Premessa

Questo breve excursus sulla “logica” non riguarda direttamente la logica dei circuiti così come la conosciamo noi elettrici, anche se, naturalmente, la riguarda indirettamente, come conseguenza. Ma la logica dei circuiti è roba che risale grosso modo alla metà del ‘900, mentre io vorrei occuparmi qui, anche se in modo forzatamente sintetico, delle basi del pensiero logico, nel senso delle regole o leggi che lo governano e della loro storia. Mi baserò a questo scopo sul libro di P.G. Odifreddi Le menzogne di Ulisse (Longanesi – Milano – 2004) di cui riporterò brani tra virgolette, oppure riassunti di suoi brani, senza virgolette e senza più citarlo.

Che cos’è la logica

Che cos’è la logica? E’ “lo studio del lògos: cioè del pensiero e del linguaggio. O meglio, del pensiero come esso si esprime attraverso il linguaggio. Il che significa che perché ci possa essere una logica ci deve essere un linguaggio. ” Qui già bisogna fare una precisazione: il linguaggio è stato “inventato o scoperto” relativamente di recente dall’Homo sapiens (circa 190.000 anni fa).

Ma noi vediamo che anche gli animali si muovono con una loro logica. Anzi, solo con quella, con una logica che possiamo chiamare razionale per ripetere comportamenti programmati, orientati al fine primario della sopravvivenza (compresa la riproduzione). Quindi dovremmo specificare che la logica che studiamo è una logica che si manifesta attraverso la coscienza, e che quindi si esprime con un linguaggio sofisticato e basato su “sostantivi, aggettivi e verbi che servono a indicare [rispettivamente] oggetti, proprietà e azioni”. La sua nascita non risale quindi al sapiens, ma solo “a poche migliaia di anni fa”. Furono i Greci a inaugurarla e riuscirono a svilupparla a livelli notevoli.

Se consideriamo il “pensiero come esso si esprime attraverso il linguaggio” dobbiamo notare che “sotto” al linguaggio c’è l’aspetto della condivisione-comunicazione, che non riguarda il particolare linguaggio impiegato ma le capacità cognitive comuni a tutti gli esseri umani. Ad esempio, la geometria euclidea è, entro certi limiti, autoevidente: una figura disegnata su un foglio, da me riconosciuta come “triangolo”, sarà riconosciuta come triangolo anche da qualsiasi altro essere umano. Se così non fosse non potremmo studiare nulla, né comunicare nulla, probabilmente. Così, un’affermazione che descrive qualcosa di “oggettivo”, può essere “vera” o “falsa” e lo sarà per tutti allo stesso modo.

Il linguaggio può facilmente diventare complicato e illusorio e “uno degli scopi della logica è proprio quello di sviluppare strumenti sufficienti a farci ridere di una buona parte delle sedicenti ‘argomentazioni’ dei nostri simili, mostrandoci le une e gli altri nella loro infantile ingenuità.” Cosa estremamente difficile, come ben si sa. Se questo è lo scopo, si può dire con sicurezza che è fallito. E questo per il motivo, da Odifreddi non evidenziato, che per l’essere umano la logica cosciente e razionale, indubbiamente uno dei cardini dell’evoluzione umana, non è che uno strumento parziale di approccio verso il mondo; il grosso del comportamento è dominato da quella parte inconscia, irrazionale, che tanto è stata demonizzata nei secoli dei secoli ma che non è necessariamente “cattiva” e in ogni caso non lo è di natura. Anzi, è la parte più nobile della natura umana, sede della creatività, della fantasia, cose che gli altri animali non hanno. Ma, come accade alla realtà corporea, anche questa realtà non materiale va soggetta alla malattia e quindi a diventare perversa.

