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da **francescoper** » 15 gen 2012, 22:53

Il momento angolare dovrebbe valere L = b m v

.
Immagino quindi che la massa non è che ruoti intorno ad O, però ha una certa tendenza a ruotarvi espressa dal momento angolare (infatti rotazione intorno ad un punto, prevede un moto circolare intorno a quel punto - cosa che qui non accade perché la massa si muove orizzontalmente). Dico bene?
(Considerazione che mi viene in mente: nell'esempio da me proposto (lo metto sempre in allegato) la velocità angolare del centro di massa rispetto al generico punto P è diversa dalla velocità angolare del corpo rispetto al punto di contatto (che è centro di istantanea rotazione); se volessi prendere l'origine in

potremmo scrivere $L = L_{S} + L_{rel}$ ma tra $L_{S}$ e $L_{rel}$ non possiamo mettere in evidenza le velocità angolari, che sono diverse!! ecco che quindi ora mi è chiaro il discorso che mi hai fatto qualche centinaio di post fa!

da **DirtyDeeds** » 15 gen 2012, 23:26

francescoper ha scritto:(Considerazione che mi viene in mente: nell'esempio da me proposto (lo metto sempre in allegato) la velocità angolare del centro di massa rispetto al generico punto P è diversa dalla velocità angolare del corpo rispetto al punto di contatto (che è centro di istantanea rotazione)

Considerazione completamente sbagliata :roll:

Tu mischi traslazioni e rotazioni e la velocità angolare è una proprietà del moto non dipendente dall'origine del sistema di riferimento.

da **francescoper** » 15 gen 2012, 23:30

il centro di massa ruota attorno a

con una velocità angolare che è diversa rispetto a quella con cui ruota rispetto al punto di contatto. Perché sbaglio?

allora non ruota attorno al centro di massa? Io credo che non ruoti, ma abbia una tendenza a ruotare, espressa proprio dal momento angolare (trovato sul libro questo concetto!!!)

Secondo me il momento angolare del centro di massa rispetto a

vale $Md^2 \omega_{1}$ dove

è la distanza di

dal CM. Confermi?? Ammetti che questo $\omega_{1}$ è diverso da quello presente nel termine $I \omega$ ??

Io credo di dire cose corrette ma di esprimerle male, come nel caso di prima in cui mi hai corretto, ma alla fine avevo capito come mi hai poi spiegato. Boh non so.

da **DirtyDeeds** » 15 gen 2012, 23:41

Non capisco più nulla di quel che stai scrivendo, anche perché continui a modificare le domande mentre rispondo. Oltretutto stai sparando domande a raffica senza ragionare a sufficienza su quello che ti viene detto. L'esempio che ti ho fatto in [20] era per farti capire che ci può essere momento angolare anche quando non c'è nessuna rotazione.

Comunque, non risponderò più a nessuna domanda finché non vedo la dimostrazione che ti ho chiesto in [18] :!:

da **francescoper** » 15 gen 2012, 23:51

Ok. eviterò di modificare i messaggi. purtroppo l'orario non è dei più adatti per scrivere l'intera dimostrazione e in ogni caso prima di dimostrare un concetto vorrei anzitutto capirlo in pieno. Altrimenti potrei commettere errori madornali.
E' per questo che ti chiedo: il momento angolare del centro di massa rispetto a

vale $d M v_{CM}$ . dove

è la distanza di

dal CM. Giacchè come mi hai scritto non c'è alcuna rotazione di

attorno al centro di massa, ha senso scrivere $d M v_{CM} = m d^2 \omega$ ?.
A questo punto io credo di NO. Cioè non essendoci rotazione intorno al centro di massa non posso introdurre la velocità angolare.

se potrai rispondermi te ne sarò grato.

da **DirtyDeeds** » 15 gen 2012, 23:56

francescoper ha scritto:non è dei più adatti per scrivere l'intera dimostrazione

Non ti ho chiesto di scriverla adesso: quando la scriverai, avrai le altre risposte ;-)

da **francescoper** » 18 gen 2012, 13:02

Abbiamo detto che $\boldsymbol{L} = \sum_i m_i \boldsymbol{r}_i\times\dot{\boldsymbol{r}}_i$ (1)

dove $\boldsymbol{r}_i = \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}} + \boldsymbol{r}_S$

Sostituisco l'espressione di $\boldsymbol{r}_i$ nella (1) e ottengo:

$\boldsymbol{L} = \sum_i m_i \left(\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}} + \boldsymbol{r}_S\right)\times\left(\dot{\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}} + \dot{\boldsymbol{r}_S}\right)$

ossia:

$\boldsymbol{L} = \sum_i m_i \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}} \times \dot{\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}} + \sum_i m_i \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}} \times \dot{\boldsymbol{r}_S} + \sum_i m_i \boldsymbol{r}_S \times \dot{\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}} + \sum_i m_i \boldsymbol{r}_S \times \dot{\boldsymbol{r}_S}$

I due termini intermedi immagino siano nulli, poiché credo:
$\sum_i m_i \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}} \times \dot{\boldsymbol{r}_S} = \left(\sum_i m_i \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}\right) \times \dot{\boldsymbol{r}_S} = 0$

$\sum_i m_i \boldsymbol{r}_S \times \dot{\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}} = \sum_i \boldsymbol{r}_S \times \dot{ m_i \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}} = \boldsymbol{r}_S \times \left(\sum_i\dot{ m_i \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}}\right) = 0$

Infatti le due sommatorie sono nulle dal momento che la posizione e velocità del centro di massa rispetto a se stesso sono nulle e quindi valendo sempre la relazione $\boldsymbol{r}_S = \frac{1}{M} \sum_i m_i \boldsymbol{r}_i$ e quindi $\boldsymbol{r}^{CM}_S = 0 = \frac{1}{M} \sum_i m_i \boldsymbol{r}_{i,rel} ==>> \sum_i m_i \boldsymbol{r}_{i,rel} = 0$

dove $\boldsymbol{r}^{CM}_S$ è la posizione del centro di massa rispetto a se stesso, che è ovviamente nulla.
Stesso dicasi per il secondo termine (facendo però riferimento alle velocità).

