ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **lillo** » 14 nov 2012, 18:46

se non dico cavolate:

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{x}{\sqrt{9 + x^{2} + y^{2}}}$

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}=\frac{y}{\sqrt{9 + x^{2} + y^{2}}}$

ma aspettiamo conferme... ho il cervello in fiamme ultimamente :lol:

da **guzz** » 14 nov 2012, 19:00

a quanto so io

$\frac{\mathrm{d}{\sqrt{x}}}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

quindi la soluzione corretta è quella di

lillo, ma potrei sbagliarmi, è un po' che non faccio derivate e quelle delle radici non mi sono mai piaciute... XD

da **Ianero** » 14 nov 2012, 19:04

Giusto ho dimenticato il 2 al denominatore.
Ok, grazie a tutti :ok:

da **PietroBaima** » 17 nov 2012, 16:55

Domanda:

Chi mi sa dire cosa significa quando le due derivate parziali sono uguali in tutto il dominio della funzione?

$\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}=\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}\qquad\forall\left(x,y\right)\setminus f\left(x,y\right)\in\mathcal{D}$

da **Ianero** » 17 nov 2012, 18:34

Provo a intuito, questo accade quando:
Z= const

Ciò vuol dire che stiamo parlando di un piano parallelo al piano x,y, "rialzato" di const sull'asse Z.
Sparami se ho detto cavolate :mrgreen:

da **PietroBaima** » 17 nov 2012, 21:14

Ianero ha scritto:Provo a intuito, questo accade quando:

sì, ma non solo! ;-)

Ianero ha scritto:Sparami se ho detto cavolate

Per quale motivo, mica era sbagliato

da **guzz** » 17 nov 2012, 22:50

ho studiato per mesi analisi 2, ed ora mi rendo conto che non mi ricordo un tubo.

che bello... ||O

da **PietroBaima** » 18 nov 2012, 0:33

Va beh, mica è il caso di demoralizzarsi...

proviamo con un aiuto.

Una soluzione per nulla generale del problema è questa:

La formula:
$\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}=\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y$

si può naturalmente vedere come una equazione differenziale alle derivate parziali.
Una soluzione dell'equazione potrebbe essere in forma separata:

$f\left(x,y\right)=g\left(x\right)h(y)$

dalla quale si calcola:

$\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}=h\left(y\right)g^{\prime}\left(x\right)$

${\displaystyle \frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}}=g\left(x\right)h^{\prime}\left(y\right)$

e quindi ci tocca risolvere:

$h\left(y\right)g^{\prime}\left(x\right)=g\left(x\right)h^{\prime}\left(y\right)$

ledendo alla generalità, per trovare un caso semplice, posso imporre la soluzione di questa equazione alle equazioni:

$h\left(y\right)=h^{\prime}\left(y\right)$

$g\left(x\right)=g^{\prime}\left(x\right)$

da cui si ottiene che:

$h\left(y\right)=c e^{y}$
$g\left(x\right)=k e^{x}$

e quindi:
$f\left(x,y\right)=g\left(x\right)h(y)=ce^{x+y}$

Questa NON è la soluzione generale, ma solo una soluzione.
Per esempio ci sono tutte le soluzioni costanti.
Anche $\sin{(x+y)}$ è una soluzione, non contemplata qui (forse...).

Chi riesce a generalizzare il procedimento per trovare la soluzione generale?

Prendendo la funzione che ho trovato come esempio, quali proprietà della funzione si possono osservare?

Giova riportare qualche grafico, dell'esponenziale e di altri suoi parenti che risolvono l'equazione:

Esponenziale:

: Grafico per e^(x+y); exp.jpg (29.96 KiB) Osservato 2812 volte

Seno:

: Grafico per il Sin(x+y); Sin.jpg (27.04 KiB) Osservato 2812 volte

Coseno iperbolico:

: Grafico per cosh(x+y); ch.jpg (26.29 KiB) Osservato 2812 volte

da **Ianero** » 18 nov 2012, 11:22

si può naturalmente vedere come una equazione differenziale alle derivate parziali

Non ci sono arrivato a scuola alle equazioni differenziali

da **PietroBaima** » 18 nov 2012, 12:02

Ianero ha scritto:Non ci sono arrivato a scuola alle equazioni differenziali

Non è un problema, ci si può arrivare anche a spanne, così magari questo ti aiuta a crearti un po' di senso critico sulle funzioni a più variabili e sulle derivate parziali.

Considera la funzione:

$e^{x+a}$

dove a è una costante qualunque.
Proviamo a fare un grafico di questa funzione per diversi valori di a.

: e^(x+a); expmono.jpg (18.73 KiB) Osservato 2785 volte

Il grafico in due dimensioni sarà ottenuto mettendo tutte queste linee (le linee di livello) una dietro l'altra per formare una figura.

La derivata di tutti questi grafici sarà uguale alla funzione, perché

$\frac{d}{dx}e^{x+a}=e^{x+a}$

hai quindi trovato una funzione che è uguale alla sua derivata!

La stessa cosa sarebbe se la funzione fosse
$e^{y+a}$

soltanto che, muovendoci lungo y e non lungo x, avremmo ottenuto le linee di livello ortogonali alle precedenti.

Verifica, per esempio che sin(x+a) è la soluzione di:

$\frac{d^2}{dx^2}f(x)+f(x)=0$

il coseno lo è? e il seno e coseno iperbolico?
Secondo te, la soluzione è unica?

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Derivate funzioni a 3 variabili

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