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da **simo85** » 18 mar 2013, 10:31

dimaios ha scritto:la lunghezza della sequenza non dipende dal numero di campioni in ingresso.

Eh, tu pensa che lo stavo per scrivere, dato che in metropolitana questa mattina leggevo questa sezione da cui:

"The number of samples used to represent the impulse response can be arbitrarily large".

Ora ne sono convinto 2 volte. Thanks. :-)

dimaios ha scritto:Prima di lanciare la simulazione in C ti conviene vedere lo spettro del filtro per avere un'idea dell'attenuazione e fare una previsione su cosa aspettarti in uscita ( magari utilizza octave ).

OK, oggi pomeriggio ci metto mano. Se non mi sarà chiaro qualcosa chiedo.

:-)

Buon proseguimento di giornata!

da **DirtyDeeds** » 18 mar 2013, 12:00

simo85 ha scritto:"The number of samples used to represent the impulse response can be arbitrarily large".

Ora ne sono convinto 2 volte.

Cerca di avere sempre presente l'idea che sta dietro a questo tipo di progetto di un filtro FIR: un filtro passa basso ideale con frequenza di taglio W = f_c/f_s < 1/2

ha risposta in frequenza

$H(f) = \begin{cases} 1 & |f| \le W \\ 0 & W < |f| \le 1/2 \end{cases}$

Poiché questa risposta in frequenza non è realizzabile, bisogna approssimarla. Un metodo di approssimazione, ma non l'unico, è quello che dà origine a un filtro FIR con coefficienti

$h[n] = \begin{cases} 2W &n=0 \\ \dfrac{\sin(2\pi Wn)}{\pi n} &|n|\le N \\ 0 &n > N \end{cases}$

Questo metodo di approssimazione è basato sul fatto che con i coefficienti dati sopra si ottiene un filtro che, tra tutti i possibili filtri FIR con lunghezza della risposta all'impulso pari a N, dà la migliore approssimazione della risposta ideale nel senso dei minimi quadrati. Questo fatto deriva da una proprietà delle serie di Fourier e i coefficienti del filtro sono proprio i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier della risposta del filtro per $-1/2\le f\le 1/2$ .

Questo non significa, però, che quel tipo di approssimazione sia la migliore possibile dal punto di vista pratico: per esempio, un grosso difetto di questa approssimazione è che, a causa del fenomeno di Gibbs, l'ondulazione fuori banda della risposta è piuttosto elevata. Per esempio, per ridurre l'ondulazione, si può aumentare la banda di transizione per mezzo di una finestratura della risposta ideale (v. qui per un elenco di finestre).

da **simo85** » 18 mar 2013, 18:13

Ciao, buon pomeriggio.

Ringrazio ancora per i precedenti messaggi.

Tornato a casa da stamatttina, come prima cosa ho provveduto a correggere il codice e relativo output del messaggio [19], il valore di f_c

non era quello detto e avevo fatto alcuni errori.

Dunque, è la primissima volta che uso Octave a dire il vero, e per il momento ho provato a verificare i coefficienti della risposta d'impulso, per i seguenti dati:

$f_c = 1\,\text{kHz}$ e $f_s = 10\,\text{kHz}$

$\omega_c = 2\pi \frac{fc}{fs}$

$\begin{displaymath} h[n] = \begin{cases} \frac{\omega_c}{\pi}&x=0 \\ \frac{\sin(\omega_c\pi x)}{x\pi}&x \neq 0 \end{cases} \end{displaymath}$

Codice: Seleziona tutto: octave:2> w = (2*pi*1e3)/10e3 w = 0.62832 octave:3> x=linspace(-16, 16); octave:4> plot (x, sin(w*pi*x)./(x*pi)) octave:5>

ecco il grafico.

: sinc.png (7.16 KiB) Osservato 2185 volte

Forse questo:

dimaios ha scritto: $y(n) = \frac{x(n) + x(n-1)}{2} = 0.5 \cdot x(n) + 0.5 \cdot x(n-1)$

Questo e' un filtro FIR ( infatti la risposta all'impulso e' finita ).

Mi ha confuso leggermente le idee, perché non usa i coefficienti o sbaglio?

da **dimaios** » 18 mar 2013, 18:56

simo85, provo a specificarlo meglio con il passaggio alla z-Trasformata.

