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da **IsidoroKZ** » 16 lug 2011, 8:12

Supponiamo di avere due reti a scala che si estendono infinitamente su un lato, formate da resistenze Rs in serie e resistenze Rp in parallelo.
Una rete parte con il ramo serie, l'altra con il ramo parallelo.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Qual e` l'impedenza di ingresso nei due casi? Qual e` il modo piu` semplice per calcolarla? Che cosa capita quando Rs=Rp?

Al solito i "retisti" tacciano :)

da **rusty** » 16 lug 2011, 10:23

Ecco la soluzione :!:

da **sebago** » 16 lug 2011, 16:27

MMMh, vedendo la conchiglia di

rusty ho il sospetto che c'entri la sezione aurea. E mi pare di ricordare che

admin a suo tempo avesse scritto un bellissimo articolo al riguardo. E, per giunta, che ci fosse un esempio simile...
Indagherò.

Sito web · da **admin** » 16 lug 2011, 16:35

L'intuizione è giusta, l'articolo-recensione sulla sezione aurea c'è, ma non è su quello il calcolo di $R_{eq}$ , ma, come potrai immaginare, in un mirabile articolo di

RenzoDF

da **sebago** » 16 lug 2011, 16:36

Ta-dah, trovato:
questo è l'articolo di

admin, all'interno del quale si fa rimando ad uno dei soliti articolimostruosi di

RenzoDF. Lì c'è tutto.
Hovintoqualchecosa?

da **sebago** » 16 lug 2011, 16:40

Perdiana,

admin

Mentre ero impegnato a visualizzare in anteprima la mia risposta, hai infilato la tua. E dire che stavolta credevo di essere stato sveltissimo

Chapeau.

da **Candy** » 17 lug 2011, 19:49

Anche se non la vedete, ho fatto due brutte figuracce, una di fila all'altra. Meglio che mi dimentichi tutto.

da **IsidoroKZ** » 19 lug 2011, 6:33

Mi e` piaciuta la risposta di

rusty!

Il modo piu` semplice per calcolare l'impedenza delle due reti, come gia` mostrato nel solito articlo mostruoso, come giustamente definito da

sebago, e` di supporre di conoscere l'impedenza che si cerca, aggiungere una cella, e la nuova impedenza dovra` essere ancora uguale a quella di prima, dato che essendo la rete infinita, un cella in piu` o una in meno non cambia nulla. Nello schema sono evidenziate le due celle aggiunte all'inizio della rete.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per trovare R_1

dalla prima rete basta scrivere che la resistenza che si sta cercando in parallelo a R_p

e poi in serie a R_s

deve ancora fare R_1

, da cui: $R_1=R_s+R_p/\!/R_1=R_s+\frac{R_pR_1}{R_p+R_1}$ e l'equazione di secondo grado e` R_1^2-R_1R_p-R_sR_p=0

Risolvendo e prendendo la soluzione positiva si ha $R_1=\frac{R_s}{2}\left ( 1+\sqrt{1+\frac{4R_p}{R_s}}\right )$

Per la seconda rete si puo` procedere in modo analogo, oppure si puo` osservare che se si toglie solo una Rs dall'inizio della prima rete, si ottiene la seconda rete e quindi

$R_2=R_1-R_s=\frac{R_s}{2}\left ( 1+\sqrt{1+\frac{4R_p}{R_s}}\right )-R_s=\frac{R_s}{2}\left (\sqrt{1+\frac{4R_p}{R_s}}-1\right )$

Se definiamo R_p=kR_s

le formule di prima si semplificano in
$R_1=R_s\frac{\sqrt{1+4k}+1}{2}$ e $R_2=R_s\frac{\sqrt{1+4k}-1}{2}$

Il prodotto R_1R_2

, ricordando i prodotti notevoli risulta essere uguale a R_s^2k=R_sR_p

.

Se

, cioe`

le impedenze risultano essere $R_{1,2}=R_s\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}$ che e` appunto il rapporto aureo.

Nel caso di k=2

si ha $R_{1,2}=R_s\frac{3\pm1}{2}$ e questa e` la rete usata nei convertitore D/A di tipo R-2R. Questa condizione permette di realizzare una rete finita in cui le impendenze sono "a regime", cioe` sempre esattamente R_1

e

usando solo resistenze di valore R e 2R.

Dato che ci sono infiniti quadrati perfetti della forma 4k+1

(tutti i quadrati dei numeri dispari sono di quel tipo) ne consegue che ci sono infinite rete a scala fatte da resistenze "intere" che danno valori interi di R_1