La logica si basa sull’emettere giudizi su oggetti, proprietà e azioni con il metodo delle argomentazioni a favore o a sfavore. Il termine metodo indica “una via (hòdos) che porta oltre (metà)”. L’opposto del metodo è la “aporia, o ‘mancanza di strada’ termine che in seguito è passato a indicare un problema.” I giudizi implicano una scelta tra qualcosa e qualcos’altro, quindi il metodo è tipico del “pensiero dualistico”. Le scelte che la logica indaga sono appunto due: vero e falso.
Ma vero e falso non sono da considerare sempre la negazione l’uno dell’altro: nella scelta della negazione c’è una direzione privilegiata: è vero ciò che non è falso, ma non sempre ciò che non è falso è vero. Karl Popper “ha notato come la scienza non sia mai in grado di verificare le sue teorie, ma possa a volte falsificarle. ” Solo le teorie che, a certe condizioni, si lasciano falsificare sono da considerarsi scientifiche. Le superstizioni, ad esempio, non possono mai essere confutate e questo le distingue dalle scienze. Analogamente in medicina è possibile provare la malattia di qualcuno ma l’assenza della malattia non significa necessariamente salute.

In ogni caso la logica si propone come uno strumento di calcolo: una volta simbolizzati i suoi termini, si cerca la possibilità di svolgere un calcolo, una sequenza di passi che ‘svolgono un ragionamento’ e portano a una conclusione univoca e certa, in modo che le argomentazioni in oggetto non siano confutabili. Un esempio sono le dimostrazioni matematiche. Vedremo poi che la logica non è una sola ma che esistono varie “logiche”, tutte fondate però implicitamente sul nostro modo di ragionare, comune a tutti gli esseri umani (e per vari aspetti anche quelli non umani, come mostra la biologia).

Trabocchetti

Riporto una importante precisazione fatta da un professore di matematica dell'università di Pisa: "Attenzione: avere senso/significato è una condizione di ammissibilità che precede la verifica di verità o falsità.Ad esempio le proposizioni \L'America abbaia la cioccolata\ e \L'America meno sette fa due angurie\ sono prive disenso (in particolare è inutile chiedersi se sono vere o false); \L'America contiene la città di Tokyo\ ha senso ma è falsa;\L'America assomiglia all'Asia\ ha senso ma non e ne' vera ne' falsa (non è chiaro cosa voglia dire "assomigliare" inmodo oggettivo, dunque non si tratta di una proposizione logica)."

Ben presto è emerso che il linguaggio presenta a volte dei trabocchetti, come il famoso paradosso del mentitore: “in questo momento io sto mentendo”, formulato per la prima volta da Ebulide di Mileto nel IV secolo A.C..La frase non può essere falsa perché sarebbe vera, né può essere vera perché sarebbe falsa. Consideriamo anche la frase: “il monosillabo è composto di sei sillabe”. Essa è falsa se ci si riferisce al significato di “monosillabo”, è vera se ci si riferisce alla parola “monosillabo” che è composta di 6 sillabe. La contraddizione si può eliminare distinguendo l’uso dalla menzione: “il‘monosillabo’ è composto di 6 sillabe; dove gli apici sono fondamentali! Si pensi anche alla storia di Ulisse, che al gigante Polifemo aveva detto dichiamarsi “Odisseus” che significa “nessuno”: quando al gigante accecato fu chiesto dagli altri giganti chi l’avesse accecato, lui rispose “Nessuno!” e così non fu preso sul serio. Un paradosso famoso è quello di Achille e la tartaruga: “se Achille (detto "piè veloce") venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, saràavanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l'infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.” Il paradosso evidenziato da Zenone di Elea nel V secolo A.C. è stato risolto solo nel ‘600, quando si sono studiate le serie infinite e le loro condizioni di convergenza.

Anche se la filosofia greca è iniziata con l’impiego cosciente del lògos, con Parmenide, Pitagora, Socrate, Platone e vari altri, il primo vero studioso di logica è Aristotele, che vive nel IV secolo A.C. Mentre il suo maestro Platone aveva istituito la scuola detta Accademia (in onore dell’eroe Accademo), Aristotele fondò la sua scuola che chiamò Liceo, in onore del dio Apollo Lykeios (protettore dei lupi). Nell’opera Organon, ossia strumento (per le scienze), come lui considerava la Logica, vengono trattate le Categorie, che sono per lui “qualunque termine che possa essere considerato isolatamente” ossia non ricavabile da altri o, potremmo dire noi, ortogonale agli altri: le Categorie sono l’analogo di una base ortogonale di vettori. “In senso più lato Categoria passò a denotare qualunque ‘dichiarazione pubblica’, come quando si accusa una ricevuta o un dolore, o ancora più generalmente si enuncia un ‘predicato’: che significa appunto ‘detto di fronte’, e da cui derivano ‘predicazione’, ‘predicatore’ e ‘predica’”. Le categorie, in tutto 10, possono intendersi anche “come un elenco di categorie grammaticali: sostantivi, aggettivi (qualitativi e quantitativi), relazioni, avverbi (di luogo e ditempo), verbi ausiliari (essere e avere), forme verbali (attive e passive). Nell’altra sua opera Metafisica (Oltre la Fisica) si enunciano le due ‘leggi dell’essere’ che regolamentano l’uso della negazione; in sintesi: un enunciato può avere solo i due valori ‘vero’e ‘falso’ (principio del terzo escluso), e non può essere sia vero che falso nelle stesse condizioni (principio di non contraddizione). Questo dualismo durerà fino al ‘900, quando si introdurranno logiche con anche valori intermedi.

