ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **RenzoDF** » 3 set 2010, 23:25

ed ecco l'analisi numerica con LTspice

: zq3.gif (17.1 KiB) Osservato 3370 volte

Il file .asc

UD3.rar: (475 Byte) Scaricato 124 volte

da **ggbear** » 5 set 2010, 19:57

Grazie mille!! Adesso ho capito il procedimento di risoluzione nel caso di circuiti del primo ordine!
Questo stesso esercizio sui transitori ce l'ho anche in un'altra variante, con due elementi tra condensatori e induttori posti così:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

, trovare

per il fatto che tra il lato sinistro e destro del circuito non passa corrente è possibile risolverlo con un qualche "trucco" invece che rifarsi alle formule per i circuiti del secondo ordine?
Posso calcolare $v_{C}(t)$ come nell'esercizio precedente, poi calcolare v_1(t)

e usarlo per risolvere la parte a destra con un partitore di corrente?

da **RenzoDF** » 5 set 2010, 21:51

ggbear ha scritto:Posso calcolare $v_{C}(t)$ come nell'esercizio precedente, poi calcolare e usarlo per risolvere la parte a destra con un partitore di corrente?

A sinistra, determinata $v_{C}(t)$ puoi ricavare $v_{1}(t)=\frac{v_{C}(t)}{2}$ , ma attento al partitore di destra :wink:

BTW poi posta i tuoi risultati per i lettori di EP ! OK ?

da **ggbear** » 6 set 2010, 12:27

Ok mi metto al lavoro!
Considero il condesatore lato aperto e calcolo $V_c(\infty)$ e $R_{eq}$
$V_c(\infty) = \frac{10V}{2} = 5V$
$R_{eq} = 1000 // (500+500) = 500\Omega$
$\tau = R_{eq} \cdot C = 5 \cdot 10^{-4}s$

$V_{c}(t) = [V_c(0) - V_c(\infty)]e^{\frac{-t}{\tau}} + V_c(\infty) = [-3 -5]e^{\frac{-t}{\tau}} + 5 = -8e^{\frac{-t}{\tau}} + 5$
$V_1(t)=\frac{V_c(t)}{2} = -4e^{\frac{-t}{\tau}} + 2.5$

Ora ho l'equazione del generatore controllato, a destra pensavo di applicare Thevenin e poi la KVL così:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Dove

e $V_{th} = V_1(t) \cdot 5 \cdot 200 = -4000e^{\frac{-t}{\tau}} + 2500$
KVL:
$V_{th} = 200i + L\frac{di}{dt}$

Ora questa è una equazione differenziale non omogenea, quindi mi pare di aver capito che si risolve così:
$i(t) = i_{libera} + i_{forzata}$

risolvo l'omogenea associata
$i_{libera} = A_1e^{2\cdot 10^5}$
poi dai dati ho che in t=0

,

quindi

...

per la risposta forzata ho trovato che deve essere nella forma
$A_2te^{\frac{-t}{\tau}}$
ora la sostituirei nella KVL..?
ma i calcoli per trovare A_2

diventano discretamente complessi e ho il grosso sospetto di stare sbagliando qualcosa!!

da **RenzoDF** » 6 set 2010, 15:46

No, non sbagli, il metodo è corretto.
Non occorre poi scomodare Thevenin, a destra si puo' scrivere una KCL

$i=i_{L}+\frac{L}{R}\frac{\text{d}i_{L}}{\text{d}t}$

dove i è la corrente del generatore comandato.

BTW occhio alla $i_{libera}$ (segno e t) e alla condizione iniziale che deve essere usata su tutta la risposta :wink:

da **ggbear** » 7 set 2010, 0:10

Correggo per quanto riguarda la risposta libera, sarebbe da applicare
$i_L = i_{lib} + i__f$
$i_L = A_1e^{-2\cdot 10^5t} + A_2te^{-2\cdot10^3t}}$

quest'ultima in t=0

,

per trovare A_2

sto rifacendo i calcoli adesso ma non mi si semplifica la t inserendo la risposta forzata nella KCL, ora mi rivedo tutto

da **RenzoDF** » 7 set 2010, 10:56

per la risposta forzata ho trovato che deve essere nella forma
$A_2te^{\frac{-t}{\tau}}$

direi di no, sarebbe corretto solo per una forzante esponenziale

$e^{\lambda t}$
quando $\lambda$ sia radice dell'equazione caratteristica dell'omogenea associata!

