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da **alessandro696** » 7 ott 2012, 23:47

Non riesci a spiegartela perche'... e` sbagliata. E non un pochino sbagliata, ma e` uno di quegli errori enormi, mastodontici, colossali, profondi, violenti, completi, totali, assoluti... cose da bocciatura immediata.
Per dirla in breve e` una cazzata megagalattica

credo che più chiaro di così tu non possa essere

IsidoroKZ. A questo punto penso sia più corretto se alle due equazioni posso sostituire
$I(t) = C \omega V_{S} \cos(\omega t) = C \omega V_{S}\sin\left (\omega t +\frac{\pi}{2} \right )$
per i condensatori mentre
$V_{S}\sin\left ( \omega t + \frac{\pi}{2}\right ) = L I(t) \omega$ per l'induttanza.

da **IsidoroKZ** » 7 ott 2012, 23:56

Devi usare i fasori oppure la trasformata di Fourier oppure ancora usare la rappresentazione complessa dei segnali sinusoidali.

da **PietroBaima** » 8 ott 2012, 17:01

Gasp! Cerchiamo di mettere un po' di ordine.

Il dominio fasoriale o più in generale le trasformate integrali (di cui un esempio notevole sono le trasformate di Fourier) permettono di trasformare un circuito passando dal dominio del tempo al dominio delle frequenze.

Questo tipo di trasformate sono "affini", cioè si può passare da una all'altra con alcune trasformazioni algebriche.
Questo al prezzo di dover usare i numeri complessi in luogo di quelli reali.
I vantaggi però sono indiscutibili: posso trasformare una equazione differenziale ordinaria in una equazione algebrica. Non è poco.

Il sistema è fatto così:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Dove la v di ingresso dipende dal tempo ed è indicata con la lettera minuscola, mentre la V di uscita è indicata con la lettera maiuscola e dipende dalla pulsazione.

Confonderle significa confondere gli ingressi e le uscite di un sistema lineare.
E' quindi un errore piuttosto grossolano.
Una regola pratica, per controllare se ci sono errori, è che, una volta effettuata la trasformata, la variabile t deve sparire, essendo la variabile di integrazione.

Consideriamo, per esempio, la trasformata di Fourier:
$\mathcal{F}(v(t))= \int_{0}^{+\infty}v\left(t\right)e^{-j\omega t}dt=V(\omega)$

Come si vede qui il tempo è la variabile muta dell'integrale: deve sparire.

Se io ho un circuito lineare e lo faccio passare attraverso una trasformazione lineare (e quella integrali lo sono a causa della linearità dell'operatore integrale) l'uscita sarà una composizione di tutte le operazioni lineari effettuate dai vari componenti, che possiamo considerare separatamente (la buona vecchia sovrapposizione degli effetti per le equazioni differenziali).

E' quindi sufficiente, per studiare un circuito lineare, calcolare la trasformata di ogni componente presente nel circuito e quindi risolvere la rete trovando la tensione o la corrente interessata. Si potrà poi trovare la funzione nel dominio del tempo antitrasformando la funzione trovata.

Capisco che detto così non è chiaro, ma va bene per essere riletto quando avrai le cose un po' più chiare.

Proviamo allora a fare qualche esempio:

Trasformiamo un resistore.
La legge che lega la tensione e la corrente in un resistore è:
V=R I
Se il resistore è lineare R non dipende dal tempo.
Applichiamo la trasformata all'equazione:
$\mathcal{F}(v(t))=\mathcal{F}\left(Ri(t)\right)$
Viene fuori:
$V(\omega)= \int_{0}^{+\infty}Ri(t)e^{-j\omega t}dt$
ma R è lineare:
$V(\omega)= R\int_{0}^{+\infty}i(t)e^{-j\omega t}dt$
quindi sotto il segno di integrale c'è la trasformata della corrente:
$V(\omega)= RI(\omega)$

beh... il resistore, nel dominio della frequenza, non cambia molto...

