quanto il sistema è incosistente e non ha soluzioni;
2. L ha forma 0x₁ + 0x₂ + ... + 0x_n=0 o se L è multiplo di un'altra equazione, dobbiamo cancellarla dal sistema.

PASSO RICORSIVO: si ripete ancora il PASSO DI ELIMINAZIONE ad ogni sitema più piccolo formato da tutte le equazioni tranne la prima.
OUTPUT: il sistema risulta infine ridotto alla forma triangolare o in forma a scala o ancora in un'equazione degenere che indica che il sistema è inconsistente.
Facciamo qualche piccola specificazione: il numero m prima citato è detto moltiplicatore.

Esempio di applicazione del metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari

Abbiamo un sistema le cui 3 equazioni sono:

Proseguiamo rispettando le parti dell'algoritmo prima esposto.
Parte 1.
Usiamo il coefficiente 1 di x nella prima equazione L₁ come coefficiente pivot per eliminare la x dall'equazione L₂ e dalla L₃. Si procede in tal modo:

• moltiplichiamo L₁ per m=-2 e sommiamola a L₂, cioè sostituiamo L₂ con -2L₁+L₂;
• moltiplichiamo L₁ per m=3 e sommiamola a L₃, cioè sostituiamo L₃ con 3L₁ + L₃.

Si giunge così a:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e a:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Si giunge ad un nuovo sistema le cui 3 equazioni saranno:

Usiamo ora come coefficiente pivot il coefficiente 2 dell'incognita y nella seconda nuova equazione L₂ di cui sopra per eliminare la y dalla terza equazione nuova L₃. Si procede come segue:
moltiplichiamo L₂ per m= 3/2 e poi la sommiamo a L₃, cioè sostituiamo L₃ con 3/2L₂ + L₃.
Si giunge così a:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

In definitiva il sistema sarà così composto:

Come si può notare, il sistema è in forma triangolare. Dunque la Parte 1 è terminata.
Parte 2.
I valori delle tre incognite sono ottenuti tramite il metodo già noto della sostituzione all'indietro. Otterremo quindi prima la z, poi la y ed infine la x. Nello spcifico:

• risolviamo L₃ ricavando il valore di z = 2;
• sostituiamo z = 2 nella L₂ e risolviamo tale equazione rispetto alla y ottenendo y = -3;
• sostituiamo in L₁ i valori di y e z precedentemente trovati e risolviamo rispetto all'unica incognita x, ricavando x = 1.

Concludendo, la soluzione del sistema triangolare, e quindi del sistema originario di partenza, sarà:

Matrici a scala, forma canonica per righe, equivalenza per righe

Un altra procedura per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari consiste nell'operare non col sistema stesso, bensì con la sua matrice aumentata M. Presentiamo a tal fine i concetti ad esso propedeutici.

Matrici a scala

Una matrice A si dice a scala quando sono soddisfatte le seguenti due condizioni:

• qualora fossero presenti righe zero queste devono essere in fondo alla matrice;
• ogni elemento iniziale non nullo si trova a destra dell'elemento iniziale non nullo della riga precedente.

Come sempre un esempio chiarisce più di mille parole.
La matrice seguente è una matrice a scala in cui sono stati messi in evidenza (viola) i suoi pivot:

Come si può vedere l'unica riga zero della matrice è in fondo ad essa e in ogni riga il primo elemento iniziale non nullo si trova sempre a destra del primo elemento iniziale non nullo della riga che lo precede.

Forma canonica per righe

Una matrice a scala si dice in forma canonica per righe se soddisfa le due proprietà citate prima per una matrice a scala e se soddisfa anche le seguenti due proprietà:

• ogni pivot (cioè l'elemento iniziale) non nullo è pari a 1;
• ogni pivot non nullo è l'unico elemento non nullo della colonna.

Esempi "particolari" di matrice in forma canonica per righe sono la matrice zero 0 e la matrice identità I. Un esempio pratico di matrice a scala in forma canonica per righe è rappresentato dalla seguente matrice:

Operazioni elementari per riga

Data una matrice A con righe R₁, R₂, .... , R_m, definiamo le operazioni su A che sono dette operazioni elementari per riga. Esse sono le seguenti:

• E1 - SCAMBIARE LE RIGHE: scambiare le righe R_i e R_j;
• E2 - RISCALARE LE RIGHE: sostituire una riga R_i con un multiplo di se stessa kR_i;
• E3 - SOMMARE LE RIGHE: sostituire una riga R_j con la somma di un multiplo kR_i di una riga R_i e della riga stessa R_j.

Da notare che spesso nella pratica degli esercizi i passi E2 e E3 vengono accorpati nell'unico passo E:
E: sostituire la riga R_j con la somma di un multiplo kR_i di una riga R_i e un multiplo diverso da zero k'R_j della riga stessa R_j.

Equivalenza per righe e rango di una matrice

Date due matrici A e B, si dice che A è equivalente per righe a B e si scrive come A ~ B quando è possibile ricavare B da A grazie ad una sequenza finita di operazioni elementari per riga, che abbiamo descritto sopra.
Si dice invece rango di una matrice A e si scrive rank(A) il numero di elementi pivot della matrice in forma a scala di A.