Aristotele “decretò che ‘Ogni affermazione sarà formata da un soggetto e da un predicato’ e rimosse completamente la possibilità di strutture più complesse coinvolgenti relazioni tra più soggetti”. L’unione di soggetto e predicato è rappresentata quindi come ‘copula’ tra due soli elementi e naturalmente “unampliamento della logica dei predicati alla logica delle relazioni è dunque necessario in matematica, ma esso non sarà effettuato che nell’800. ” Anche se la escluse (forse per semplificare?) nei soggetti, Aristotele introdusse la molteplicità come significato di ‘inclusione’ del verbo essere, come quando si dice “l’eleatico è un filosofo”. Introdusse inoltre il significato di ‘identità’ con il principio di indiscernibilità degli identici “Cose uguali godono delle stesse proprietà e sono intercambiabili ” nonché il suo contrapposto principio di identità degli indiscernibili “Cose che godono delle stesse proprietà o che sono intercambiabili, sono uguali”. Notò anche che “‘non uguali’ e ‘disuguali’ sono due espressioni diverse non solo nella forma ma, meno ovviamente, anche nella sostanza: solo nel ‘900 Brouwer distinguerà tra dimostrazioni dirette e costruttive che provano positivamente una disuguaglianza, e dimostrazioni indirette e non costruttive, che provano negativamente una non uguaglianza.”

Nel discorso, oltre alle categorie, ci sono anche icosiddetti connettivi come ‘e’ e‘non’. “ I fatti sono espressi dalle categorie o ‘parti’, mentre i connettivi costituiscono delle particelle che li ‘intrecciano’ e hanno la funzione di‘mediatori tra (inter) le parti’ e conducono alle ‘inter-partizioni’ o‘interpretazioni’. L’interpretazione è l’oggetto dell’ ermeneutica ossia dello studio dell’attività di Hermes (Mercurio) come messaggero e intermediario tra gli dei e gli uomini.
I connettivi di cui tratta Aristotele sono di due tipi: i‘quantificatori’ e le ‘modalità’. I quantificatori sono tutti, nessuno, qualcuno, non tutti e sono riassunti in un quadrato di opposizioni: tutti, nessuno, qualcuno, non tutti e sono riassunti in unquadrato di opposizioni:

Le diagonali contengono espressioni contraddittorie, ossiasolo una di esse può essere vera ma non entrambe, come ad esempio tra “tuttigli uomini sono bianchi” e “non tutti gli uomini sono bianchi”.

Le modalità sono necessario, contingente, possibile, impossibile e sono riassunte in un quadrato di opposizioni:

I quantificatori, per quanto individuati, non svolgono un ruolo costruttivo di primo piano e verranno ripresi molti secoli dopo, come dicevo più sopra. I principali risultati di Aristotele riguardano l’analisi, in greco anàlysis che significa ‘sciogliere’ o ‘solvere’, da cui “soluzione”. Viene costruita la teoria dei sillogismi o ‘ragionamenti’, il cui più famoso esempio è ‘Se ogni B è C, e ogni A è B, allora ogni A è C’. Due degli enunciati, quelli tra ‘se’ e ‘allora’, fungono da premesse e quello dopo ‘allora’ da conclusione. Nell’esempio precedente il termine B è detto “medio” tra A e C e può fungere da soggetto o da predicato per una o entrambe le premesse; ciò conduce a 4 sillogismi diversi. Di ciascun tipo ci sono 64 possibili figure perché sia le premesse che la conclusione possono usare uno qualunque dei 4 quantificatori, quindi in totale 256 figure. Aristotele si pose il problema di quali fossero valide da un punto di vista logico e lo risolse completamente scoprendo che in ciascuna figura ci sono esattamente 6 sillogismi validi: dunque 24 in tutto.

