Autovalori e autovettori

[dimaios]

Se moltiplichi un vettore per uno scalare cosa succede ? Lo allunghi lo accorci oppure rimane identico ma la direzione sara' la stessa. Il verso dipende dal segno dello scalare.

[DirtyDeeds]

Lo allunghi lo accorci

No, attenzione, è questo il punto che volevo precisare: il concetto di lunghezza, così come quello di modulo, non fa parte, in generale, della struttura di spazio vettoriale, è una struttura aggiuntiva.

[Ianero]

Se moltiplichi un vettore per uno scalare cosa succede ? Lo allunghi lo accorci oppure rimane identico ma la direzione sara' la stessa. Il verso dipende dal segno dello scalare.

Si, infatti è ciò che sapevo anche io e mi interessava sapere perché si parla di

struttura aggiuntiva

[dimaios]

No, attenzione, è questo il punto che volevo precisare: il concetto di lunghezza, così come quello di modulo, non fa parte, in generale, della struttura di spazio vettoriale, è una struttura aggiuntiva

Vero. La definizione formale non prevede concetti di lunghezza o modulo.

Si, infatti è ciò che sapevo anche io e mi interessava sapere perché si parla di
struttura aggiuntiva

Una volta definito lo spazio vettoriale si definisce una norma che di fatto fornisce la misura dei vettori ovvero gli elementi dello spazio vettoriale.
Una spiegazione la trovi anche qui.

Non è la stessa cosa che portare direttamente all'altro membro ......

La mia insegnante di matematica del triennio ( scuole superiori ) diceva sempre :

" In matematica non si taglia niente e tantomeno si porta di la' !!!! " ..... a questo punto veniva scaricato di cattivaria un 3 sul registro.

[DirtyDeeds]

struttura aggiuntiva

Specifico un po' meglio la storia delle strutture aggiuntive. Gli assiomi di spazio vettoriale definiscono la struttura algebrica degli spazi vettoriali, ovvero dicono quali operazioni sono definite tra gli elementi dello spazio (la somma) e tra gli elementi dello spazio e quelli di un campo (prodotto tra vettori e scalari) con le loro proprietà.

In questi assiomi, mancano del tutto concetti quali:

1) Lunghezza
2) Prodotto scalare
3) Intorno di un elemento

Con la semplice struttura di spazio vettoriale non si può quindi parlare di: modulo dei vettori, di angolo tra vettori e di limiti di successioni di vettori (e quindi non si può neanche parlare di somme infinite di vettori). Se si vuole parlare di queste cose bisogna aggiungere delle strutture ulteriori, che possono essere di tipo metrico, per definire le lunghezze e gli angoli, oppure di tipo topologico, per definire il concetto di limite e di convergenza. Tra di loro queste strutture possono essere anche legate: una struttura metrica può indurre una struttura topologica.

Quando si studiano queste cose, allora, bisogna sempre distinguere tra proprietà algebriche (autovettori ed autovalori sono in questa categoria), metriche e topologiche.

[DirtyDeeds]

Cerchiamo di tirare un po' le somme facendo un esempio concreto di che cosa possano servire autovettori ed autovalori. Ci sarà qualche passaggio complicato, ma è inevitabile.

Lo stato di un sistema fisico è generalmente rappresentabile da un vettore di un opportuno spazio vettoriale, chiamato appunto spazio degli stati. Per esempio,

1) Al tempo , lo stato di un oscillatore armonico a un grado di libertà è rappresentabile dal vettore



dove è la posizione della massa dell'oscillatore e è la quantità di moto.

2) Al tempo , lo stato di un sistema costituito da due oscillatori armonici accoppiati è rappresentabile dal vettore



3) Al tempo , lo stato di una rete elettrica non degenere con un condensatore e un induttore è rappresentabile dal vettore



dove è la tensione ai capi del condensatore e è la corrente nell'induttore.

