ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **ggbear** » 29 ago 2010, 19:31

Ho un esame di elettrotecnica-teoria dei circuiti strutturato ad esercizi ma purtroppo non ne ho di svolti da prendere come esempio... Uno degli esercizi tipo dell'esame è così:

Dalle dispense di teoria sto cercardo di districarmi nella risoluzione, sono arrivato a queste considerazioni:

devo trovare la funzione di trasferimento H(s)=Vu/Vs, quindi trovo il circuito equivalente con la trasformata di laplace e le condizioni iniziali poste a zero
$v_s(t) \to V_s(s)$
$1 uF \to 10^6/s$
$1mH \to s10^{-3}$
poi la parte sinistra del circuito vede le induttanze accoppiate n=10:1 (trasformatore?) come
$R_{eq} = n^{2}R_L$
Da qui userei la risoluzione ai nodi, mettendo a zero il nodo inferiore, semplificando la serie e il parallelo di impedenze sulla destra...
Se mi date un input poi provo a proseguire, da solo ho molta difficoltà a capire se quello che sto facendo ha un senso o sto sbagliando completamente!

Grazie mille in anticipo!

da **RenzoDF** » 29 ago 2010, 20:09

Noi preferiamo FidoCadJ :wink:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

aspettiamo le tue semplificazioni ! ... usando FidoCadJ potrai usare il mio schema con un semplice copia-incolla :wink:

BTW Dopo aver tolto di mezzo solo il trasformatore a destra e semplificato il generatore e i tre resistori a sinistra, io scriverei un sistema con due equazioni: rispettivamente un partitore di corrente (a destra) e una KVL (a sinistra).

da **ggbear** » 30 ago 2010, 2:37

ok grazie! ci provo! allora, applico thevenin a sinistra:
$R_{eq} = (1000 *1000)/(1000+1000) + 500 = 1000$
I(s) = V(s) / 2000

$V_{eq} = V(s) - 1000 * V(s)/2000 = V(s)/2$

A destra semplifico il trasformatore con l'impedenza equivalente:
$Z_{eq} = n^2Z_L = 100 * 10^{-3}s = s/10$
arrivando a questo punto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ora come suggerisci scrivo le due equazioni:
$V(s)/2 - i_{1}1000 - 5i_{1}10^6/s = 0$
$i_{2} = 4i_{1}1000/(2000+s)$

Poi espliciterei i2 rispetto a Vs, per trovarmi poi quindi Vu e Vs nella stessa equazione del trasformatore...
Sto procedendo correttamente?

da **IsidoroKZ** » 30 ago 2010, 7:27

Proverei a farlo prima letterale, poi sostituisci i valori (ho detto valori, non numeri). Come hai fatto tu diventa difficile capire che cosa uno fa, e se scappa un errore non lo si vede. Inoltre per motivi "semantici" non fare un equivalente Thevenin delle tre resistenze a sinistra. Lascerei fuori dall'equivalente Thevenin quella da 500 ohm. E` vero che viene la stessa cosa, ma lo schema risulta piu` leggibile, e in altri casi permette di passare facilmente ad un'altra rappresentazione (quella dei parametri ibridi).

Comunque la prima equazione sembra giusta, la seconda non te lo so dire, la trovo illeggibile per i motivi detti prima.

da **RenzoDF** » 30 ago 2010, 8:30

Esatto, la semplificazione è proprio quella che intendevo io!
Sia i valori calcolati per il circuito semplificato, sia le ultime due relazioni sono corrette,
te ne manca solo una

$10V_{U}=-\frac{s}{10}i_{2}$

quindi il problema è praticamente risolto, ti mancano solo un paio di sostituzioni e i diagrammi di modulo e fase.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Io la corrente i2 non l'avrei nemmeno usata, avrei scritto direttamente la Vu, anzi la 10Vu come vedi nello schema :wink:

$\left\{ \begin{align} & \frac{V_{S}}{2}-10^{3}\cdot i_{1}-\frac{10^{6}}{s}\cdot 5i_{1}=0 \\ & 10\cdot V_{U}=\frac{s}{10}\cdot \left( -4i_{1}\cdot \frac{100}{100+(100+0.1s)} \right) \\ \end{align} \right.$

$\left\{ \begin{align} & V_{S}=2\cdot 10^{3}\times \left( \frac{s+5000}{s} \right)\cdot i_{1} \\ & V_{U}=-\frac{40s}{s+2000}\cdot i_{1} \\ \end{align} \right.$

e infine

$F(s)=\frac{V_{U}}{V_{S}}=-\frac{1}{50}\cdot \frac{s^{2}}{\left( s+2000 \right)(s+5000)}$

Isidoro preferirebbe una soluzione letterale, ma che, a mio parere pero', porterebbe a dei passaggi piu' lunghi e rischiosi quanto a possibili errori; non capisco poi perché sia contrario a un Thevenin totale "a sinistra", qui non è richiesta la rappresentazione del doppio bipolo ... e sentirlo parlare di parametri ibridi, 8-[

... mi lascia senza parole :mrgreen:

======================

Proviamo a controllare con Sapwin

a) inseriamo rete,

: xF1.gif (13.39 KiB) Osservato 10991 volte

b)analisi simbolica

: xF2.gif (15.04 KiB) Osservato 10991 volte

c) numerica

: xF3.gif (7.9 KiB) Osservato 10990 volte

d) e infine facciamo calcolare a Sapwin poli e zeri

: xF4.gif (10.02 KiB) Osservato 10988 volte

Corretto !

da **IsidoroKZ** » 30 ago 2010, 16:03

RenzoDF ha scritto:Isidoro preferirebbe una soluzione letterale, ma che, a mio parere pero', porterebbe a dei passaggi piu' lunghi e rischiosi quanto a possibili errori; non capisco poi perché sia contrario a un Thevenin totale "a sinistra", qui non è richiesta la rappresentazione del doppio bipolo ... e sentirlo parlare di parametri ibridi, ... mi lascia senza parole

Lapsus, volevo dire parametri a pi greco. Se si va di gm, con l'equivalente delle tre resistenze sparisce la tensione di comando. Visto che quello e` un circuito a transistore camuffato, meglio se lo studente si abitua a riconoscere le varie funzioni della rete, e non a trattare il tutto come scatola nera.