Un’altra importante scuola di logica fu la “Stoà” (di cui rimane oggi solo il termine “stoico” come sinonimo di imperturbabile) fondata ad Atene verso il 300 A.C. e di cui il principale rappresentante fu Crisippo. A lui si devono i fondamenti della “logica proposizionale” usata ancora oggi, definendo i connettivi, gli assiomi e le regole fondamentali. Il termine assioma fu scelto per denotare ‘asserzione’ perché derivava da àxios ossia “degno” e in seguito il termine diventò riferito a una sorta di ‘evidenza primordiale’ che esonerava da dimostrazioni; oggi è usato come punto di partenza di una dimostrazione, mentre gli stoici parlavano di apodittico (“dimostrato”) e anapodittico (“non dimostrato”). Il termine teoria deriva da théa “spettacolo” e horào “osservare”: dunque “contemplazione”, che è anche il significato letterale di teorema. Mentre le dimostrazioni sono percorsi che collegano gli assiomi ai teoremi (gli stoici li chiamavano ipotesi e tesi) mediante regole. Anche le regole, similmente gli assiomi, non possono essere dimostrate ma solo intuite, come dicevo all’inizio, perché forse derivano direttamente dal nostro hardware cerebrale.

“Gli stoici hanno diviso la logica in tre parti che, con termini moderni, sono la semiotica, la sintassi e la semantica che si occupano rispettivamente dei segni (fonemi e grafemi), dei sensi (parole e frasi) e dei significati (oggetti e fatti)”. In generale “la sintassi determina la validità di un giudizio sulla base della sua sola forma” prescindendo dal contenuto, di cui si occupa invece la semantica, termine entrato in voga a fine ‘800. Essa si riferisce a un insieme di regole che determinano la verità di una proposizione sulla base del rapporto tra mondo e linguaggio, cioè fra gli oggetti e i segni che li indicano. D’altronde significare deriva da signum facere, “lasciare un segno”.

Le proposizioni (“porre avanti”), così battezzate da Cicerone sono delle tesi avanzate per una dimostrazione o una refutazione. La logica proposizionale si occupa delle preposizioni e dei connettivi “proposizionali”, che sono stati approfonditi dagli stoici, e definiti come negazione, congiunzione, disgiunzione e implicazione. “Ovvero le particelle che nel linguaggio comune sono indicate da “non”, “e”, “o” e “se… allora”. Particelle che poi in informatica, come si sa, sono state chiamate NOT, AND, OR mentre l’implicazione non ha un nome simbolico ben definito e unico. D’altra parte la disgiunzione ha due aspetti perché può essere inclusiva (OR) o esclusiva (XOR) e che in latino corrisponde rispettivamente a vel ed a aut – aut. L’implicazione è la più problematica, perché è sicura in un solo caso e cioè quando “l’ipotesi è vera e la conclusione è falsa”; in questo caso si vede che qualcosa è andato storto nel ragionamento, che deve essere falso. Il problema è sapere cosa succede negli altri casi, cioè quando l’ipotesi è falsa, o la conclusione è vera. Il megarico Filone propose una soluzione radicale, e dunque semplicistica: di considerare l’implicazione vera in tutti questi casi. La proposta fu e rimane bene accetta ”. In altre parole, un’ipotesi falsa implica che la conclusione è sempre vera; ad esempio “Se io sono il Papa allora tu sei un carretto” è un’implicazione per cui la proposizione “tu sei un carretto” è vera. Come sivede, emerge una caratteristica fondamentale di questa logica e cioè il suo essere formale, basata solo sulla sintassi e non sulla semantica, cioè sul contenuto.

Oltre all’implicazione è stata poi introdotta anche al doppia implicazione, definita da “se e solo se” (a volte scritta come SSE).

Logica proposizionale.

Diamo uno sguardo alla Logica proposizionale inaugurata dagli Stoici, in particolare da Crisippo. Questa parte è ripresa da un sito internet

PROPOSIZIONI.

