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da **Simone89RN** » 29 dic 2009, 19:13

Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio dove non mi viene correttamente il valore dell'impedenza di carico $Z_{L}$ a cui viene ceduta la $P_{D}$ e non capisco dove sia l'errore. Oltre all'aiuto per trovare il corretto valore della $Z_{L}$ in più vorrei anche delle dritte per risolvere i circuiti successivi con i componenti aggiuntivi $R_{S}$ $X_{S}$ e $R_{P}$ $X_{P}$

Per iniziare ho trasformato il bipolo AB nel relativo circuito equivalente di Thevenin dove ho calcolato la $P_{D}$ una volta fatta la tensione a vuoto del bipolo di partenza. Qui tutto OK.

Invece per trovare la $Z_{L}$ ho azzerato i generatori $V_{G1}$ e $V_{G2}$ sempre dal bipolo originale e ho chiuso i poli A e B applicando un generatore indipendente di corrente $I_{AB}$ .

Quindi ho trasformato i componenti in impedenze con i risultati seguenti:

$Z_{R} = 10\Omega$ $Z_{L} = 5j\Omega$ $Z_{C} = -10j\Omega$ (ho scritto $Z_{L}$ anche qui ma in realtà la intendo come l'impedenza di induttore e non di carico).

(NOTA: Spero che le mie parole possano bastare per farvi capire le modifiche che ho apportato al circuito di partenza, in caso contrario mi potreste indicare il modo più veloce per poter disegnare i circuiti e poi postarli?)

Trovate le impedenze, il prossimo passo che ho fatto è quello di trovare la tensione ai capi del generatore $I_{AB}$ che siccome per la LKV

equivale alla tensione ai capi del condensatore che ho denominato $V_{C}$ , allora con il partitore di corrente ho trovato la corrente che scorre sul condensatore chiamata $I_{C}$ :

$I_{C} = \frac{Y_{C}}{Y_{R}+Y_{L}+Y_{C}}I_{AB}$

$I_{C} = \frac{\frac{1}{-10j}}{\tfrac{1}{10}+\frac{1}{5j}+\frac{1}{-10j}}I_{AB}$

$I_{C}= \frac{\frac{1}{10}jI_{AB}}{\frac{1+2j-j}{10}}$

$I_{C} = \frac{j}{1+j}I_{AB}$

$I_{C} = \frac{jI_{AB}}{1+j} \frac{1-j}{1-j}=\frac{jI_{AB}-I_{AB}}{2} = \left ( \frac{1}{2}j-\frac{1}{2} \right )I_{AB}$

Quindi ho trovato la $V_{C}$ :

$V_{C} = Z_{C}I_{C} = -10j\left (\frac{1}{2}j-\frac{1}{2} \right )I_{AB} =\left ( 5j+5 \right )I_{AB}$

E per finire l'impedenza di carico che mi risulta errata con reattanza opposta al corretto:

$Z_{L} = \frac{V_{C}}{I_{AB}} = 5j+5$

C'è soltanto un errore di calcolo oppure è il ragionamento ad essere sbagliato dal principio?

Una volta trovata l'impedenza di carico correttamente, devo passare a trovare i valori della resistenza $R_{S}$ e della reattanza $X_{S}$ in serie tra loro e capire se è un induttore oppure un condensatore a darmi la reattanza giusta, e il mio ragionamento è questo:

Attacco semplicemente i 2 nuovi componenti al circuito di Thevenin che avrà il generatore indipendente di tensione con tensione pari a quello a vuoto del bipolo di partenza, questo è in serie con l'impedenza di carico $Z_{L}$ , quindi potrò conoscere il valore della resistenza $R_{S}$ e della reattanza $X_{S}$ e se quest'ultima è postiva il componente cercato è un induttore, se è negativa è un condensatore, e da li trovare il valore di induttanza o capacità.

Che ne dite di quello che ho pensato?

da **RenzoDF** » 29 dic 2009, 19:29

Scusa ma tutti quei calcoli non servono

per trovare quale sia l'impedenza che implica il massimo trasferimento di potenza basta trovare l'impedenza equivalente di Thevenin e "adattare" il carico :wink:

Per la Zequivalente basta spegnere i generatori e fare il parallelo delle impedenze dei 3 rami, ovvero fare l'inverso della somma delle 3 ammettenze

$Z_{eq}=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{jX_{L}}+\frac{1}{-jX_{C}}}=\frac{1}{\frac{1}{10}+\frac{1}{j5}+\frac{1}{-j10}}=\frac{10}{1-j}=5+j5$

e poi ricordare che, per "l'adattamento", l'impedenza di carico deve essere pari alla coniugata della Zeq !

