Funzione di trasferimento in idrologia

Messaggioda **steelman** » 26 mar 2012, 16:41

Saluto tutti i lettori del post.
Vorrei chiedere a voi esperti militanti nel settore elettronico/telecomunicazioni, un chiarimento relativo ad un quesito che mi reca non pochi tormenti.
In realtà il problema riguarda l'idrologia tecnica, ma si risolve utilizzando la teoria dei sistemi.
Si conderi il seguente sistema dinamico ad un solo ingresso ed una sola uscita:

http://imageshack.us/photo/my-images/85 ... netvi.jpg/

In ingresso è presente un segnale trapezoidale, in uscita un segnale triangolare. Come faccio a determinare la funzione di trasferimento di tale sistema? Ho provato con la trasformata di Laplace, ma l'antitrasformata della funzione che ottengo nel dominio dei numeri complessi non fornisce esito positivo

poiché non ho molta esperienza teorica in riguardo a tale problematica (essendo del settore civile), chiedo aiuto a voi cultori della materia.

N.B. tc<tp<tu e Q<P

Messaggioda **g.schgor** » 26 mar 2012, 18:31

La funzione più semplice che approssima il comportamento indicato
è un circuito RC, Ma occorrerebbero dei valori per poter fare delle simulazioni.

Messaggioda **dimaios** » 27 mar 2012, 9:13

C'è qualcosa che non torna.

[1] Sei sicuro che i segnali di ingresso ed uscita siano quelli indicati ?
[2] qual è il sistema fisico dal quale hai dedotto la relazione ?
[3] Devi approssimare l'andamento oppure devi seguire esattamente i profili ?
[4] Confermi lo schema sotto riportato ?

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

N.B. Gli schemi devono essere fatti con FidoCadJ. Non è gradito il link di immagini a server esterni. Leggi l'help per sapere come scaricarlo, editare e visualizzare i disegni nel forum.

Messaggioda **steelman** » 27 mar 2012, 12:09

Caro dimaios ti ringrazio per il tempo che stai fornendo al mio problema, cercherò di rispodere alle tue domande:

1)Il segnale di ingresso proviene da un altro sistema (bacino idrografico) al quale ho applicato il "modello della corrivazione", il quale implica una funzione di trasferimento rettangolare di ampiezza 1/tc e durata tc. L'ingresso del primo sistema è un segnale rettangolare di ampiezza P e durata tp (pioggia costante per una durata tp). Effettuando la convoluzione del primo sistema ottengo un segnale in uscita trapezoidale (quello in ingresso al secondo sistema). Praticamente il modello che devo analizzare presenta due blocchi in cascata: il primo è quello che ho appena descritto, il secondo quello che ho riportato all'interno del primo post.

2)Il sistema fisico è una vasca di laminazione, un serbatoio. Esiste già il modello del serbatoio lineare in letteratura, ma il mio obiettivo è quello di determinare un nuovo modello, che presenta tali caratteristiche.
Cerco di spiegare il problema. Nella pratica tecnica si utilizza il segnale in uscita (triangolare), che ho riportato in precedenza, per predimensionare le vasche di laminazione (quindi per analizzare un bacino idrografico e salvaguardare le zone vallive da pericoli di alluvionamento). Il problema è che l'ingresso della vasca è costituito dal segnale trapezoidale, quindi lo scopo della mia ricerca è quello di trovare un modello (funzione di trasferimento) che consente di effettuare tale convoluzione.

3)Drovrei seguire esattamente i profili, però se esiste un modello che consente di apporssimare in modo molto fedele il segnale in uscita, potrebbe andare bene.

4)Lo schema da te riportato è perfetto. L'unica cosa che si deve modificare è la tu, poiché si trova prima del tempo in cui si annulla l'ingresso. In ogni caso a me interessa soprattutto la parte del diagramma con t<tu.

Caro g.schgor purtroppo non è un circuito elettronico, però si analizza in modo analogo.

Messaggioda **dimaios** » 27 mar 2012, 13:51

Da quello che ho capito tenti di correlare lo ietogramma con l'idrogramma.
Siccome non mi quadrava molto il modello ho fatto una ricerca ed ho scoperto che le tue domande hanno una risposta ( magari solo parziale ) in questo http://www.hydro.unibo.it/teaching/IRI/slides/07_ModelliIdrologici.pdf documento
Ci sono un paio di errori nelle figure perché sembra che la funzione di trasferimento sia anticausale ( non è ovviamente così poiché fisicamente non plausibile).
Inoltre non mi piace molto come viene considerata la dinamica del ritardo.
Comunque è un modello per cui avranno fatto le debite considerazioni su cosa trascurare e cosa no.