Proviamo con un condensatore:
Applichiamo la trasformata all'equazione:
$i(t)=C \frac{{\displaystyle dv(t)}}{{\displaystyle dt}}$
ottenendo:
$\mathcal{F}(i(t))= C\int_{0}^{+\infty}\frac{{\displaystyle dv(t)}}{{\displaystyle dt}}e^{-j\omega t}dt$
Abbiamo l'integrale di una derivata... potremmo applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale... se non fosse per l'esponenziale...
usiamo uno sporco trucco da matematici.
E' vera l'identità:

$\frac{{\displaystyle d\left(v(t)e^{-j\omega t}\right)}}{{\displaystyle dt}}=\frac{{\displaystyle dv(t)}}{{\displaystyle dt}}e^{-j\omega t}-j\omega v(t)e^{-j\omega t}$

quindi potremmo scrivere:

$\frac{{\displaystyle dv(t)}}{{\displaystyle dt}}e^{-j\omega t}=\frac{{\displaystyle d\left(v(t)e^{-j\omega t}\right)}}{{\displaystyle dt}}+j\omega v(t)e^{-j\omega t}$

che si presta ad essere sostituito nella trasformata:

$\int_{0}^{+\infty}\frac{{\displaystyle dv(t)}}{{\displaystyle dt}}e^{-j\omega t}dt=\int_{0}^{+\infty}\frac{{\displaystyle d\left(v(t)e^{-j\omega t}\right)}}{{\displaystyle dt}}dt+j\omega\int_{0}^{+\infty}v(t)e^{-j\omega t}dt$

adesso possiamo applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale:

$\int_{0}^{+\infty}\frac{{\displaystyle dv(t)}}{{\displaystyle dt}}e^{-j\omega t}dt=\left.{\displaystyle v(t)e^{-j\omega t}}\right|_{0}^{+\infty}+j\omega\int_{0}^{+\infty}v(t)e^{-j\omega t}dt$

valutando gli estremi si ha:
$\int_{0}^{+\infty}\frac{{\displaystyle dv(t)}}{{\displaystyle dt}}e^{-j\omega t}dt=v(0)+j\omega\int_{0}^{+\infty}v(t)e^{-j\omega t}dt$

Le trasformate di Fourier considerano le condizioni iniziali nulle, cioè v(0)=0.
Si ha che:

$\int_{0}^{+\infty}\frac{{\displaystyle dv(t)}}{{\displaystyle dt}}e^{-j\omega t}dt=j\omega\int_{0}^{+\infty}v(t)e^{-j\omega t}dt$

o, scritto in altro modo:

$\mathcal{F}(\frac{{\displaystyle dv(t)}}{{\displaystyle dt}})=j\mathcal{\omega F}\left(v(t)\right)$

C è costante, quindi:

$\mathcal{F}(C\frac{{\displaystyle dv(t)}}{{\displaystyle dt}})=j\omega C\mathcal{F}\left(v(t)\right)$

da cui, finalmente:

$I(\omega)=j\omega CV(\omega)$

o se vogliamo scriverlo in un altro modo:

$V(\omega)=-j\frac{1}{\omega C}I(\omega)$

Si vede che, questa equazione ricorda l'equazione che descrive il legame tensione/corrente di una resistenza.
Una rete composta da resistenze e da condensatori si può studiare con tutte le leggi già viste per le rete composte da sole resistenze.

Prova a estendere il risultato per gli induttori.
Se non ci riesci o se hai dei dubbi (all'inizio ce ne sono sempre e tanti) sarò felice di aiutarti qualora ne sia in grado.

Ciao,
Pietro.
O_/

PS: Toolkit:
Formulario di trigonometria:
http://www.matematicamente.it/staticfiles/appunti/Trigonometria-formule.pdf
Formulario trasformate di Fourier:
http://cucciolo.dibe.unige.it/IPRS/ce-tlc/Appendice%20-%20Tabelle.pdf
Approfondimenti sui fasori:
http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Steinmetz

da **DirtyDeeds** » 8 ott 2012, 17:37

PietroBaima ha scritto:Consideriamo, per esempio, la trasformata di Fourier:
$\mathcal{F}(v(t))= \int_{0}^{+\infty}v\left(t\right)e^{-j\omega t}dt=V(\omega)$

Normalmente è più comune utilizzare la trasformata di Fourier bilatera, integrando tra $-\infty$ e $+\infty$ .

da **matteo375** » 8 ott 2012, 17:57

alessandro696, già ti hanno risposto molte persone, con le loro trattazioni più o meno lunghe, in cui chiaramente ti dicono che quella formula non torna perché è sbagliata. Me n'ero accorto anch'io ma, vuoi sapere perché non te l'ho detto? perché credevo fosse una diavoleria di qualche professore. Nella mia breve, ma altamente deludente esperienza universitaria, ho visto imprecisioni di tutti i colori e non mi sarei meravigliato se fosse stata insegnata una cosa del genere a lezione. Scusa lo sfogo ma non mi andava proprio di fare la figura dell'incompetente visto che ti ho risposto per primo

da **RenzoDF** » 8 ott 2012, 20:48

Al passaggio tra dominio temporale e quello fasoriale , ovvero su quello che Steinmetz indicava come "Symbolic method" e per primo introduceva insieme a Kennelly circa un secolo fa, si è successivamente cercato di dare una veste matematicamente più rigorosa, introducendo quella trasformazione che da lui prende il nome, ovvero la Trasformata di Steinmetz S che nella "versione a valore efficace", indicata con a(t) una generica funzione sinusoidale di periodo T, si definisce come

