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Due circuiti dorati

Problemi curiosi e quiz vari.

Moderatore: Foto Utentecarlomariamanenti

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[1] Due circuiti dorati

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 16 lug 2011, 8:12

Supponiamo di avere due reti a scala che si estendono infinitamente su un lato, formate da resistenze Rs in serie e resistenze Rp in parallelo.
Una rete parte con il ramo serie, l'altra con il ramo parallelo.



Qual e` l'impedenza di ingresso nei due casi? Qual e` il modo piu` semplice per calcolarla? Che cosa capita quando Rs=Rp?

Al solito i "retisti" tacciano :)
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[2] Re: Due circuiti dorati

Messaggioda Foto Utenterusty » 16 lug 2011, 10:23

Ecco la soluzione :!:

Immagine

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[3] Re: Due circuiti dorati

Messaggioda Foto Utentesebago » 16 lug 2011, 16:27

MMMh, vedendo la conchiglia di Foto Utenterusty ho il sospetto che c'entri la sezione aurea. E mi pare di ricordare che Foto Utenteadmin a suo tempo avesse scritto un bellissimo articolo al riguardo. E, per giunta, che ci fosse un esempio simile...
Indagherò.
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[4] Re: Due circuiti dorati

Messaggioda Foto Utenteadmin » 16 lug 2011, 16:35

L'intuizione è giusta, l'articolo-recensione sulla sezione aurea c'è, ma non è su quello il calcolo di R_{eq}, ma, come potrai immaginare, in un mirabile articolo di Foto UtenteRenzoDF
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[5] Re: Due circuiti dorati

Messaggioda Foto Utentesebago » 16 lug 2011, 16:36

Ta-dah, trovato:
questo è l'articolo di Foto Utenteadmin, all'interno del quale si fa rimando ad uno dei soliti articolimostruosi di Foto UtenteRenzoDF. Lì c'è tutto.
Hovintoqualchecosa?
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[6] Re: Due circuiti dorati

Messaggioda Foto Utentesebago » 16 lug 2011, 16:40

Perdiana, Foto Utenteadmin :!:
Mentre ero impegnato a visualizzare in anteprima la mia risposta, hai infilato la tua. E dire che stavolta credevo di essere stato sveltissimo :(
Chapeau.
Sebastiano
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[7] Re: Due circuiti dorati

Messaggioda Foto UtenteCandy » 17 lug 2011, 19:49

Anche se non la vedete, ho fatto due brutte figuracce, una di fila all'altra. Meglio che mi dimentichi tutto.
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[8] Re: Due circuiti dorati

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 19 lug 2011, 6:33

Mi e` piaciuta la risposta di Foto Utenterusty!

Il modo piu` semplice per calcolare l'impedenza delle due reti, come gia` mostrato nel solito articlo mostruoso, come giustamente definito da Foto Utentesebago, e` di supporre di conoscere l'impedenza che si cerca, aggiungere una cella, e la nuova impedenza dovra` essere ancora uguale a quella di prima, dato che essendo la rete infinita, un cella in piu` o una in meno non cambia nulla. Nello schema sono evidenziate le due celle aggiunte all'inizio della rete.



Per trovare R_1 dalla prima rete basta scrivere che la resistenza che si sta cercando in parallelo a R_p e poi in serie a R_s deve ancora fare R_1, da cui: R_1=R_s+R_p/\!/R_1=R_s+\frac{R_pR_1}{R_p+R_1} e l'equazione di secondo grado e` R_1^2-R_1R_p-R_sR_p=0 Risolvendo e prendendo la soluzione positiva si ha R_1=\frac{R_s}{2}\left ( 1+\sqrt{1+\frac{4R_p}{R_s}}\right )

Per la seconda rete si puo` procedere in modo analogo, oppure si puo` osservare che se si toglie solo una Rs dall'inizio della prima rete, si ottiene la seconda rete e quindi

R_2=R_1-R_s=\frac{R_s}{2}\left ( 1+\sqrt{1+\frac{4R_p}{R_s}}\right )-R_s=\frac{R_s}{2}\left (\sqrt{1+\frac{4R_p}{R_s}}-1\right )

Se definiamo R_p=kR_s le formule di prima si semplificano in
R_1=R_s\frac{\sqrt{1+4k}+1}{2} e R_2=R_s\frac{\sqrt{1+4k}-1}{2}

Il prodotto R_1R_2, ricordando i prodotti notevoli risulta essere uguale a R_s^2k=R_sR_p.

Se k=1, cioe` R_s=R_p le impedenze risultano essere R_{1,2}=R_s\frac{\sqrt{5}\pm1}{2} che e` appunto il rapporto aureo.

Nel caso di k=2 si ha R_{1,2}=R_s\frac{3\pm1}{2} e questa e` la rete usata nei convertitore D/A di tipo R-2R. Questa condizione permette di realizzare una rete finita in cui le impendenze sono "a regime", cioe` sempre esattamente R_1 e R_2 usando solo resistenze di valore R e 2R.

Dato che ci sono infiniti quadrati perfetti della forma 4k+1 (tutti i quadrati dei numeri dispari sono di quel tipo) ne consegue che ci sono infinite rete a scala fatte da resistenze "intere" che danno valori interi di R_1 e R_2. Ad esempio se k=12, si ha che R_1=4R_s e R_2=3R_s
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