Messaggioda **steelman** » 27 mar 2012, 15:53

Caro dimaios hai inquadrato perfettamente il mio problema. I modelli che sono presenti nel documento che hai riportato sono di mia conoscenza. Ma il mio obiettivo è quello di determinare una nuova funzione di trasferimento che caratterizza il sistema da me riportato, tale per cui in ingresso è presente un segnale trapezoidale ed in uscita uno triangolare. Se non esiste una tale funzione, vuol dire che il modello utilizzato fino ad ora per predimensionare le vasche di laminazione non è matematicamente corretto.

Messaggioda **dimaios** » 27 mar 2012, 19:25

Guardando la documentazione ho il forte dubbio che trattasi di un modello non lineare per cui non esprimibile in modo così semplice ma per esprimere un giudizio tecnico corretto dovrei studiare più a fondo la materia e vedere nel dettaglio da dove hai ricavato le equazioni.

Posso fare un tentativo ma mi servono un paio di informazioni :

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

[1] La funzione di trasferimento deve essere parametrizzata rispetto a cosa ? ( immagino P, Q,tc,tp,tu )
[2] Le rampe r1 ed r2 sono uguali ?
[3] Le rampe r3 ed r4 sono uguali ?
[4] L'istante temporale tu cade sempre in un punto qualsiasi durante la rampa di discesa r2 o ci sono altri casi ?

Se mi fornisci queste informazioni magari quando ho un attimo tento la sintesi della fdt.

Messaggioda **steelman** » 28 mar 2012, 10:42

Caro dimaios, è vero, il fenomeno risulta fortemente non lineare. Ma tali modelli non lineari si usano in fase di progettazione e di verifica. Il modello che ho riportato serve per una prima fase di predimensionamento, per individuare la posizione delle vasche che ottimizzi il loro effetto di laminazione (riduzione) delle piene. Una volta individuata la posizione, ed un volume di massima da attribuire alle vasche, si utilizzano modelli più raffinati per effettuare le dovute verifiche.
So che risulta un'analisi un po' strana, ma il mio relatore mi ha rischiesto di verificare tale modello, in modo da vedere se l'utilizzo di quest'ultimo risulta corretto da un punto di vista matematico.
Cerco di fornirti tutte le informazioni che mi hai richiesto:

1)Si, la funzione di trasferimento deve essere parametrizzata rispetto a P Q tp tu tc, anche se tu è legata agli altri parametri dalla seguente relazione:
tu = tp + tc * ( 1-(Q/P))

2) le rampe r1 ed r2 sono uguali, il trapezio ha la base maggiore pari a tp+tc, quindi i due triangoli laterali hanno base pari a tc;

3)Le rampe r3 ed r4 non sono uguali, poiché l'istante in cui si annulla la funzione o(t) risulta:

tf = 2 tp * (P/Q)

4)Si, l'istante tu ricande sempre all'interno della rampa r2; solo se Q = P, si ottiene tu=tp, però questa condizione non si deve considerare, poiché vuol dire che la vasca non comporta nessun effetto di laminazione, infatti la portata dovuta alla pioggia non si riduce, quindi non si salvaguardano i territori circostanti all'alveo fluviale.

Non so come ringraziarti per il tempo che stai dedicando a questa assurda problematica, sei un MITO! =D>

Messaggioda **dimaios** » 28 mar 2012, 19:31

Ok

steelman

.
Ho trovato la funzione di trasferimento e fatto la simulazione. Funziona però prima di pubblicare il risultato vorrei sapere con che grado di precisione devono essere approssimate le funzioni di ingresso ed uscita ( una approssimazione realistica ).
Chiaramente ho risolto con Matlab nel dominio continuo.
La funzione di trasferimento non è chiaramente a fase minima per via dei ritardi ma è comunque stabile con discreto margine.

Messaggioda **dimaios** » 29 mar 2012, 0:13

Pubblico la risposta in quanto l'approssimazione mi sembra plausibile.
Siccome in Matlab tf indica la funzione di trasferimento ho utilizzato il simbolo $t_{e}$ per l'istante temporale finale.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ipotesi iniziali :

$Q ,P,t_{c} ,t_{p}$ sono note

Derivo altri due istanti temporali dai dati base come hai indicato nel precedente post:

$t_{u} = t_{p} + t_{c} ( 1 - \frac{Q}{P} )$
$t_{e} = 2 t_{p} \frac{P}{Q}$

Inoltre le pendenze dei fronti delle due funzioni vengono così definiti per comodità :

$r_{1} = \frac{P}{t_{c}}$
$r_{2} = -r_{1}$

$r_{3} = \frac{Q} { t_{u}}$
$r_{4} = - \frac{Q} { ( t_{e} - t_{u} )}$

Indico con $1(t-t_{0})$ la funzione gradino unitario che vale 1 dall'istante temporale $t = t_{0}$ .