Impostare i conti letterali secondo me e` importante, permette di vedere se l'espressione scritta ha senso prima di sostuire i valori fisici. E quando si sostituiscono i valori fisici, non si mettono i numeri, ma numeri e unita` di misura, cosi`, con il controllo dimensionale, si vede se si perdono pezzi per strada.

In questi giorni sono parecchio impegnato, prima o poi provo a postare la soluzione a modo mio.

da **ggbear** » 31 ago 2010, 1:17

Grazie mille! Adesso che ho le idee più chiare continuo a fare esercizi al riguardo...
Comodo fidocadj e interessante sapwin, non li conoscevo

da **ggbear** » 3 set 2010, 11:57

Altro problema, sui transitori questa volta. Ho questi dati:
Calcolare v_c(t)

per $t \ge 0$ , operando nel dominio del tempo (ovvero non con la trasformata di Laplace), sapendo che:
$v_s(t) = 2cos(10000t-\pi /6)V$ e v_c(0) = -3V

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Io lo risolverei così:
$\tau = RC =( R_1 // R2 ) \cdot C = 100 \cdot 10^{-6} = 1 \cdot 10^{-4}s$

Sovrapposizione degli effetti, considero prima il generatore di continua:
soluzione a regime, condensatore lato aperto, partitore di tensione
$V_c = 10V \cdot R_1 = 10V \cdot \frac{200}{400} = 5V$
condizione iniziale: V_C = -3V

generatore di alternata:
soluzione a regime, condensatore lato aperto, partitore di tensione
$V_c = V_s \cdot R_1 = V_s \cdot \frac{200}{400} = cos(10000t-\pi /6)V$
condizione iniziale: V_C = -3V

quindi
$y(t) = [y(0) + y_{\infty}]\cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + y_{\infty}$

$v_{c_1}(t) = [-3V - 5V]\cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + 5V$
$v_{c_2}(t) = [-3V + cos(10000t-\pi /6)V]\cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + cos(10000t-\pi /6)V$

$v_c(t) = v_{c_1}(t) + v_{c_2}(t)$

Ora:
ha senso? :shock:

l'esercizio può considerarsi finito così o devo presentare il coseno ed esponenziali in un altro modo..?

Grazie!

da **RenzoDF** » 3 set 2010, 16:50

Direi che non ci siamo semplicemente perché vedo che dai tuoi calcoli, a regime, la tensione sul condensatore risulterebbe in fase con quella del generatore :wink:

Io userei il metodo "canonico", ovvero

$\begin{align} & \frac{E-v_{C}}{R}=\frac{v_{C}+V_{S}}{R}+C\frac{\text{d}v_{C}}{\text{d}t} \\ & RC\frac{\text{d}v_{C}}{\text{d}t}+2v_{C}=E-V_{S} \\ & RC\alpha +2=0\,\,\,\,\alpha =-\frac{2}{RC}=-10^{-4\,}\,\,s \\ \end{align}$

e di conseguenza un integrale generale nella forma

$v_{Co}=Ae^{-10^{4}t}$

e calcolata poi la soluzione a regime con la sovrapposizione

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$V_{C\infty}=\frac{E}{2}-\frac{V_{S}}{2}\cdot \frac{-j100}{100-j100}=5-V_{S}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}\angle -45{}^\circ$

$v_{C\infty }=5-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left( 10^{4}t-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4} \right)$

la soluzione dell'equazione differenziale sarà di consegueza

$v_{C}(t)=v_{Co}+v_{Cp}=Ae^{-10^{4}t}+5-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left( 10^{4}t-\frac{5\pi }{12} \right)$

usando la condizione iniziale

$v_{C}(0)=-3=A+5-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left( -\frac{5\pi }{12} \right)$

$A=-8+\frac{\sqrt{3}-1}{4}=\frac{\sqrt{3}-33}{4}$

e quindi
$v_{C}(t)=5+\left( \frac{\sqrt{3}-33}{4} \right)e^{-10^{4}t}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left( 10^{4}t-\frac{5\pi }{12} \right)$

Che tracciata con Speq

: zza.gif (10.88 KiB) Osservato 10731 volte

permette di ottenere

: zzb.gif (9.68 KiB) Osservato 10729 volte

poi controllo con LTSpice :mrgreen:

da **RenzoDF** » 3 set 2010, 22:41

Ma prima di LTspce proviamo a risolvere per via simbolica con Laplace in wxMaxima

ridisegnamo prima la rete come

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e calcoliamo vc(t) semplicemente antitrasformando il risultato vc(s) ottenuto con Millman

: zq1.gif (12.6 KiB) Osservato 10732 volte

: zq2.gif (10.43 KiB) Osservato 10729 volte

come possiamo vedere, nell'output %o5, anche se "espanso", il risultato corrisponde esattamente a quello ottenuto nel dominio del tempo;

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Tracciamento di diagramma di Bode

[1] Tracciamento di diagramma di Bode

[2] Re: Aiuto esercizio

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