$y(n) = \frac{x(n) + x(n-1)}{2} = 0.5 \cdot x(n) + 0.5 \cdot x(n-1)$

Utilizzando la z-Trasformata diventa
$Y(z) = 0.5 \cdot X(z) + 0.5 \cdot z^{-1} \cdot X(z) =\left ( 0.5 + 0.5 z^{-1} \right ) X(z)$

Da cui :
$G(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = 0.5 + 0.5 z^{-1} = b_{0} + b_{1} z^{-1}$

Siccome parliamo di un filtro FIR ti ricordo che per definizione di risposta impulsiva, utilizzando la convoluzione si ottiene h(n)

:

$h(n) = \sum_{i=0}^{N} b_i \delta(n-i) = b_{n}$

Che utilizzando la z-Trasformata restituisce :

$G(z) = Z\{h(n)\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) \cdot z^{-n} = \sum_{n=0}^{N}b_n \cdot z^{-n}$

Da cui vedi la relazione 1:1 tra i coefficienti della risposta impulsiva e quello della relativa trasformata Z.

da **simo85** » 18 mar 2013, 19:12

OK adesso è un po' più chiaro! :)

Ora proverò a scrivere l'algoritmo, facendo riferimento a T-Filter, ed anche al libro.

Come mi hai suggerito cercherò anche di ampliare la lunghezza di h, sperando di graficare tutto con Gnu Octave e Plot, ed appena posso, per completezza, posto i risultati.

Succcessivamente mi dedicherò al libro che mi avevi suggerito tempo fa!

Grazie!

da **dimaios** » 18 mar 2013, 19:15

Di nulla figurati. Se hai bisogno siamo qui ...... virtualmente! ;-)

da **DirtyDeeds** » 18 mar 2013, 19:16

simo85 ha scritto: $h[n] = \begin{cases} \frac{\omega_c}{\pi}&x=0 \\ \frac{\sin(\omega_c\pi x)}{x\pi}&x \neq 0 \end{cases}$

Qui sopra c'è un errore (anzi due): se definisci

$\omega_c = 2\pi \frac{fc}{fs}$

nell'argomento del seno c'è un $\pi$ di troppo. Poi, se la successione si chiama h[n]

, non usare

come indice ;-)

Ti consiglio di usare l'espressione che ho scritto in [22].

simo85 ha scritto:Mi ha confuso leggermente le idee, perché non usa i coefficienti o sbaglio?

Oltre a quanto già scritto da

dimaios, puoi vederlo così: l'uscita di un filtro può essere scritta come convoluzione:

$y[n] = \sum_{k = -\infty}^\infty h[k]x[n-k]$

Ora confronta questa espressione generale con

$y[n] = \frac{x[n] + x[n-1]}{2} = 0.5 x[n] + 0.5 x[n-1]$

le due coincidono se gli unici termini non nulli nella sommatoria sono quelli per k=0

e

, il cui coefficiente è 0.5. Quindi quel filtro ha risposta all'impulso

$h[n] = \begin{cases} 0.5 &n=0, 1 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}$

da **simo85** » 18 mar 2013, 19:34

DirtyDeeds ha scritto:Qui sopra c'è un errore (anzi due): se definisci
[...]
Ti consiglio di usare l'espressione che ho scritto in [22].

OK

Mi metto al lavoro con Octave prima della realizzazione in C. :ok:

da **simo85** » 18 mar 2013, 19:49

Ecco, avevo fatto anche un po' di pasticci.. :roll:

Per completezza allego la curva secondo la formula di

DirtyDeeds.

Codice: Seleziona tutto: octave:1> x = linspace(-16, 16); octave:2> w = 2*pi*1e3/10e3 w = 0.62832 octave:3> plot (x, sin(w*2*pi*x)./(x*pi))

: sinc2.png (10.31 KiB) Osservato 2154 volte

Ed i coefficienti con il programma C di 19 che ora correggo nuovamente.