Alla fine quindi abbiamo $\boldsymbol{L} = \sum_i m_i \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}} \times \dot{\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}} + \sum_i m_i \boldsymbol{r}_S \times \dot{\boldsymbol{r}_S} = L_{rel} + L_{S}$ .

Può andare bene Dirty?

L'unica cosa che ti vorrei chiedere a questo punto è perché $L_{rel} = I \omega$ ?. Infatti partendo dalla definizione di $L_{rel}=\sum_i m_i \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}} \times \dot{\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}}$ . Non riesco a dimostrare che esso vale sempre $I \omega$ . (sempre facendo riferimento al problema scalare come mi hai scritto su). Potresti darmi una dritta? Ti ringrazio!

da **DirtyDeeds** » 18 gen 2012, 20:52

francescoper ha scritto:Può andare bene Dirty?

francescoper ha scritto:L'unica cosa che ti vorrei chiedere a questo punto è perché $L_{rel} = I \omega$ ?

Il sistema di punti che ti ho fatto considerare è un sistema di punti generico e il teorema che hai dimostrato è un risultato generale, che non vale solo nel caso del corpo rigido. Per poter dimostrare che anche per questo sistema di punti $L_\text{rel} = I\omega$ devi anche supporre che i punti formino un sistema (corpo) rigido.

Da che cosa è caratterizzato un corpo rigido? Dal fatto che durante il moto le distanze tra i suoi punti rimangono invariate. In questo caso, ciò significa che per ogni $i\neq j$

$(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j)^2 = \text{cost}\qquad (1)$

Considera ora un punto del sistema di masse (uno qualunque, non necessariamente il centro di massa), per esempio il

-esimo punto di posizione $\boldsymbol{r}_k$ rispetto al sistema inerziale solidale con il laboratorio. Com'è il moto del sistema di masse visto da questo particolare punto? Poiché dalla (1) $(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_k)^2 = \text{cost}$ , il moto visto dal punto

non è nient'altro che una rotazione: una rotazione, infatti, è un'isometria (cioè una trasformazione che lascia invariate le distanze) con un punto fisso (in questo caso, il punto di coordinate $\boldsymbol{r}_k$ ).
Teorema conseguente: il moto di un corpo rigido può essere sempre considerato come la composizione di una traslazione con una rotazione.

A partire da questo, non è difficile dimostrare (per una dimostrazione vedi il libri di meccanica consigliati qui) che la velocità di un qualunque punto del sistema, rispetto al riferimento inerziale, può essere scritta come

$\dot{\boldsymbol{r}}_i = \dot{\boldsymbol{r}}_k+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_k)\qquad (2)$

La cosa interessante e utile è che $\omega$ è indipendente dal punto particolare punto

scelto (purché sia un punto del sistema rigido, indeed. Anche la dimostrazione di questo fatto si può trovare nei libri che ti ho indicato prima). En passant, è questo il motivo per cui in [22] ti avevo detto che la tua considerazione era completamente sbagliata.

Adesso, invece di considerare un generico punto

, considera come punto di riferimento il centro di massa (che nel nostro sistema discreto non coincide necessariamente con uno dei punti materiali, ma che nondimeno può essere considerato come un punto del sistema) di posizione $\boldsymbol{r}_S$ . Si ha

$\boldsymbol{L}_\text{rel}=\sum_i m_i \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}} \times \dot{\boldsymbol{r}}_{i,\text{rel}}$

Dalla (2)

$\dot{\boldsymbol{r}}_{i,\text{rel}} = \dot{\boldsymbol{r}}_i-\dot{\boldsymbol{r}}_S = \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_S) = \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}$

da cui

$\boldsymbol{L}_\text{rel}=\sum_i m_i \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}} \times \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}_{i,\text{rel}} = \sum_i m_i\left[\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}^2\,\boldsymbol{\omega}- (\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}\cdot\boldsymbol{\omega})\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}\right]$

dove nell'ultimo passaggio ho usato una nota identità vettoriale (la (2) che puoi trovare qui).

Con un po' di pazienza, non è difficile vedere che l'ultima espressione è proprio il prodotto $\boldsymbol{\mathsf{I}}\omega$ .

da **francescoper** » 18 gen 2012, 21:45

Ti ringrazio DirtyDeeds come al solito riesci ad essere chiarissimo nelle tue risposte!!!
Non vorrei sembrarti pesante e noioso (anche se mi rendo conto di esserlo fin troppo) ma avrei un ultima cosa da chiederti!Una curiosità personale.
In generale non è vero che
$r_{S} \perp \dot{r_{S}}$
oppure $r_{i,rel} \perp \dot{r_{i,rel}}$
oppure $r_{i} \perp \dot{r_{i}}$

secondo me non è detto che siano ortogonali, dico bene?

da **DirtyDeeds** » 18 gen 2012, 21:58

In generale $\boldsymbol{r}_S$ non è ortogonale a $\dot{\boldsymbol{r}}_S$ : pensa a un centro di massa che si muova di moto rettilineo uniforme. Idem per $\boldsymbol{r}_i$ e $\dot{\boldsymbol{r}}_i$ .

$\boldsymbol{r}_{i,\text{rel}}$ e $\dot{\boldsymbol{r}}_{i,\text{rel}}$ sono, invece, sempre ortogonali: la risposta è nascosta in [22], a te trovarla ;-)

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