4) Al tempo , lo stato del campo elettromagnetico in una sezione di coordinata all'interno di una guida d'onda metallica al tempo è rappresentabile dal vettore



dove è la componente del campo parallela alla sezione.

Cosa significa che questi vettori rappresentano lo stato del sistema? Significa che l'evoluzione del sistema, cioè i valori di tutte le variabili dinamiche, nel presente, nel passato e nel futuro, è determinabile a partire dal vettore di stato. Per alcuni sistemi fisici, in particolare, si scopre che lo stato a un istante è scrivibile a partire dallo stato al tempo come



dove è una matrice o, più generalmente, un operatore lineare, funzione dei due tempi e .

Nel caso 4), dove lo stato dipende sia da che da si potrà invece scrivere



In fisica, l'operatore viene chiamato flusso (flow). Se i parametri del sistema non dipendono dal tempo, il sistema è detto autonomo (o tempo invariante), e dipende solo dalla differenza : .

Per esempio, per un oscillatore armonico di massa , costante, il flusso è



Nota 1: il determinante del flusso qui sopra vale 1: questo fatto è legato ad alcuni profondi teoremi sulla struttura spazio degli stati dei sistemi Hamiltoniani.

Nota 2: lascio al lettore volenteroso ( ) la scrittura di per il problema dei pendoli accoppiati trattato in questo articolo da carloc

Torniamo ora all'evoluzione di un sistema lineare e autonomo, espressa dall'equazione



Suppponiamo che la matrice abbia un certo numero di autovalori , eventualmente dipendenti da , a cui siano associati gli autovettori ,indipendenti da . Supponiamo, inoltre, che gli autovettori costituiscano una base dello spazio degli stati, ovvero che ogni si possa scrivere in modo univoco come combinazione lineare



per certi coefficienti .

Al tempo si avrà



Al tempo ,



dove nell'ultimo passaggio ho proprio sfruttato il fatto che gli sono autovettori di . D'altra parte, al tempo , è anche



e poiché gli sono una base per lo spazio degli stati,

si ha



Ecco, il bello è tutto qui I coefficienti della combinazione lineare che definisce lo stato al tempo possono essere determinati a partire dai coefficienti al tempo ognuno indipendentemente dall'altro: abbiamo, insomma, trasformato l'evoluzione di un sistema multidimensionale in quella di tanti sistemi a una sola dimensione e non interagenti tra loro.

In fisica, gli autovettori di vengono chiamati modi del sistema. Se conosciamo quanto sono eccitati i singoli modi (i coefficienti a_n) a un certo istante di tempo, possiamo conoscere in modo relativamente semplice l'evoluzione del sistema.

[DarwinNE]

Bellissimo post di DirtyDeeds.

Un esempio simile si potrebbe fare scrivendo l'operatore di propagazione del campo elettromagnetico in una guida d'onda.Gli autovalori ed autovettori danno una rappresentazione dei modi di propagazione (guidati e non). Se ho tempo e se interessa, posso provare a scrivere qualcosa nei prossimi giorni (ma non ho qui i miei appunti).

[DirtyDeeds]

Bellissimo post di DirtyDeeds

Grazie!

Se ho tempo e se interessa, posso provare a scrivere qualcosa nei prossimi giorni (ma non ho qui i miei appunti).

E io l'esempio 4) l'ho fatto proprio per farti tirare fuori gli appunti

[clavicordo]

Ti ringrazio molto anch'io DirtyDeeds per le tue spiegazioni così ben fatte e chiare.

Chiedendo perdono per la mia attitudine a semplificare (ma non TROPPO!) e a "proiettare" su concetti più familiari rinunciando a una parte di rigore matematico, mi pare che quanto tu dici in modo così generale ha tra i risvolti pratici anche il noto "spettro di frequenza", in cui le componenti sinusoidali sono tutte tra loro "ortogonali", ossia indipendenti.