La funzione in ingresso ( trapezio ) è esprimibile nel dominio del tempo come segue :

$i(t) = r_{1} \cdot 1(t) \cdot t - 1(t-t_{c})\cdot r_{1}\cdot( t - t_{c}) - 1(t - t_{p})\cdot r_{1} \cdot (t - t_{p}) + ...$
$... +1(t - (t_{p}+t_{c})) \cdot r_{1} \cdot ( t -(t_{p}+t_{c}))$

Analogamente si può esprimere la funzione d'uscita nel dominio del tempo :

$o(t) = r_{3} \cdot 1(t) \cdot t - 1(t-t_{u}) \cdot r_{3} \cdot ( t - t_{u}) + ...$
$...+1(t - t_{u}) \cdot r_{4} \cdot (t - t_{u}) - 1(t - t_{e}) \cdot r_{4} \cdot ( t -t_{e})$

Determino la trasformata di Laplace delle funzioni precedentemente definite :

$I(s) = \frac{r_{1}}{s^2} - e^{-st_{c}}\frac{r_{1}}{s^2}} - e^{-st_{p}}\frac{r_{1}}{s^2} } + e^{-s ( t_{p} + t_{c})}\frac{r_{1}}{s^2}$
$O(s) = \frac{r_{3}}{s^2} - e^{-st_{u}}\frac{r_{3}}{s^2}} + e^{-st_{u}}\frac{r_{4}}{s^2} } - e^{-s t_{e}}\frac{r_{4}}{s^2}$

A questo punto il problema consiste nell'approssimare la funzione ritardo

$H(s) = e^{-sT}$

Dove T è appunto il ritardo.
Per questa approssimazione si possono utilizzare molte tecniche.
Ho impiegato una approssimazione strettamente propria di Padè.

Non è consigliabile utilizzare a funzione pade.m di Matlab in quanto non essendo stettamente propria da origine ad oscillazioni nell'istante t=0

.

Ho impiegato una versione modificata che presenta una funzione di trasferimento strettamente propria ed ha migliori proprietà di rappresentazione temporale del ritardo.

Definisco :

$H(s) = \frac{P_{m}(s)}{Q_{n}(s)}$

Dove numeratore e denminatore sono polinomi rispettivamente di grado m ed n ( è opportuno sceglire m = n - 1 ).
La definizione dei medesimi è la seguente :

$P_{m}(s) = \sum_{k=0}^{m} \frac{ (m+n-k)! m! }{ (m+n)! k! (m-k)! } ( -sT )^{k}$
$Q_{n}(s) = \sum_{k=0}^{n} \frac{ (m+n-k)! n! }{ (m+n)! k! (n-k)! } ( sT )^{k}$

NOTE IMPORTANTI :

[1] L'approssimazione fatta è soggetta ad instabilità per ordini elevati
[2] L'approssimazione non è la migliore in assoluto ma esistono formulazioni più efficienti in termini di ordine e prestazione si consideri
quindi la presente soluzione come un primo tentativo per analizzare il problema.

( nella simulazione si vede che m=8 ed n=9 sono valori abbastanza limite, se si tenta di aumentare l'ordine dell'approssimante si incorre in instabilità ).

A questo punto ho scritto il codice Matlab che consta di uno script per l'approssimazione di Padè modificata ( pade2.m ) e di uno script principale ( fdtapprox.m )
che ne fa uso nella soluzione algoritmica del problema.

I grafici indicano rispettivamente :

ALTO A SINISTRA : Comparazione della funzione ideale di ingresso i(t)

e del relativo approssimante
BASSO A SINISTRA : Comparazione della funzione ideale di uscita o(t)

e del relativo approssimante
ALTO A DESTRA : Segnale i(t)

in ingresso alla funzione di trasferimento G(s)

che approssima la funzione non lineare
BASSO A DESTRA : Segnale y(t)

in uscita alla funzione di trasferimento G(s)

e confronto con il segnale ideale o(t)

: result1.jpg (33.68 KiB) Visto 6147 volte

Come si può vedere le curve sono approssimate abbastanza bene.

Guardando il diagramma poli-zeri di G(s)

ci si accorge che alcuni poli sono pericolosamente vicini all'asse immaginario.
Questo indica che l'approssimazione dei ritardi è molto spinta e quindi bisognerebbe ricorrere ad altre tecniche di sintesi lineare dei ritardi.

: pzmap1.jpg (22.63 KiB) Visto 6147 volte

A questo punto procederei come segue :

[1] Verificherei se l'approssimazione è sufficiente per gli scopi
[2] Tenterei un approccio nel dominio della z-Trasformata in quanto nel dominio discreto i ritardi sono ben simulabili con opportuni shift-register esprimendo il sistema in forma stato.
[3] Verificherei se la risoluzione delle equazioni differenziali non lineari con metodi numerici permette di ottenere risultati migliori rispetto alla approssimazione polinomiale della trasformata di Laplace appena effettuata.

I files Matlab per le simulazioni sono nello zip allegato.

Buon lavoro.

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Funzione di trasferimento in idrologia

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