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da **wackos** » 21 gen 2014, 10:05

Ciao a tutti... Nuovo post ma sempre io a rompere...
Spero di non approfittarne troppo ma sono un po' in crisi... Vi spiego... Sto tentando di svolgere questi due esercizi in preparazione all'esame....

1. Determinare i punti della parabola di equazione y = x^2 − 1 piu` vicini all’origine (cioe che minimizzano la funzione f (x, y) = x^2 + y^2). Qual `e la distanza di questi punti dall’origine?

Credevo si trattasse di un problema di massimi e minimi vincolati... Pensavo di procedere così... Guardo dove la parabola interseca la circonferenza di raggio R (variabile) e centro (0,0) e questi sono i punti più vicini all'origine...
Però non riesco a svolgerlo... Quindi credo sia errata la mia idea...

2. Determinare l’area della porzione di piano delimitata dalla curva di equazione
parametrica in forma polare ρ = sin θ, con θ ∈ [0, π].

Io ho semplicemente svolto l'integrale tra 0 e pi di sin θ ma mi risulta 2... Quindi anche questo è errato...

Sono un po' in panico sinceramente... Svolgo gli esercizi del libro ed escono... Prendo i temi d'esame e vado in panico... Domande poste diversamente?? Non so quale possa essere il problema...

Grazie mille a tutti in anticipo :)

da **RenzoDF** » 21 gen 2014, 10:53

wackos ha scritto:...1. Determinare i punti della parabola di equazione y = x^2 − 1 piu` vicini all’origine (cioe che minimizzano la funzione f (x, y) = x^2 + y^2). Qual `e la distanza di questi punti dall’origine?

Forse basta "combinare" le due relazioni no? ... ovvero sostituire la funzione di y nella seconda.

wackos ha scritto:2. Determinare l’area della porzione di piano delimitata dalla curva di equazione
parametrica in forma polare ρ = sin θ, con θ ∈ [0, π].

Io ho semplicemente svolto l'integrale tra 0 e pi di sin θ ma mi risulta 2... Quindi anche questo è errato...

Per quanto riguarda il metodo "geometrico", hai provato a disegnare la curva? ... parte da O=(0,0) e passa per P=(0,1); prova a congiungere il generico punto della curva con il punto P, ... cosa ottieni? ... e il punto P "nun se move"! ;-)

Per quanto riguarda il metodo "brutale", ovvero la diretta integrazione, forse ti sei dimenticato di "qualcosa". ;-)

... mi fai vedere come hai considerato l'area infinitesima?

Qant'è che dovrebbe risultare?

da **wackos** » 21 gen 2014, 15:22

La prima e più forte di me ma non la capisco... Io ho questa parabola... E come vincolo ho la circonferenza... Se metto assieme le due eq e mando a zero trovo i punti di intere sezione che sono quindi i punti più vicini all'origine giusto??

La seconda io la vedo così... Sen θ e la mia curva... La separò nella componente x e nella componente y... x = sen θ cos ϕ e y = = sen θ sen ϕ con ϕ compreso tra 0 e 2π
Poi faccio l'integrale doppio della somma x + y ... Giusto? Il punto è che non mi esce π/4 come deve.. Non so come fare a risolverlo..

da **RenzoDF** » 21 gen 2014, 15:47

wackos ha scritto:... come vincolo ho la circonferenza... Se metto assieme le due eq e mando a zero trovo i punti di intere sezione che sono quindi i punti più vicini all'origine giusto??

Non capisco cosa tu intenda con questa "circonferenza"; quella f(x,y) io la ho interpretata come quadrato della distanza del generico punto dall'origine e quindi, potremo usarla per la ricerca del suo valore minimo, dopo averla scritta come

$f(x,y)={{d}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left[ f(x) \right]}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left[ {{x}^{2}}-1 \right]}^{2}}={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1$

a partire dai punti che annullano la sua derivata.

wackos ha scritto:... La seconda io la vedo così... Sen θ e la mia curva... La separò nella componente x e nella componente y... x = sen θ cos ϕ e y = = sen θ sen ϕ con ϕ compreso tra 0 e 2π

Non capisco cosa sia questo ϕ; che sia forse lo stesso θ?