Una proposizione è un’affermazione che è verao falsa, ma non può essere contemporaneamente vera e falsa.

ESEMPI

Sono proposizioni:

• 7 è maggiore di 2
• Londra è la capitale della Francia
• Un triangolo ha 5 lati

Non sono proposizioni :

• Che tempo fa ?
• Apri quella porta
• Che bella festa!

Poiché ogni proposizione può essere solo verao falsa , è possibile associare ad ogni proposizione un valore di verità: vero o falso e si denota rispettivamente con V o F o anche rispettivamente con 1 o 0 .
Se una proposizione è vera diremo cheha valore di verità V oppure 1 ,se è falsa diremo che ha valoredi verità F oppure 0. Ogni proposizione ha quindi un valore di verità.
Le proposizioni si denoteranno con le lettere minuscole dell’alfabeto latino, quali a,b,c... .
La Logica delle proposizioni o Logica proposizionale descrive come si possono combinare tra loro proposizioni in modo da ottenere altre proposizioni.

TAVOLE DI VERITA’

Negazione

Data la proposizione A si può ottenere la proposizione non A, detta la negazione di A, in simboli:

• è vera quando A è falsa
• è falsa quando A è vera.

I valori di verità di A sono quindi descritti dalla seguente tavola di verità

A
V	F
F	V

ESEMPIO

• A: Bari è una città
• Bari non è una città

Congiunzione “e” (AND)'

Date le proposizioni A, B si può ottenere la proposizione detta “congiunzione” A e B e indicata con
Essa è vera se e solo se A è vera e B è vera.
I valori di verità di sono quindi descritti dalla seguente tavola di verità

A	B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

ESEMPI

• è divisibile per
• è divisibile per
• è divisibile per e per

• è multiplo di
• è multiplo di
• è multiplo di e di

Disgiunzione “o” (OR)'

Date le proposizioni A, B si può ottenere la proposizione detta “disgiunzione” A o B e indicata con
è vera se esolo se almeno una delle due proposizioni è vera.
I valori di verità di sono allora descritti dalla relativa tavola di verità

A	B
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Implicazione

La proposizione se A allora B o anche A implica B , è detta implicazione. In simboli :

è falsa se e solo se A è vera e B è falsa, in tutti gli altri casi è vera.
I valori di verità di sono quindi descritti dalla seguente tavola di verità.

A	B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

ESEMPI

• A:12 è un numero divisibile per
• B:12 è un numero divisibile per
• se 12 è un numero divisibile per 6 allora è un numero divisibile per

• A: l’uomo è un elefante (F)
• B: 11 è un numero primo (V)
• se l’uomo è un elefante allora 11 è un numero primo (V)

OSSERVAZIONE

La nozione di implicazione si discosta dal significato usuale che si dà all’implicazione che esprime normalmente una correlazione di tipo causa-effetto tra A e B .

Doppia Implicazione

La proposizione : A se e solo se B o anche condizione necessaria e sufficiente affinché A è anche B, è detta doppia implicazione. In simboli
è vera se esolo se A e B hanno lo stesso valore di verità .

I valori di verità di sono allora descritti dalla seguente tavola diverità.

A	B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

ESEMPI

• A  : Verdi è un compositore italiano (V)
• 
• : Verdi è un compositore italiano se e solo se

CONNETTIVI LOGICI

I simboli sono detti connettivi logici
A partire da proposizioni molto semplici è possibile, utilizzando i connettivi logici , ottenere proposizioni composte sempre più complesse.
Il valore di verità di tali proposizioni è univocamente determinato dalle tavole di verità una volta che si sia stabilito il valore di verità dellesingole proposizioni di cui sono composte.

viene posto primadi una proposizione.
, sono posti tra due proposizioni.

FORMULE

Si considerino n simboli A₁,...,A_n , detti variabili proposizionali
Si dicono formule o forme proposizionali ( nelle variabili ) le espressioni definite da

1. sono formule.
2. Se A e B sono formule allora: sono formule
3. Sono formule (nelle variabili ) solo le espressioni ottenute tramite le 1 e 2

ESEMPIO

A,B variabili
è una formula
è una formula

è una formula.
Per semplificare la scrittura si eliminano le parentesi più esterne
L’ordine in cui si considerano i connettivi logici è il seguente:
prima la negazione poi e infine e .