Nel nostro caso non lo è in quanto le due costanti di tempo sono diverse, e ricorda anche che per $t\to \infty$ la $i_{L}(t)$ non tende a zero, ma bensì a 25/2 ampere! :wink:

da **RenzoDF** » 7 set 2010, 12:52

Forse mi conviene completare

partendo dalla

$v_{1}(t)=\frac{v_{C}(t)}{2}=5-4e^{-\frac{t}{\tau _{1}}}$

$i(t)=5\,v_{1}(t)$

$i=i_{L}+\frac{L}{R}\frac{\text{d}i_{L}}{\text{d}t}$

$\frac{\text{d}i_{L}}{\text{d}t}+\frac{R}{L}i_{L}=\frac{5R}{L}\,v_{1}(t)$

$\frac{\text{d}i_{L}}{\text{d}t}+\frac{1}{\tau _{2}}i_{L}=\frac{25}{2\tau _{2}}-\frac{20}{\tau _{2}}e^{-\frac{t}{\tau _{1}}}$

dette

$\begin{align} & \tau _{1}=RC=500\,\mu s \\ & \tau _{2}=\frac{L}{R}=5\,\mu s \\ \end{align}$

potremo scivere

$\begin{align} & i_{lib}=A_{1}e^{-\frac{t}{\tau _{2}}} \\ & i_{f}=A_{2}e^{-\frac{t}{\tau _{1}}}+A_{3} \\ & i_{L}(t)=i_{lib}+i_{f}=A_{1}e^{-\frac{t}{\tau _{2}}}+A_{2}e^{-\frac{t}{\tau _{1}}}+A_{3} \\ \end{align}$

sostituendo nella non omogenea

$-\frac{A_{1}}{\tau _{2}}e^{-\frac{t}{\tau _{2}}}-\frac{A_{2}}{\tau _{1}}e^{-\frac{t}{\tau _{1}}}+\frac{1}{\tau _{2}}\left( A_{1}e^{-\frac{t}{\tau _{2}}}+A_{2}e^{-\frac{t}{\tau _{1}}}+A_{3} \right)=\frac{25}{2\tau _{2}}-\frac{20}{\tau _{2}}e^{-\frac{t}{\tau _{1}}}$

e ricavare, usando anche la condizione iniziale sull'induttore

$\left\{ \begin{align} & -\frac{A_{2}}{\tau _{1}}+\frac{A_{2}}{\tau _{2}}=-\frac{20}{\tau _{2}} \\ & \frac{A_{3}}{\tau _{2}}=\frac{25}{2\tau _{2}} \\ & i_{L}(0)=A_{1}+A_{2}+A_{3}=-1 \\ \end{align} \right.$

e quindi

$\left\{ \begin{align} & A_{2}=20\frac{\tau _{1}}{\tau _{2}-\tau _{1}}=-\frac{2000}{99} \\ & A_{3}=\frac{25}{2} \\ & A_{1}=\frac{1327}{198} \\ \end{align} \right.$

troviamo infine

$\begin{align} & i_{L}(t)=A_{1}e^{-\frac{t}{\tau _{2}}}+A_{2}e^{-\frac{t}{\tau _{1}}}+A_{3} \\ & i_{L}(t)=\frac{1327}{198}e^{-2\cdot 10^{5}t}-\frac{2000}{99}e^{-2\cdot 10^{3}t}+\frac{25}{2} \\ \end{align}$

------ plottiamo con Speq ------

: xx1.gif (13.59 KiB) Osservato 3013 volte

e visualizziamo prima espandendo l'evoluzione iniziale

: xx2.gif (10.64 KiB) Osservato 3016 volte

e poi quella finale

: xx3.gif (10.83 KiB) Osservato 3017 volte

particolarizzazioni necessarie a causa della differenza di due ordini di grandezza fra le costanti di tempo !

... piu' tardi provo a verificare con LTspice :wink:

da **RenzoDF** » 7 set 2010, 15:23

Here you are

: yLT1.gif (8.56 KiB) Osservato 2992 volte

: yLT2.gif (14.74 KiB) Osservato 2991 volte

: yLT3.gif (17.64 KiB) Osservato 2992 volte

sembra tutto OK !

da **RenzoDF** » 7 set 2010, 22:21

Tanto per finire, "simbolicamente"
(e per far "tener duro" a Layer sull'installazione sotto Win7)
risolviamo con wxMaxima

: 2010-09-07_220957.gif (23.23 KiB) Osservato 2955 volte

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Tracciamento di diagramma di Bode

[11] Re: Aiuto esercizio

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