Ad ogni modo vedendo che non ti va di seguire i miei consigli o che forse manco li hai presi in considerazione mi risulta difficile continuare ad aiutarti su questa strada, che sarebbe senza dubbio la migliore, direi la più "elegante"; faccio comunque un ultimo tentativo postando il disegno atteso

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Una domanda: che razza di triangolo sarà quello disegnato? ... e al muoversi del generico punto, quale curva "notevole" andrà a descrivere?

.... "... o se del mezzo cerchio far si puote triangol sì ch'un retto non avesse..." [Paradiso, XIII, 102] ;-)

wackos ha scritto:... Poi faccio l'integrale doppio della somma x + y ... Giusto?

Questa proprio non l'ho capita; sarò arruginito, ma non capisco proprio cosa c'entri la somma di x+y; io avrei scritto l'area elementare in funzione di θ

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e poi avrei integrato in θ, ma sembra che anche questa mia richiesta di chiarimento non sia stata raccolta.

wackos ha scritto:... Il punto è che non mi esce π/4 come deve..

Già, a me risulta proprio π/4, con entrambi i metodi ... ma prima di darti altri suggerimenti, ti lascio ancora un po' di tempo per riflettere. ;-)

da **g.schgor** » 21 gen 2014, 15:51

Vediamo il primo problema.

wackos ha scritto:Se metto assieme le due eq e mando a zero

cosa mandi a zero?. devi eliminare un'incognita (y) ed hai una f(x^2,R)

risolvi in x^2

e trovi quell' R che manda a zero il discriminante
(soluzioni coincidenti, quindi unico punto d'intersezione fra cerchio e parabola).
Con quel valore di R puoi trovare così il punto di intersezione.

PS Scusate, vedo solo ora che la discussione è proseguita...

da **wackos** » 21 gen 2014, 19:22

Esercizio 1 ok... Annullavo la funzione e non la sua derivata... Mi escono 4 punti e tra quei 4 scelgo i 2 che minimizzano la distanza dall'origine...

Esercizio 2 non lo capisco... É più forte di me... φ l'ho inserita solo per dare una spiegazione della circonferenza.. Stavo tentando di dare una spiegazione a quello che ho detto ma proprio mentre lo scrivevo mi sono accorto che non stava in piedi... Se l'angolo varia tra 0 e pi come faccio ad avere una circonferenza completa? Non dovrei averne metà? Non dovrebbe essere il semicerchio di centro (r,0)? Con le y > 0??

Non so se si capisce quello che ho scritto forse non lo capirei neanche io... Ho talmente tanta confusione su questo esercizio che non so da che parte cominciare...

da **RenzoDF** » 21 gen 2014, 19:25

wackos ha scritto:Esercizio 1 ok... Annullavo la funzione e non la sua derivata... Mi escono 4 punti e tra quei 4 scelgo i 2 che minimizzano la distanza dall'origine...

Come facciano ad uscirtene quattro sarei curioso di saperlo; sarebbe una violazione del teorema fondamentale dell'algebra.
Ad ogni modo sarebbe "conveniente" che tu postassi questi risultati, per i lettori del Forum.

wackos ha scritto: ... Se l'angolo varia tra 0 e pi come faccio ad avere una circonferenza completa? Non dovrei averne metà?

Sei sicuro? ... "pi" a quanto gradi corrisponde?

Io direi che il cerchio esce completo

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wackos ha scritto: ... Non dovrebbe essere il semicerchio di centro (r,0)?

Di centro (r,0) :?:

BTW ... chi sarebbe questo "r" ?

da **wackos** » 22 gen 2014, 9:57

Non sto capendo niente giuro...

Esercizio 1

f(x) = x^4 - x^2 +1

Guardo in che punti f'(x) si annulla... E trovo... x = 0, y = -1 e x = ± 1/(2^(1/2)), y = -1/2
Il primo punto dista 1 da O mentre gli altri due distano (3^(1/2))/2 da O quindi scelgo questi due punti come punti che minimizzano la funzione...

Ho sbagliato tutto?? :roll:

Esercizio 2

Non è il grafico del seno tra 0 e pi? È questo che non riesco a spiegarmi come prima cosa... Potrò sembrare rimbambito (forse lo sono ahahha) ma non lo capisco