$Z_{S}=Z_{eq}^{*}=5-j5\,\,\,\,\to \,\,R_{s}=5\,\Omega \,\,\,\,C_{S}=\frac{1}{\omega X_{C}}=\frac{1}{1000\cdot 5}=200\mu F$

Comunque il tuo metodo non è errato, hai solo fatto un errore sulla IC, che doveva essere scritta come
$I_{C}=\frac{\frac{1}{10}jI_{AB}}{\frac{1-2j+1}{10}}$
(quando si porta j a numeratore, cambia segno :wink:

)

Poi hai risbagliato in

$I_{C} = \frac{jI_{AB}}{1+j} \frac{1-j}{1-j}=\frac{jI_{AB}-I_{AB}}{2} = \left ( \frac{1}{2}j-\frac{1}{2} \right )I_{AB}$

che doveva essere scritta

$I_{C}=\frac{jI_{AB}}{1-j}\frac{1+j}{1+j}=\frac{jI_{AB}-I_{AB}}{2}=\left( \frac{1}{2}j-\frac{1}{2} \right)I_{AB}$

ritrovandoti INCREDIBILMENTE con un risultato corretto, :mrgreen:

(... due errori autocompensanti ... io direi che sei proprio fortunato =D>

)...
Il tuo calcolo porta, come ti sottolineerà admin, nel post che segue, ...( ormai prevedo anche il futuro :lol:

) ... alla Zeq di Thevenin e NON alla ZS :!:

Ma come ben capisci hai fatto "il giro dell'isolato" per passare dalla tua poltrona al tuo divano

bastava un'unica formula ... e mi chiedo: ma chi è che vi insegna a usare i generatori di corrente per calcolare il parallelo fra un paio di impedenze ? ... la domanda sorge spontanea

dove e cosa studi ? Grazie

Non capisco poi cosa intendi quando scrivi

Per iniziare ho trasformato il bipolo AB nel relativo circuito equivalente di Thevenin dove ho calcolato la P_{D} una volta fatta la tensione a vuoto del bipolo di partenza. Qui tutto OK.

mi spieghi come hai calcolato P ?

Sito web · da **admin** » 29 dic 2009, 19:59

Simone89RN ha scritto:[..]C'è soltanto un errore di calcolo oppure è il ragionamento ad essere sbagliato dal principio?[..]?

Hai interpretato male il risultato dei tuoi calcoli. Ciò che hai trovato è l'impedenza del generatore equivalente, non del carico che cerchi. Giunto a quel punto, non devi far altro che quello che ha detto Renzo.

da **Simone89RN** » 29 dic 2009, 21:35

RenzoDF ha scritto:Scusa ma tutti quei calcoli non servono

e poi ricordare che l'impedenza di carico deve essere pari alla coniugata della Zeq !

$Z_{S}=Z_{eq}^{*}=5-j5\,\,\,\,\to \,\,R_{s}=5\,\Omega \,\,\,\,C_{S}=\frac{1}{\omega X_{C}}=\frac{1}{1000\cdot 5}=200\mu F$

Comunque il tuo metodo non è errato, hai solo fatto un errore sulla IC, che doveva essere scritta come
$I_{C}=\frac{\frac{1}{10}jI_{AB}}{\frac{1-2j+1}{10}}$

quando si porta j a numeratore, cambia segno

OK grazie per il chiarimento, io pensavo semplicemente che la $Z_{L}$ da trovare fosse l'impedenza equivalente di Thevenin e quindi non sapevo del fatto che bisognasse poi fare il coniugato per ottenere il carico per rendere massima la potenza attiva dissipata.

Però non ho capito come si fa a determinare il valore dei componenti aggiuntivi:

Visto che la serie di $R_{S}$ e $X_{S}$ deve dare l'impedenza di carico cosi come sarà per il parallelo di $R_{P}$ e $X_{P}$ io vado a pensare che le equazioni per trovare queste resistenze e reattanze siano queste:

1) Per trovare $R_{S}$ e $X_{S}$ :

$R_{S} +jX_{S} = 5-5j$

2) Per trovare $R_{P}$ e $X_{P}$ :

$\frac{R_{P}jX_{P}}{R_{P}+jX_{P}}=5-5j$

dal punto di vista teorico ragionerei cosi, ma dal punto di vista pratico come trovo questi valori?

da **RenzoDF** » 29 dic 2009, 21:46

Simone89RN ha scritto:
2) Per trovare $R_{P}$ e $X_{P}$ :

$\frac{R_{P}jX_{P}}{R_{P}+jX_{P}}=5-5j$

dal punto di vista teorico ragionerei cosi, ma dal punto di vista pratico come trovo questi valori?

