ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **wall87** » 11 mar 2017, 13:53

Ciao a tutti, sono di nuovo alle prese con un'altra equazione:

$\frac{x^{2}}{(\sqrt{3}+1)x-\sqrt{3}}=2$

$\frac{x^{2}}{x\sqrt{3}+x-\sqrt{3}}=2$

$\frac{x^{2}}{x+\sqrt{3}(x-1)}=2$

$\frac{x^{2}}{x+\sqrt{3}(x-1)}\cdot \frac{x-\sqrt{3}(x-1)}{x-\sqrt{3}(x-1)}=2$

$\frac{x^3-x^2\sqrt{3}(x-1)}{x^2-3(x^2-2x+1)}=2$

$\frac{x^3-x^3\sqrt{3}+x^2\sqrt{3}}{-2x^2+6x-3}=2$

$x^3-x^3\sqrt{3}+x^2\sqrt{3}=-4x^2+12x-6$

$x^3-x^3\sqrt{3}+x^2\sqrt{3}+4x^2-12x+6=0$

$x^3(1-\sqrt{3})+x^2(\sqrt{3}+4)-12x+6=0$

é corretto fino a qui il procedimento?
Comunque arrivato qui mi intrippo un po, nel senso che, se il procedimento fosse corretto, ci sarebbe quel x^3

che mi incasina un po e non saprei come procedere. Qualche consiglio?

da **MarkyMark** » 11 mar 2017, 14:10

Credo che facendo quelle manipolazioni si aggiunga una soluzione (spuria) che non soddisfa all'equazione di partenza: l'equazione di partenza è del secondo ordine mentre quella ri-scritta è del terzo ordine. Non si può fare la moltiplicazione per il denominatore già in partenza :?:

$x^2 = 2((\sqrt{3} + 1) x - \sqrt{3})$ per $x \neq \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

da **wall87** » 11 mar 2017, 15:03

Si hai ragione:

$x^2 = 2((\sqrt{3} + 1) x - \sqrt{3})$

$x^2 = 2x\sqrt{3} + 2x - 2\sqrt{3}$

$x^2-2x\sqrt{3}-2x + 2\sqrt{3}=0$

$x^2-2x(\sqrt{3}+1) + 2\sqrt{3}=0$

$x_{1,2}=\sqrt3+1\pm\sqrt{(\sqrt3+1)^2-2\sqrt3}$

$x_{1,2}=\sqrt3+1\pm\sqrt{3+2\sqrt3+1-2\sqrt3}$

$x_{1,2}=\sqrt3+1\pm\sqrt{4}$

$x_{1,2}=\sqrt3+1\pm 2$

$x_{1}=\sqrt3+1-2=\sqrt3-1$

$x_{2}=\sqrt3+1+2=\sqrt3+3$

Il bello è che avevo anche provato a farla così ma non mi veniva col risultato; evidentemente avrò sbagliato qualche calcolo, ma rifacendola ora mi è venuta.

Grazie per l'aiuto O_/

da **PietroBaima** » 12 mar 2017, 10:55

$\frac{x^2}{2\left(\sqrt{3}+1\right)x-2\sqrt{3}}=1$

$\frac{\left[x-\left(\sqrt{3}+1\right)\right]^2+2\left(\sqrt{3}+1\right)x-2\sqrt{3}-2^2}{2\left(\sqrt{3}+1\right)x-2\sqrt{3}}=1$

$\frac{\left[x-\left(\sqrt{3}+1\right)\right]^2}{2\left(\sqrt{3}+1\right)x-2\sqrt{3}}+1-\frac{2^2}{2\left(\sqrt{3}+1\right)x-2\sqrt{3}}=1$

$x-\left(\sqrt{3}+1\right)=|2|$

Inoltre dal denominatore si vede che entrambe le soluzioni siano accettabili.

:mrgreen:

da **wall87** » 12 mar 2017, 13:02

Ma dove ti è balenata l'idea di trovare questo:

$\frac{\left[x-\left(\sqrt{3}+1\right)\right]^2+2\left(\sqrt{3}+1\right)x-2\sqrt{3}-2^2}{2\left(\sqrt{3}+1\right)x-2\sqrt{3}}=1$

Nemmeno se la rifacessi 1 miliardo di volte mi sarebbe venuta in mente una cosa del genere

da **PietroBaima** » 12 mar 2017, 14:15

Tiro a caso... :mrgreen:

Ti ringrazio perché mi hai riportato alle superiori.

Era bello perché mi divertivo a trovare soluzioni ai problemi del prof di mate in modo diverso da quello che ci aveva spiegato. Una volta ad una interrogazione mi disse "mi piace interrogarti perché, quando ti interrogo, devo pensare a cosa stai facendo. Vorrà dire che ti interrogherò spesso e con problemi difficili"

E io:

da **TardoFreak** » 12 mar 2017, 14:40

da **wall87** » 12 mar 2017, 14:56

PietroBaima ha scritto:Tiro a caso...

Faccio veramente fatica a credere che sia così :mrgreen:

PietroBaima ha scritto:Ti ringrazio ...

Casomai sono io che ti ringrazio, mi fai vedere ogni volta punti di vista completamente diversi

da **gammaci** » 12 mar 2017, 15:56

E' come ossigeno ... una specie rara di macchina del tempo =D>

da **dimaios** » 12 mar 2017, 20:32

wall87 ha scritto:Ma dove ti è balenata l'idea di trovare questo:

$\frac{\left[x-\left(\sqrt{3}+1\right)\right]^2+2\left(\sqrt{3}+1\right)x-2\sqrt{3}-2^2}{2\left(\sqrt{3}+1\right)x-2\sqrt{3}}=1$

Guarda bene il denominatore. Pietro è andato a costruirsi esattamente quello che gli serviva. :idea:

Solo con grande esercizio ed intuito puoi vedere certi passaggi.

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Equazione di 2° grado irrazionale

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