filtro butterworth e fattore di qualità

[giulia87]

ciao a tutti :)

dalla teoria so che un filtro Butterworth passa basso ha il punto a -3dB in corrispondenza della freq di taglio per qualsiasi ordine del filtro..

questo vuoldire che, nel caso di filtro del secondo ordine, il fattore di smorzamento (o il fattore di qualità, a lui inversamente proporzionale) ha un valore costante per tutti gli ordini? c'è una formula che esprime il fattore di qualità per un filtro butterworth?

graziee!

[carloc]

Conviene ragionare con i poli della funzione di trasferimento....

imponendo che il modulo della funzione di trasferimento sia monotono decrescente si arriva a dire che i poli devono essere uniformente spaziati su una semicirconferenza di raggio nel semipiano sinistro... se il filtro è di ordine n devono cioè essere distanti radianti o gradi...

si arriva a qualcosa del genere....

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

nel caso di ordine 1 -ma veramente anche in tutti gli altri- si può immaginare di avere 2n poli uniformemente spaziati sull'intera circonferenza (radice due-ennesima in senso complesso) e poi si "prende solo quelli a parte reale negativa o se vuoi il luogo dei poli deve essere simmetrico rispetto l'asse immaginario, dunque il polo viene sull'asse reale.

ordine 2, due poli spaziati 90° e smorzamento uguale a

ordine 3, tre poli spaziati 60°, ora dato che è fisicamente possibile realizzare solo singolarità complesse coniugate in questo caso il filtro sarà la cascata di un primo ordine con polo reale (negativo) e di una cella del secondo ordine con smorzamento

ordine 4, quattro poli spaziati 45°, cascata di due celle del secondo ordine una con e l'altra con

...e così via ........

[giulia87]

mmmm, grazie mille...

ma ciò vale in generale o specifico per i Butterworth?

[carloc]

Non non è generico, vale solo per i Butterworth altri tipi di filtri hanno i poli didposti diversamente....

[giulia87]

quindi è questo che spiega come mai, nel complesso, il butterworth attenua di -3dB per qualsiasi ordine alla frequenza nominale del filtro...

ora mi è chiaro! grazie!

[StefanoSunda]

Questo vuol dire che, nel caso di filtro del secondo ordine, il fattore di smorzamento (o il fattore di qualità, a lui inversamente proporzionale) ha un valore costante per tutti gli ordini? c'è una formula che esprime il fattore di qualità per un filtro butterworth?

Il discorso dei filtri è molto vasto, (e non conosco le teorie elencate da Carloc) non voglio inoltrarmi oltre queste piccole note che aggiungo. Ma penso che queste siano teorie pratiche, spero che ti siano utili.
In pratica il tipo di ordine ci permette di conoscere l’attenuazione in dB che il filtro fa per ogni ottava. L’ottava indica semplicemente il raddoppio o il dimezzamento della frequenza fondamentale.
Per la frequenza fondamentale esistono dunque sia ottave superiori sia quelle inferiori, che si ottengono moltiplicando o dividendo la frequenza fondamentale per 2 – 4 – 8 – 16. Se realizzi un filtro, passa basso calcolato per una frequenza di taglio pari a 1.200 Hz verranno attenuate le sole ottave superiori, quindi:
1° ottava = 1.200*2 = 2.400 Hz
2° ottava = 1.200*4 = 4.800 Hz
3° ottava = 1.200*8 = 9.600 Hz
4° ottava = 1.200*16 = 19.200 Hz
Se realizzi un filtro passa alto calcolando per una frequenza di taglio a 1.200 verranno attenuate solo le ottave inferiori, quindi:
1° ottava = 1.200/2 = 600 Hz
2° ottava = 1.200/4 = 300 Hz
3° ottava = 1.200/8 = 150 Hz
4° ottava = 1.200/16 = 75 Hz
I filtri di 1° ordine attenuano 6 dB per ottava
2° ordine 12 db per ottava
3° ordine 18 dB per ottava
4° ordine 24 dB per ottava
5° ordine 30 dB per ottava
6° ordine 36 dB per ottava
7° ordine 42 dB per ottava
8° ordine 48 dB per ottava.

dalla teoria so che un filtro Butterworth passa basso ha il punto a -3dB in corrispondenza della freq di taglio per qualsiasi ordine del filtro..

Nella spiegazione delle attenuazioni sulla prima, seconda, terza ottava, è già stato considerato i -3dB.