Per trovare Rp e Xp, ti conviene usare le ammettenze e scrivere

$\frac{1}{R_{P}}+\frac{1}{jX_{P}}=\frac{1}{5-j5}=\frac{5}{50}+j\frac{5}{50}\,\,\,\to R_{P}=10\,\Omega \,\,\,\,X_{P}=-10\,\Omega$

Volendo invece seguire la tua strada, e razionalizzando otterremo
$\frac{R_{P}jX_{P}}{R_{P}+jX_{P}}=\frac{R_{P}jX_{P}}{R_{P}+jX_{P}}\cdot \frac{R_{P}-jX_{P}}{R_{P}-jX_{P}}=\frac{R_{P}X_{P}^{2}}{R_{P}^{2}+X_{P}^{2}}+j\frac{R_{P}^{2}X_{P}}{R_{P}^{2}+X_{P}^{2}}$

e uguagliare parte reale e parte immaginaria ottenendo il sistema

$\left\{ \begin{align} & \frac{R_{P}X_{P}^{2}}{R_{P}^{2}+X_{P}^{2}}=5 \\ & \frac{R_{P}^{2}X_{P}}{R_{P}^{2}+X_{P}^{2}}=-5 \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\to \left\{ \begin{align} & \frac{X_{P}}{R_{P}}=-1 \\ & \frac{X_{P}}{\left( \frac{X_{P}}{R_{P}} \right)^{2}+1}=-5 \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\to \left\{ \begin{align} & X_{P}=-10 \\ & R_{P}=10 \\ \end{align} \right.$

Ma come vedi è un percorso molto più lungo :wink:

BTW Rileggi, per favore, quello che ti ho scritto nel post precedente ... che ho aggiornato! Grazie

da **EdmondDantes** » 29 dic 2009, 22:45

Una precisazione...

Simone89RN ha scritto:[...]non sapevo del fatto che bisognasse poi fare il coniugato per ottenere il carico per rendere massima la potenza attiva dissipata.

non si tratta di potenza dissipata, ma di potenza massima trasferita al carico.

In regime stazionario.
Se volessimo collegare un carico ad un generatore, la potenza trasferita è massima quando la resistenza del carico è uguale alla resistenza interna del generatore (adattamento del carico).
In questo caso il rendimento vale 0,5.

Nel tuo caso devi collegare un carico ad una rete...usi Thevenin, ma stai attento che il rendimento non vale più 0,5, poiché i flussi di potenza sono cambiati (tra circuito reale e circuito equivalente).

da **Simone89RN** » 29 dic 2009, 23:10

RenzoDF ha scritto:
Ma come ben capisci hai fatto "il giro dell'isolato" per passare dalla tua poltrona al tuo divano
bastava un'unica formula ... e mi chiedo: ma chi è che vi insegna a usare i generatori di corrente per calcolare il parallelo fra un paio di impedenze ? ... la domanda sorge spontanea

dove e cosa studi ? Grazie

Non capisco poi cosa intendi quando scrivi
Per iniziare ho trasformato il bipolo AB nel relativo circuito equivalente di Thevenin dove ho calcolato la P_{D} una volta fatta la tensione a vuoto del bipolo di partenza. Qui tutto OK.

mi spieghi come hai calcolato P ?

Allora per calcolare la $P_{D}$ ho semplicemente trovato il generatore di tensione equivalente di Thevenin ovvero la tensione a vuoto del bipolo di partenza e per trovare la $V_{AB}$ ho fatto:

$LKV: V_{R}+V_{L}-V_{G1}-V_{G2} = 0$ e ho trovato: $I_{R}= 4+4j-\frac{1}{2}jI_{L}$
$LKV: V_{L}-V_{G2}+V_{C}=0$ e ho trovato: $I_{C}= \frac{1}{2}I_{L}-4$
$LKI: I_{R}+I_{C}-I_{L}=0$ $I_{C}=-2+2j A$

Una volta trovata la $I_{C}$ poi ho trovato la $V_{AB}=V_{C}=Z_{C}I_{C}= 20+20j V$

Poi con l'antitrasformata di Steinmetz ho trovato ampiezza e fase della $V_{AB}$ .