ESEMPIO

si scrive
Per ogni forma proposizionale nelle variabili si può costruire una tavola di verità

ESEMPIO

Le variabili sono .
Le righe della sua tavola di verità sono 2³ = 8

OSSERVAZIONE

La tavola di verità di una formula in n variabili ha 2ⁿ righe.

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI

Una formula nelle variabili A₁,...,A_n che sia sempre vera qualunque siano i valori di verità assegnati ad A₁,...,A_n si dice tautologia.

ESEMPIO

La formula è una tautologia

A	B
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

Una formula nelle variabili che sia sempre falsa qualunque siano i valori di verità assegnati ad

si dice contraddizione.

ESEMPIO

La formula è una contraddizione

A
V	F	F
F	V	F

CONSEGUENZA LOGICA

Siano A e B due formule della logica proposizionale. Si dice che B è conseguenza logica di A, se B è vera ognivolta che A è vera e si scrive:.

ESEMPIO
sono formule. La formula B è conseguenza logica di A, ossia

Infatti: dalla tavola di verità di si vede che nell’unico caso in cui A ed sono entrambe vere, il che corrisponde solo alla prima riga, anche B è vero .

A	B
V	V	V
V	V	V
V	V	V
V	V	V

Siano A e B due formule. Si dice che A e B sono semanticamente equivalenti se hanno gli stessi valori di verità, cioè se hanno le stesse tavole di verità e si scrive .
Quindi se A e B sono semanticamente equivalenti si ha:

A è vera se e solo se B è vera ;

A è falsa se e solo se B è falsa.

ESERCIZIO
Verificare che se A e B sono formule, allora sono semanticamente equivalenti le formule

.

L’equivalenza semantica delle formule soprastanti, si collega a tre diversi modi in cui è possibile dimostrare una implicazione.
Per dimostrare che da A segue B si può procedere con una:

dimostrazione diretta
si assume vero A e si deduce la verità di B;

dimostrazione indiretta o per contrapposizione
da B segue A;

dimostrazione per assurdo
si suppone e si giunge ad una contrapposizione e ciò equivale a provare .

Da Boole in poi

“L’atto di nascita della “logica matematica” è il manifesto pubblicato da Boole nel 1847, appunto intitolato Analisi matematica della logica. In esso fu per la prima volta effettuata una duplice analisi algebrica: da un lato, della logica sillogistica di Aristotele, dall’altro di quella proposizionale di Crisippo.”
Emerse che le due logiche sono governate dalle stesse leggi e che sono in certo modo complementari.
“Nel 1849 questi risultati valsero a Boole una cattedra al Queen’s College di Cork, che egli tenne fino alla prematura morte nel 1864, a soli 49 anni e ‘sul campo’. Un giorno di pioggia infatti camminò per 3 km fino a scuola sotto l’acqua e fece lezione bagnato fradicio. La moglie, che era la nipote di quel Sir George Everest dal quale prende il nome il monte, non doveva però essere una cima. Credendo che le malattie andassero curate nello stesso modo in cui erano state contratte, gli diede il colpo di grazia tirando secchiate d’acqua gelata sul letto.”

Boole aveva proposto di interpretare il “vero” e il “falso” come numeri 1 e 0, cercando poi un’operazione algebrica che li scambiasse tra loro. La trovò in 1-x e infatti sostituendo si hanno le due equazioni:

Che si possono leggere in due modi, o come proprietà dei numeri 1 e 0 o come proprietà dei valori “vero” e “falso” quando vengono negati. Andando avanti per questa “semplice” strada arrivò a rappresentare le operazioni logiche come fossero operazioni aritmetiche, come noi oggi le conosciamo. In un sol colpo Boole trovò il modo (“di una semplicità imbarazzante”) di unificare le due logiche duali ("vero - falso"), ossia quella proposizionale e quella sillogistica, con la rappresentazione binaria dei numeri. Essa era stata scoperta, se non proprio teorizzata, dai soliti Cinesi nell’I-ching più di un migliaio di anni prima, anche se Leibnitz pensava di essere stato il primo a formularla. Ma Boole non si fermò qui. La sua vera scoperta fu che tutte le regole della sua algebra rimangono valide per le probabilità, dove 0 e 1 si possono interpretare rispettivamente come eventi impossibile e certo.

