ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **ireon** » 26 giu 2012, 14:57

Prima ho sbagliato a scrivere l'esercizio.. Supponiamo di avere il seguente sistema nello spazio di stato:

$x^{.}= \begin{bmatrix} 1 & -1\\ -3 & -1 \end{bmatrix}x +\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}u$

$y = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}x$

E l'esercizio mi chiede:

È il sistema rilevabile? Determinare una retroazione dinamica dall'uscita tale che gli autovalori a ciclo chiuso siano coincidenti con

Prima di tutto mi calcolo la matrice di osservabilità, quindi:

$O = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -2& -2 \end{bmatrix}$

Mi calcolo il $\ker O$ :

$\ker O = Ox = 0$

$\ker O = \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}$

Completo la base e ottengo:

$U = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -1 &1 \end{bmatrix}$

Applico la trasformazione di coordinate:

$U^{-1} = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 1& 1 \end{bmatrix}$

Quindi nella nuova base:

$A^{-} = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & -2 \end{bmatrix}$

$c^{-} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}$

Adesso se ho capito bene il sistema dovrebbe essere rilevabile poiché l'autovalore A 22

è a parte reale strettamente negativa, giusto?? Quindi come mi calcolo il

? Nel caso della raggiungibilità mi calcolavo kcT

applicando le formule:

(A11 + bkcT^-) < 0

e

$kcT = \begin{bmatrix} kcT^- & 0 \end{bmatrix} U^{-1}$

Come ho fatto nell'esempio precedente, ma in questo caso come mi calcolo

?

Alla fine per calcolarmi la funzione del controllore in retroazione dinamica dall'uscita devo applicare la formula:

$C(s) = kcT[sI - (A+bkcT + koc)]^{-1}ko$

Però non so come calcolarmi

Domani ho l'esame e dovrei assolutamente risolvere questa lacuna

da **dimaios** » 26 giu 2012, 15:36

Non devi utilizzare formule preconfezionate.

Se il sistema e' rilevabile puoi allocare gli autovalori del sottosistema osservabile perche' l'osservatore dello stato sia piu' veloce rispetto alla dinamica del sistema.
Successivamente retroazioni lo stato stimato con il vettore di guadagni che ti permettono, agendo sulla parte raggiungibile del sistema di posizionare gli autovalori dove vuoi.
Per il principio di separazione gli autovalori dell'osservatore e quelli del controllore possono essere allocati in modo indipendente.

Inizia con la sintesi dello stimatore dello stato.

da **ireon** » 26 giu 2012, 16:21

Ma il procedimento che è scritto per vedere la rilevabilità del sistema è corretto?

da **ireon** » 26 giu 2012, 16:52

*che ho scritto

da **dimaios** » 26 giu 2012, 18:49

Per completare la base una volta trovato il $ker \left( \mathit{O} \right)$ si deve trovare l'immagine dell'ortogonale a tale sottospazio che si calcola trovando $Im \left(\mathit{O}^{T}\right)$ .

La matrice di osservabilita' trasposta risulta :

$O^{T} = \begin{bmatrix} 1 & -2\\ 1& -2 \end{bmatrix}$

Per cui l' immagine :
$Im \left(O^{T} \right)= \begin{bmatrix} 1 & -2\\ 1& -2 \end{bmatrix}=span( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} )$

Dal calcolo precedente risultava :

$ker \left( \mathit{O} \right) = span( \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} )$

Per cui normalizzando si ottiene :

$U = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} &\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

Per ricavare le matrici nella nuova base si ha :

$\bar{A} = T \cdot A \cdot T^{-1}$
$\bar{B} = T \cdot B$
$\bar{C} = C \cdot T^{-1}$

Da cui si evince subito il sottospazio osservabile.

da **ireon** » 26 giu 2012, 19:39

Ok quindi una volta trovate le matrici come faccio a vedere se il sottospazio è rilevabile?

da **dimaios** » 26 giu 2012, 19:52

Basta osservare se gli autovalori del sistema non osservabile sono stabili ovvero $\Math{Re} [\lambda_{i}] < 0$ .

La verifica e' immediata visto che la matrice $\bar{A}$ e' espressa in forma canonica.

da **ireon** » 26 giu 2012, 19:54

Ok quindi quelli relativi alla matrice A11

giusto?? E una volta che ho appurato che il sistema è rilevabile come mi calcolo il

?

da **dimaios** » 26 giu 2012, 19:55

Essendo il guadagno dell'osservatore dipende da dove vuoi piazzare gli autovalori della parte osservabile del sistema visto che quelli della parte non osservabile sono inamovibili per definizione.

da **ireon** » 26 giu 2012, 20:00

Mettiamo che voglio piazzare gli autovalori in

, posso fare in questo modo?

$Spettro (A22 + ko^{-}c ) < 0$

quindi mi trovo il $ko^{-}c$ che deve essere tale da settare gli autovalori nel semipiano complesso negativo. È corretto? Infine per calcolarmi il

nelle vecche coordinate dovrei attuare un cambio di coordinate giusto? E come faccio?

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Decomposizione di Kalman sistema non osservabile

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