Codice: Seleziona tutto: h[00] 0.0066063251 h[01] 0.0271358007 h[02] -0.0526370219 h[03] 0.0494560120 h[04] -0.0066293693 h[05] -0.0701895727 h[06] 0.1590165742 h[07] -0.2297229240 h[08] 1.2566370614 h[09] -0.2297229240 h[10] 0.1590165742 h[11] -0.0701895727 h[12] -0.0066293693 h[13] 0.0494560120 h[14] -0.0526370219 h[15] 0.0271358007

A presto!

da **simo85** » 20 mar 2013, 19:04

Buon pomeriggio, rieccomi.

Sono arrivato al capitolo 16 che alla sezione 2 riporta:

$M = \frac{4}{BW}$

Restando con le nomenclature anteriori, BW = W

$W = \frac{f_c}{f_s}$

mentre f_c

deve essere compresa tra

$0 < f_c \leq (0.5 \times f_s)$

e fin qui tutto OK.

Tornando indietro alla sezione 1, riporta il calcolo della risposta di impulso (sostituisco

con

anche perché sennò si presentano problemi di formattazione con LaTex):

$h[n] = \left (\frac{\sin(2 \pi f_c n)}{n \pi} \right )$

(dove $f_c \leq 0.5$ )che nel programma diventerà

$h[n] = \left (\frac{\sin(2 \pi W (n - M / 2))}{(n - M / 2)} \right )$

Successivamente riporta le equazioni 16 - 1 e 16 - 2 della finestra window.

(Eq 16 - 1) Hamming window.

$w[n] = 0.54 - 0.46 \cos\left ( \frac{2\pi n}{M} \right )$

(Eq 16 - 2) Blackman Window.

$w[n] = 0.42 - 0.5 \cos \left (\frac {2\pi n}{M} \right ) + 0.08 \cos\left (\frac{4\pi n}{M} \right )$

Nel programma per il passa basso, scritto in Basic alla sezione 4 Table 16 - 1, ad ogni iterazione del primo ciclo la risposta all'impulso viene moltiplicata per la finestra (in questo caso la Hamming Window) quando $n \neq 0$

$h[n] = \left (\frac{\sin(2 \pi f_c (n - M / 2))}{(n - M / 2)} \right ) \cdot \left [0.54 - 0.46 \cos\left ( \frac{2\pi i}{M} \right ) \right ]$

Ho stampato quindi i coefficienti con la finestra di Hamming (come esempio), con $f_s = 10\,\text{kHz}$ ed $f_c = 1\,\text{kHz}$ .

Codice: Seleziona tutto: W = 0.1000 M = 40 h[00] -0.000000 h[01] -0.000069 h[02] -0.000486 h[03] -0.001204 h[04] -0.001477 h[05] -0.000000 h[06] 0.004257 h[07] 0.010680 h[08] 0.015912 h[09] 0.014198 h[10] 0.000000 h[11] -0.027569 h[12] -0.060605 h[13] -0.081515 h[14] -0.067514 h[15] -0.000000 h[16] 0.124791 h[17] 0.289288 h[18] 0.456626 h[19] 0.581865 h[20] 0.200000 h[21] 0.581865 h[22] 0.456626 h[23] 0.289288 h[24] 0.124791 h[25] -0.000000 h[26] -0.067514 h[27] -0.081515 h[28] -0.060605 h[29] -0.027569 h[30] 0.000000 h[31] 0.014198 h[32] 0.015912 h[33] 0.010680 h[34] 0.004257 h[35] -0.000000 h[36] -0.001477 h[37] -0.001204 h[38] -0.000486 h[39] -0.000069

[EDIT]
Ho seguito le indicazioni del messaggio 22, h[n] = 2W

quando

.
[/EDIT]

A seguire i grafici con Octave

Codice: Seleziona tutto: octave:1> fc = 1e3 fc = 1000 octave:2> fs = 10e3 fs = 10000 octave:3> W = fc/fs W = 0.10000 octave:4> M = 4/W M = 40 octave:5> n = linspace(-M/2, M/2); octave:6> plot (n, sin(2*pi*W*n)./(n))

: 1.jpg (24.63 KiB) Osservato 2128 volte

Codice: Seleziona tutto: plot (n, sin(2*pi*W*n)./(n) * 0.54 - 0.46 * cos(2*pi*n)./M)

: 2.jpg (17.81 KiB) Osservato 2128 volte

Se è tutto OK sotto la vostra supervisione, vado avanti e cerceró di completare l'implementazione del filtro con Octave e con il codice C.

O_/

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