Nel 1938 il matematico Claude Shannon, l’inventore della Teoria dell’informazione, tradusse l’algebra di Boole in circuiti elettrici o elettronici, ponendo le basi del moderno computer. E nel 1943 i due neurofisiologi McCullogh e Pitts scoprirono che quell’algebra forniva un modello interpretativo sia pure assai approssimato del cervello umano, che ha dato origine, molti anni dopo anche alle cosiddette “reti neurali”.

La logica predicativa

Verso fine ‘800 i tempi erano maturi affinché la logica potesse diventare uno strumento utile per essere applicato alla matematica, che nel frattempo si era arricchita di nuove formulazioni, come la teoria insiemistica e la teoria del continuo di Cantor. Qualcuno cominciò a sognare una logica come fondamento di tutto il pensiero scientifico, a partire da quello matematico. Costui era il matematico tedesco Gottlob Frege. Purtroppo l’idea di quel fondamento si rivelò impraticabile quando Russel, studiandone il lavoro, scoprì la sua famosa antinomia (o contraddizione) che fece crollare in un solo momento tutto il castello teorico che aveva costruito. Ma il contributo basilare di Frege rimane l’aver fondato la “logica predicativa” in cui, oltre agli elementi della logica proposizionale, vengono introdotti in funzione costruttiva i “quantificatori”, espressioni che danno informazione su quanto è grande l'estensione in cui è valido un predicato. Essi sono il “quantificatore universale” (ogni cosa) e il “quantificatore esistenziale” (qualche cosa).

FUNZIONI PROPOSIZIONALI o PREDICATI

Sia D un insieme detto dominio.

Una funzione proposizionale o predicato su D è un’espressione P(x) tale che P(x) sia una proposizione quando al posto della variabile individuale x si sostituisce un arbitrario elemento a D ( è il simbolo di appartenenza), ossia, per ogni a D, si ha che P(a) è vera o P(a) è falsa.

QUANTIFICATORI

Un predicato non è né vero né falso, ma diventa vero o falso, cioè diventa una proposizione, se si vincolano le variabili.
Le variabili si vincolano se si sostituiscono le variabili con valori particolari.

ESEMPIO
P(x):x è un numero pari ( x varia in N )
P(4) è vera
P(11) è falsa

Quantificando le variabili
Sia P(x) un predicato con x variabile nel domino D. Si possono avere enunciati del tipo : per ogni x in D, la proposizione P(x) è vera.

In simboli

si legge per ogni

è detto quantificatore universale

ESEMPIO
Per ogni numero intero x , x è maggiore di x-1.

Esiste almeno un x in D per cui la proposizione P(x) è vera. In simboli

si legge esiste

è detto quantificatore esistenziale.

ESEMPIO Esiste almeno un numero intero pari minore di 20 divisibile per 4.

La negazione di :
ossia:
è :

ESEMPIO

P(x) : un cane è nero.

ogni cane è nero : in simboli

Ha come negazione : in simboli
che si legge: esiste almeno un cane che non è nero.
Quindi per ogni funzione proposizionale P(x) su D le proposizioni :

e , sono equivalenti.
Analogamente sono equivalenti le proposizioni: e , sono equivalenti.

ESEMPIO
è un numero pari.
Allora: per ogni x esiste y tale che x + y non è pari ossia in simboli
è equivalente a non esiste x tale che per ogni y , x + y è pari
ossia in simboli

Conclusione

Mi sembra che per il momento mi posso fermare qui. Il citato libro di Odifreddi prende in considerazione altri autori e argomenti, quali la logica medievale, Kant, Leibnitz, Wittgenstein e molti altri, compresi Goedel e il suo famoso teorema di incompletezza. Ma in questo articoletto mi interessava solo accennare alle origini e ai momenti salienti che condurranno poi alla moderna informatica. Come si vede, chi ha un po’ di pratica di circuiti logici, può ritrovare in quanto esposto sopra tutte le tabelle di verità che si usano nella progettazione dei circuiti. Ma questo non è che l’inizio: sono lo studio e i progressi della logica che hanno permesso lo sviluppo dei linguaggi informatici, senza i quali i computer sarebbero solo delle grosse calcolatrici.