valore assoluto

[alev]

Guida galattica -> formule matematiche

Repetita iuvant, dicono

[palliit]

[alev]

[RenzoDF]

... ho un dubbio di carattere prettamente teorico: la funzione valore assoluto (in R), |x|, è da considerare algebrica? E di che grado?

Direi che ci sono varie definizioni di funzione algebrica, ma quella che mi sembra la più generale è la seguente:
f(x) è algebrica se soddisfa identicamente a p(x,f(x))=0 dove p(x,y) è un polinomio in x,y a coefficienti interi.
In base a questa definizione y=|x| è algebrica perché soddisfa alla relazione con il polinomio


Non direi che invece abbia alcun senso parlare di grado in quanto questo si fa solo per i polinomi cioè per le funzioni razionali intere.

[DirtyDeeds]

RenzoDF ti sei perso il post [9]

Il polinomio deve essere irriducibile.

[palliit]

concordo con DirtyDeeds, e mi sono anche chiarito il motivo. Un esempio: è a tutti gli effetti equivalente a ; la riducibilità del polinomio garantisce che la funzione continui ad essere di I e non di III grado.
Le funzioni razionali intere (polinomi) hanno un grado evidente; le algebriche non razionali e/o non intere hanno un grado che si identifica dopo aver messo la loro equazione in forma razionale intera, ma ce l'hanno e rappresenta il numero massimo di intersezioni con una generica retta, così ad esempio messa in forma razionale intera equivale (con opportune restrizioni) a e quindi è di III grado.

[RenzoDF]

RenzoDF ti sei perso il post [9]

Il polinomio deve essere irriducibile.

Come dicevo, la definizione non e' unica! ... appena trovo un riferimento "serio" lo posto.

[palliit]

In effetti la definizione di funzione algebrica, fondata sulla possibilità di scrivere il polinomio P(x,y) con esplicito riferimento al fatto che P dev'essere irriducibile, io l'ho trovata testuale anche sul Geymonat (Lezioni di analisi matematica1)

[DirtyDeeds]

Un riferimento in cui non viene richiesta l'irriducibilità è questo.

Lì viene richiesto che il discriminante del polinomio (visto come polinomio in y) non sia identicamente nullo. Nel caso di il discriminante è , non identicamente nullo. In effetti, quindi, in base a questa definizione , parrebbe essere una funzione algebrica.

[palliit]

Comunque nello stesso testo che parlava di irriducibità, qua, dà una descrizione per arrivare a determinare il grado di una funzione algebrica, ma mi pare un po' perversa perché secondo questa logica risulterebbe essere di primo grado

Comunque tre mie colleghe sono della stessa mia opinione (post [26]) ma comincio ad avere l'impressione che sia solo un'abitudine a pensarla così, una dice che appena lo trova mi porta un testo inequivocabile, boh, aspetto con ansia