$V_{AB}\left ( t \right )=20\sqrt{2}\cos \left ( 1000t+\frac{\pi }{4} \right )$

poi ho trovato il valore efficace della $V_{AB}$ : $V_{ABeff} = \frac{A_{M}}{\sqrt{2}}$

e infine ho trovato la $P_{D}= \frac{V_{ABeff}^{2}}{4R}$ dove

è la parte reale dell'impedenza equivalente di Thevenin.

Io comunque studio Ingegneria Informatica a Cesena.

da **RenzoDF** » 30 dic 2009, 0:05

Tu in effetti hai calcolaro la potenza sulla Req interna e non sul carico; in adattamento sono uguali, ma non in generale, ..."be careful" :!:

Facevi prima a trovare la corrente di cortocircuito, nota la "quadratura" fra VG1 e VG2, le correnti di corto dei due rami saranno in opposizione di fase e quindi

Icc=40/5-40/10=4 A

e poi usare il circuito eq. di Norton con la Zeq = 5+j5 trovata per vedere che essendo in parallelo a Zs=5-j5 le correnti sui due rami saranno uguali in modulo e sfasate di 90°; di conseguenza di loro valore massimo sarà
$I=\frac{4}{\sqrt{2}}\,A\,\,\to P=R\cdot I^{2}=R\cdot \left( \frac{I}{\sqrt{2}} \right)^{2}=20\,W$

NB Kirchhoff è "in generale" da eviare, in questo caso sarebbe più veloce Millman (ovvero potenziali ai nodi per n=2) :!:

da **Simone89RN** » 7 gen 2010, 12:02

Vorrei una dritta per risolvere il ramo dove passa $I_{3}$ di questo esercizio.

: img027.jpg (29.05 KiB) Osservato 3011 volte

Stavolta per trovare le correnti applico il metodo delle maglie scegliendo come correnti di maglia i lati attraversati dalle correnti $I_{1}$ , $I_{4}$ e $I_{5}$ . Queste 3 correnti mi vengono correttamente e la stessa cosa avviene per la $I_{2}$ .

Invece la $I_{3}$ non mi viene correttamente, ma prima di utilizzare il metodo delle maglie ho dovuto oltre che calcolare le impedenze dei componenti R, L, C, anche trasformare quel generatore dipendente di corrente in parallelo con la $Z_{3}$ in un generatore dipendente di tensione in serie con la $Z_{3}$ , e qui sta il mio problema.

Per la trasformazione ho usato i seguenti passi:

1) (Anche qui ho dubbi) Ho trovato grazie a Kirchhoff la corrente uscente dal ramo facendo

$I_{3}+g_{V1}+\frac{V_{3}}{Z_{3}}=0$

praticamente ho trovato la corrente uscente dal ramo verso il nodo centrale del circuito chiamandola $I_{3}$ che è diversa dalla $I_{3}$ gia segnata nel ramo stesso. Il dubbio è, ho fatto bene a trovare questa corrente oppure dovevo trovare l'altra corrente uscente verso il nodo in basso?

2) $I_{3}= -\frac{V_{3}}{Z_{3}}+g_{V1}$

3) $Z_{3}I_{3}=-V_{3}+gZ_{3}V_{1}$

4) $V_{3}=-Z_{3}I_{3}+gZ_{3}V_{1}$

Cosi facendo ho trovato la tensione complessiva che caratterizzerà il mio nuovo ramo che sarà formato dall'impedenza $Z_{3}$ che ha corrente di verso (in direzione) del nodo centrale, in serie con il generatore dipendente di tensione
$\mu V_{1}$ che ha $\mu=gZ_{3}$ e il verso della tensione è discorde rispetto a quella dell'impedenza.

Spero che abbiate capito dalle mie parole quello che ho fatto. Potete aiutarmi?

Sito web · da **admin** » 7 gen 2010, 13:27

Simone89RN ha scritto:[..] il verso della tensione è discorde rispetto a quella dell'impedenza [..]

sostituisci con il generatore ideale di tensione $g \cdot \dot V_1 \cdot \dot Z_3$ con il '+' verso l'alto, in serie con $\dot Z_3=-j \frac 1 {\omega C_3}$

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