Forma matriciale dell'eliminazione di Gauss

Sono due gli algoritmi in forma matriciale:

• ALGORITMO 1: trasforma la matrice A in forma a scala;
• ALGORITMO 2: trasforma la matrice in forma a scala nella sua forma canonica per righe.

Riportiamo di seguito la descrizione degli algoritmi che in realtà sono una riapplicazione alle matrici di quanto scritto per i sistemi di equazioni lineari.

ALGORITMO 1.
INPUT: Matrice A (l'OUTPUT sarà la matrice in forma a scala di A)
PASSO 1: Troviamo la prima colonna con elementi diversi da zero e la chimiamo j₁. Poi:

• operiamo in modo che a_1j1 ≠ 0, cioè facciamo in modo che un elemento diverso da zero compaia nella prima riga alla colonna j₁;
• usiamo a_1j1 come elemento pivot per ottenere zero al di sotto di a_1j1, in particolare per i > 1:

PASSO 2: Si ripete il PASSO 1 alla sottomatrice formata da tutte le righe eccetto la prima. Inmaniera analoga a quanto fatto prima chimiamo j₂ la prima colonna della sottomostrcie con un elemento diverso da zero. Avremo così che alla fine di questo passo a_2j2 ≠ 0-

PASSO 3 FINO A r: Si continua tale processo fino a quando la sottomatrice ha solo righe con zeri. Avremo che alla fine di questo algoritmo gli elementi pivot saranno:

Da notare che:

• r è il numero di righe diverse da zero nella forma finale a scala;
• m è il moltiplicatore, già precedentemente incontrato, pari a : m = - a_ij1a_1j1.

ALGORITMO 2.

INPUT: Matrice A nella forma a scala (l'OUTPUT sarà la matrice A nella forma canonica per righe)
PASSO 1:

• Riscalare la riga in modo che l'ultimo elemento pivot sia uguale a 1; moltiplicare l'ultima riga diversa da zero R_r per 1/a_rjr;
• Utilizzare a_rjr=1 in modo da ottenere zero sopra l'elemento pivot; per i= r - 1, r - 2, ... , 2, 1 bisogna

PASSO 2 FINO A r -1: In sostanza si ripete il PASSO 1 per le righe R_r-1, R_r-2, ... , R₂.
PASSO r: Bisogna riscalare la riga in modo che il primo elemento pivot sia 1, moltiplicare quidni R₁ per 1/a_1j1.

Esempio di applicazione della forma matriciale dell'eliminazione di Gauss

Per capire meglio, un esempio non guasta.
Abbiamo la matrice A:

Vediamo come applicare gli algoritmi prima descritti a tale matrice.

Applicazione dell'ALGORITMO 1
Utilizziamo a₁₁=1 come pivot per avere zero al di sotto di a₁₁. Applichiamo le seguenti operazioni:

• sostituiamo R₂ con -2R₁ + R₂
• sostituiamo R₃ con -3R₁ + R₃.

Utilizziamo a₂₃ = 2 come pivot per ottenere zero sotto a₂₃. Applichiamo le seguenti operazioni:

• sostituiamo R₃ con (-3/2)R₂ + R₃.

Si ottiene:

Otteniamo l'output prefissato, cioè la matrice in forma a scala.

Applicazione dell'ALGORITMO 2 Si moltiplica R₃ per -1/2 al fine di avere l'elemento pivot a₃₅=1 e usiamo quest'ultimo come pivot per avere zero al di sopra di esso. Applichiamo le operazioni:

• sostituiamo R₂ con -5R₃ + R₂;
• sostituiamo R₁ con -2R₃ + R₁.

Si ottiene:

Poi ancora: moltiplichiamo R₂ per 1/2 in modo da avere l'elemento pivot a₂₃=1 e da poterlo utilizzare come pivot per ottenere zero al di sopra di esso. Applichiamo la seguenti operazioni: sostituiamo R₁ con 3R₂ + R₁.
Si ottiene:

Questa è la fomra canonica per righe di A.

Un'applicazione ai sistemi di equazioni lineari

Risolviamo il seguente sistema:

Scriviamo la matrice aumentata M:

Successivamente la riduciamoin forma a scala e poi in forma canonica :

La soluzione del sistema è u= (2, -1, 3).

Inversa di una matrice n x n

L'algoritmo che segue mostra come calcoalre l'inversa di una matrice n x n:

PASSO 1: Formiamo la matrice a blocchi n x 2n M = [A,I]: A nella metà di sinistra e I in quella di destra.

PASSO 2: Si riduce M in forma a scala. Se durante il procedimento si viene a creare nella metà con A una riga zero, allora

(A non è invertibile). Altrimenti tale metà assume forma triangolare.

PASSSO 3: Si riduce M in forma canonica per righe ottenendo: M ~ [I,B], dove la matrice identita I sostituisce la matrice A e la matrice B è l'inversa di A.

PASSO 4: Porre A^-1 = B.

Esempio

Facciamo un piccolo esempio per capire meglio.

Troviamo l'inversa della seguente matrice:

Formiamo la matrice a blocchi M=[A,I] e riduciamo in forma a scala M:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La metà di sinistra di M è in forma tiangolare ed A è invertibile. Riduciamo fino alla forma canonica per righe:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Otteniamo che la inversa A^-1 è:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Bibliografia

"Algebra lineare" - Lipschutz, Lipson.