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da **pepy91** » 24 mag 2016, 11:40

Salve ragazzi. Ho un piccolo problema nella risoluzione di due equazioni che vanno risolte in campo complesso:

$1) 4z^2 - |z+3i|^2 = z - \mathrm{i} - 8 Re(z) \bar{z}$
$2) \left(\frac {z - \mathrm{i}}{z + \mathrm{i}}\right)^4 = 1$

Potreste darmi dei suggerimenti su come risolverli? In particolare, sulla prima vorrei sapere come comportarmi con $Re(z) \bar{z}$ , sulla seconda invece non so nemmeno da dove cominciare!
Grazie mille! :ok:

da **DirtyDeeds** » 24 mag 2016, 12:26

Per la prima, ricordati che

$\mathrm{Re}\,z = \frac{z+\bar{z}}{2}$

Per la seconda, poni

$w = \frac {z - \mathrm{i}}{z + \mathrm{i}}$

così trasformi l'equazioni in w^4=1

. Risolvi per

, ottenendo le radici quarte dell'unità, e poi risolvi per

dalla sostituzione precedente.

da **pepy91** » 24 mag 2016, 12:47

Intanto grazie per avermi risposto e soprattutto di avermi fatto capire in che modo andavano risolti.
Ti volevo chiedere un'altra cosa: risolvendo il secondo esercizio, sfruttando la formula delle radici n-esime per i numeri complessi, ho questa espressione:
$w = cos (\frac{k\pi}{2}) + i sen(\frac{k\pi}{2})$ e, ponendo k=0,1,2,3 ottengo 4 valori di

di cui il primo e l'ultimo sono uguali, e cioè : w_0 = w_3 = 1 , w_1 = i , w_2 = -1

. Quando poi vado a sostituire nell'espressione $w = \frac{z -i}{z+i}$ ottengo due valori giusti che sono
z= -1

per

e

per

, mentre per w_0

e

non ottengo alcun valore! Dove sbaglio?

da **DirtyDeeds** » 24 mag 2016, 16:52

Ricontrolla il calcolo delle radici quarte ;-)

da **pepy91** » 24 mag 2016, 18:06

Ok perfetto, avevo dimenticato di sostituire k=3!!! Per cui adesso vengono 3 valori che sono $z=\pm 1$ e z=0

.

da **pepy91** » 24 mag 2016, 18:33

Adesso ho un piccolo problema sul primo esercizio. Se io provo a svolgerlo sostituendo a z l'espressione generale di un numero complesso, cioè z= x + iy

, ottengo questa espressione:
4 (x + iy)^2 - |x+ (3+y)i|^2 = x+ iy - i - 8* Re[(x + iy)] * (x - iy)

.
Svolgendo tutti i calcoli, ottengo l'espressione:
11x^2 - 5y^2 - x - 6y - 9 - (y-1)i = 0

e ponendo parte reale e parte immaginaria uguale a 0, ottengo il sistema:
$\begin{cases}11x^2 - 5y^2 - x - 6y - 9 = 0\\- (y-1) = 0\end{cases}$ .
Solo che, all'atto di risolverlo, ottengo dei valori molto brutti, tipo $\Delta= 881$ . Secondo te è giusto oppure ho sbagliato qualcosa nei calcoli?

da **dimaios** » 26 mag 2016, 9:11

Interessante visto che 881 è un numero primo. ;-)

da **sebago** » 29 mag 2016, 9:19

dimaios ha scritto:Interessante visto che 881 è un numero primo.

Non capisco perché sia interessante (a me pare persino bruttino forte...), ma anche Wolfram dice lo stesso:

Che schifo, non ci sono più le belle equazioni di una volta... :mrgreen:

da **pepy91** » 29 mag 2016, 17:25

Ottimo, vi ringrazio tanto per l aiuto! Alla prossima :ok:

da **sebago** » 31 mag 2016, 17:17

dimaios, occorre dunque tenersi quel bruttissimo rospo di 881?
Non è che tiri fuori dal cappello a cilindro qualche trucco (che so, un cambiamento di coefficienti, una variazione dei segni...) per farlo diventare un principino a modo?

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Equazioni in campo complesso

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