[DarwinNE]

I filtri di 1° ordine attenuano 6 dB per ottava
2° ordine 12 dB per ottava
3° ordine 18 dB per ottava
4° ordine 24 dB per ottava
[cut]

In realtà, questo discorso è valido solo trovandosi piuttosto lontano dalla frequenza di taglio. Giocando infatti adeguatamente con i poli (ed eventualmente gli zeri) della funzione di trasferimento, si può fare in modo che l'attenuazione salga anche piuttosto in fretta una volta che la frequenza di taglio viene superata. Per esempio, per un filtro di Butterworth di quarto ordine, ad una frequenza di 2 volte la frequenza di taglio, siamo effettivamente con un'attenuazione dalle parti di 24 dB, ma se prendiamo un filtro di Chebyshev, arriviamo a 40 dB, a prezzo però di notevoli deformazioni nella risposta temporale ad un gradino. Questa viene invece appena lisciata da un filtro di Bessel, che al quarto ordine dà un'attenuazione dell'ordine di 20 dB nella situazione sopra citata.
Qualche tempo fa avevo mostrato qui sul forum un filtro ellittico attivo sempre del 4 ordine (un CC 04 08 31 nella classificazione dello Zverev), che aveva un'attenuazione che saliva ancora più in fretta di un Chebyshev dopo la frequenza di taglio, ma che poi risaliva per poi riscendere (succede con tutti i filtri ellittici, per via degli zeri in banda attenuata):

viewtopic.php?f=1&t=26479&start=60#p211539

[carloc]

quindi è questo che spiega come mai, nel complesso, il butterworth attenua di -3dB per qualsiasi ordine alla frequenza nominale del filtro...

Mah a me quello che ho scritto spiega veramente poco

io lo chiamerei metodo per ricavare il luogo dei poli per un filtro Butterworth di ordine n ma non dice niente ne del perché devono essere lì ne della risposta del filtro...

si dovrebbe invece studiare la fdt

comunque, tutti i filtri attenuano 3dB alla frequenza di taglio giusto perché è così definita

i Butterworth poi hanno la proprietà che la frequenza di taglio è uguale alla frequenza naturale di tutte le sue celle ma ancora... studiare la fdt....

[giulia87]

Sì, forse come al solito non mi spiego al meglio

intendevo dire che se voglio progettare un filtro con frequenza di taglio a 1 kHz di ordine 1, ad 1 kHz ho attenuazione di - 3 dB. se lo faccio di ordine 2, ad 1 kHz ho attenuazione di -6 dB, etc...

se però uso Butterworth per fare il filtro di ordine 2, ad 1 kHz ho attenuazione di - 3dB e non di -6dB

in base a dove sono i poli dei filtri di secondo ordine (reali, o complessi coniugati), il modulo della fdt può presentare un picco nella zona della freq di taglio, non desiderabile perché all'aumentare del picco c'è più instabilità per le frequenze lì in zona.., per un filtro passa basso, ad esempio, il fattore di qualità è tanto più grande quanto maggiore è il picco e quindi l'instabilità.

un filtro Butterworth del secondo ordine (realizzato ad esempio con topologia sallen-key o multiple feedback) ha un fattore di qualità pari a 0.707, che significa che non ha picchi pericolosi alla frequenza di taglio, ma attenua di -3dB a questa frequenza.

un filtro Butterworth del terzo ordine (realizzato ad es con un sallen-key ed un passa basso passivo) attenua anch'esso di -3dB alla frequenza di taglio. Infatti, i suoi componenti sono dimensionati in modo che il fattore di qualità della cella attiva sia pari ad 1 (che significa che alla frequenza di 1 kHz non c'è attenuazione). Visto che il passa basso passivo attenua di -3dB alla freq di 1 kHz, nel complesso il butterworth del 3 ordine attenua di -3dB alla frequenza di taglio.

[carloc]

[...]intendevo dire che se voglio progettare un filtro con frequenza di taglio a 1 kHz di ordine 1, ad 1 kHz ho attenuazione di - 3 dB. se lo faccio di ordine 2, ad 1 kHz ho attenuazione di -6 dB, etc..[...]

Sì se quello di ordine 2 ha smorzamento=1 cioè due poli reali coincidenti hai -6dB alla frequenza naturale... ma potresti trovare una frequenza -minore- dove invece hai -3dB e dire che quella è la frequenza di taglio del filtro -diversa dalla frequenza naturale-

[...]in base a dove sono i poli dei filtri di secondo ordine (reali, o complessi coniugati), il modulo della fdt può presentare un picco [...]

Sì in generale, ma i Butterworth sonno appunto progettati perché questo non accada

La topologia non c'entra niente con la risposta del filtro, è solo un modo per realizzare una certa ftd... potrebbe essere pure un filtro passivo L/C...

Sì nella cascata di vari filtri avviene che il picco nella risposta di uno viene compensato, smorzato dall'attenuazione dell'altro e il risultato netto è una risposta in frequenza senza picchi -monotona decrescente-