Una funzione qualsiasi, per esempio del tempo, può quindi essere espressa come combinazione lineare di tante funzioni tra loro indipendenti, ognuna rappresentabile con un vettore a una dimensione su una base ortonormale, costituita dagli autovettori della trasformazione lineare chiamata "Flusso".
Combinazione lineare che viene chiamata volgarmente (si fa per dire) "serie (o trasformata secondo le condizioni) di Fourier." La suddetta funzione viene quindi rappresentata da un vettore i cui componenti (per definizione tra loro ortogonali) sono i vettori che rappresentano le singole funzioni sinusoidali, in cui gli autovalori sono i multipli interi della frequenza fondamentale (non è detto tanto bene ma credo che la sostanza sia questa)

Ad esempio si può costruire uno spazio vettoriale costruito associando un vettore a ogni "intervallo di campionamento" successivo, in cui la dimensionalità dello spazio è pari al numero di tali intervalli. Un funzione temporale "discreta" sarà quindi associabile a un vettore i cui componenti sono i singoli campioni.

[DarwinNE]

E io l'esempio 4) l'ho fatto proprio per farti tirare fuori gli appunti

"Alura, a l'é nen tant fàcil che l'on"



Ho rifatto qualche conto e se si vuole vedere tutto si devono dire un po' di cose non difficilissime, ma un po' noiose, intermezzate da scelte più interessanti. Premetto che nel mio lavoro mi occupo di guide d'onda realizzate su substrato in vetro, quindi parlerò di guide d'onda dielettriche e non di guide metalliche.

Inizio a fare qualche passaggio qui nel forum, ci andranno diversi messaggi che semmai assemblerò in un articolo.
In questo primo messaggio inizierò a fornire alcune (semplici) scelte di base ed arriverò su una forma comoda per me per lavorare con le equazioni di Maxwell. Poi, riscriverò queste equazioni sotto forma di un operatore formale che agisce su un vettore di stato. Infine, preciserò come si può rappresentare il vettore di stato con un vettore di numeretti incolonnati e l'operatore di propagazione come una matrice. Il tutto permette di calcolare i modi di propagazione attraverso la ricerca di autovalori ed autovettori di questa matrice.

Prima di tutto, il metodo di cui parlerò si chiama Aperiodic Fourier Modal Method (AFMM per gli amici), direttamente ricavato dal più noto RCWA (Rigorous Coupled Wave Analysis).
Da quello che ho visto, non viene presentato nella maniera che seguirò qui, perché RCWA è stato sviluppato in un contesto leggermente differente da quello che seguirò fin dall'inizio. Fornirò (con calma, perché ce l'ho in ufficio) una bibliografia completa di articoli universitari.
In quanto segue, scriverò in rosso le assunzioni che non sono generali, ma che si applicano al metodo in questione (o alle scelte che compio io per presentarlo).

Dunque, prima di tutto, precisiamo che per il momento mi interessa solo calcolare i modi di propagazione di una struttura simile ad una guida d'onda dielettrica. Dimostrerò come la ricerca di modi di propagazione è sostanzialmente legata ad un problema di ricerca di autovalori ed autovettori, rendendo quindi attinente il tutto al tema di questa discussione.
Cercherò di mantenere il livello comprensibile a chi abbia seguito un po' di corsi di fisica e sappia un po' di elettromagnetismo, nonché un po' di analisi complessa, con trasformate e serie di Fourier.

Come ogni problema di elettromagnetismo, l'origine di tutto sono le equazioni di Maxwell. Notiamo che la mia scelta cade sulla versione differenziale e macroscopica delle equazioni, perché alla fine non mi interessa tanto cosa succede a livello molecolare:

http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27 ... oscopic.22

Riportiamole qui, rispetto al tempo:



Dove:

• e sono rispettivamente il campo elettrico e campo magnetico.
• L'indice indica che le quantità in questione sono le quantità reali nel dominio del tempo. Lo ometterò quando si tratterà di fasori, oppure quando parlerò in generale delle grandezze fisiche corrispondenti.
• Il grassetto è utilizzato per le quantità vettoriali, in questo caso i campi.
• e sono lo spostamento elettrico e l'induzione magnetica.
• e sono la distribuzione di densità di corrente e di carica elettrica.

Dal mio punto di vista, calcolerò ed e considererò che e vi sono legati dalle relazioni seguenti:



Ho marcato in rosso quest'ultima scelta perché i fisici (quelli veri) tendono a considerare e come le quantità di base che chiamano campo elettrico e magnetico (c'è quindi il rischio di qualche confusione). Ricordo una discussione molto convincente a questo proposito qui sul forum fatta da DirtyDeeds e ricordo anche alcune cose scritte a proposito su:

Max Born, Emil Wolf, "Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light" , Cambridge University Press, 13 ott. 1999

Ad ogni modo, dato che noi siamo interessati a dare una descrizione macroscopica dei materiali che comporranno la guida d'onda possiamo continuare ad utilizzare ed come le quantità da calcolare.
Nel nostro caso, quindi, e sono i tensori di permettività elettrica e permeabilità magnetica: dipendono dalla posizione che stiamo considerando, ma non dal tempo e neppure dai campi.
La distribuzione spaziale dei tensori ci dà una descrizione di com'è fatta la struttura all'interno della quale i campi si propagano.

La prima vera scelta legata a RCWA/AFMM è quella di considerare che tutti i campi evolvono secondo una legge armonica. In altre parole, in giro c'è una sola frequenza temporale: una onda monocromatica. Questo va bene perché in un mezzo lineare (ovvero quando le relazioni tra , e e sono lineari), ogni evoluzione temporale dei campi può essere studiata come una sovrapposizione di componenti armoniche.
Sembra una banalità, ma non lo è. In termini tecnici, si dice che RCWA/AFMM è un metodo spettrale perché questa ipotesi viene fatta all'inizio e non ci si torna sopra. Questo toglie fuori tutti i fenomeni di ottica nonlineare che esistono ed hanno la loro importanza ed utilità.
Esistono altri metodi basati su altre ipotesi, come quella di risolvere le derivate nel dominio del tempo (un esempio per tutti FDTD, che vuole dire Finite Difference Time Domain).

Dato che tutti i campi hanno evoluzione temporale con la stessa frequenza, si può utilizzare un formalismo basato sui fasori per rappresentarli (è per questo che ho utilizzato l'indice nelle leggi di Maxwell che ho scritte più sopra nel dominio del tempo. Il formalismo fasoriale è ben noto, ma ricordiamo che si può scrivere le variabili nel dominio del tempo nella maniera seguente:



dove è l'unità complessa (e che tradisce le ore che ho passate a studiare elettrotecnica ). Grande importanza ha la frequenza angolare , anche se più spesso in ottica ed elettromagnetismo si utilizza la lunghezza d'onda nel vuoto , sapendo la velocità della luce nel vuoto :



Quindi, si può pensare di riscrivere le equazioni in campo complesso omettendo l'indice e risolvendo molto facilmente le derivate temporali sapendo che fare la derivata di un esponenziale è molto facile.
Supponiamo inoltre che stiamo studiando strutture dielettriche in assenza quindi di cariche e di correnti (, ). In realtà, in certi casi si può attenuare questa ipotesi "a posteriori", facendo entrare dalla finestra quello che stiamo facendo uscire dalla porta. Ma non anticipiamo.

Le equazioni di Maxwell, in forma differenziale, macroscopica, in un materiale lineare, scritte in campo complesso sono le seguenti:



Ditemi se è tutto chiaro, oppure se c'è qualcosa da correggere (nella notazione o nei concetti), poi continuiamo per definire un operatore di propagazione sostanzialmente equivalente alle equazioni che ho appena scritte.

Ho rifatto i calcoli da zero, ho scritto questo messaggio in fretta e posso aver dimenticato qualcosa (sarà vero soprattutto in futuro quando le cose diventeranno più articolate).