${\underset{\scriptscriptstyle\centerdot}{A}}=S[a(t)]=\frac{\sqrt{2}}{T}\int\limits_{-{T}/{2}\;}^{{T}/{2}\;}{a(t){{e}^{-j\omega t}}}\text{d}t=A{{e}^{j\alpha }}$

è si potrà facilmente dimostrare che l'operatore S è lineare, così come anche che

${\underset{\scriptscriptstyle\centerdot}{B}}=S\left[ \frac{\text{d}a(t)}{\text{d}t} \right]=\frac{\sqrt{2}}{T}\int\limits_{-{T}/{2}\;}^{{T}/{2}\;}{\frac{\text{d}a(t)}{\text{d}t}{{e}^{-j\omega t}}}\text{d}t=\frac{\sqrt{2}}{T}j\omega \int\limits_{-{T}/{2}\;}^{{T}/{2}\;}{a(t){{e}^{-j\omega t}}}\text{d}t=j\omega {\underset{\scriptscriptstyle\centerdot}{A}}=j\omega A{{e}^{j\alpha }}$

ma direi che, idraulicamente parlando, si possa cercare di spiegare il dubbio di

alessandro696 ricordando che si tratta sostanzialmente di una semplice corrispondenza, ovvero visto che

${{A}_{M}}\sin (\omega t+\alpha )=\text{Im}[{{A}_{M}}{{e}^{j(\omega t+\alpha )}}]$

possiamo associare ad una funzione del tempo, la parte immaginaria (o reale) di numero complesso "rotante" che, sottintendendo la dipendenza temporale, ovvero "fotografandolo" all'istante t=0, potrà essere associato ad un semplice numero complesso indipendente dal tempo (fasore) ...
per esempio considerando una corrente i(t)

$i(t)={{I}_{M}}\sin (\omega t+{{\alpha }_{I}})=\text{Im}[{{I}_{M}}{{e}^{j(\omega t+{{\alpha }_{I}})}}]\quad \to \quad {{I}_{M}}{{e}^{j{{\alpha }_{I}}}}$

circolante in un'induttore L, avremo che la tensione sul bipolo potrà essere scritta come

$v(t)=L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}x}=\omega L{{I}_{M}}\cos (\omega t+{{\alpha }_{I}})=\omega L{{I}_{M}}\sin (\omega t+{{\alpha }_{I}}+\frac{\pi }{2})$

$\begin{align} & =\text{Im}[\omega L{{I}_{M}}{{e}^{j(\omega t+{{\alpha }_{I}}+\frac{\pi }{2})}}]=\text{Im}[{{e}^{j\frac{\pi }{2}}}\omega L{{I}_{M}}{{e}^{j(\omega t+{{\alpha }_{I}})}}]=\text{Im}[j\omega L{{I}_{M}}{{e}^{j(\omega t+{{\alpha }_{I}})}}]\quad \\ & \to \quad \left( j\omega L \right){{I}_{M}}{{e}^{j{{\alpha }_{I}}}} \\ & \\ \end{align}$

per Steinmetz, a dire il vero, il discorso è ancora più semplice, ovvero è un naturale passaggio dalla rappresentazione geometrica polare a quella numerica più sintetica grazie all'uso dell'unità immaginaria ... e delle sue "propietà rotazionali"

http://archive.org/stream/theoryandcalc ... 6/mode/2up

BTW ... ho corretto le formule iniziali secondo l'uso di Steinmetz
${\underset{\scriptscriptstyle\centerdot}{A}}$ ... anche se il punto viene troppo distante :-)

da **alessandro696** » 9 ott 2012, 0:04

matteo375 ha scritto:alessandro696, già ti hanno risposto molte persone, con le loro trattazioni più o meno lunghe, in cui chiaramente ti dicono che quella formula non torna perché è sbagliata. Me n'ero accorto anch'io ma, vuoi sapere perché non te l'ho detto? perché credevo fosse una diavoleria di qualche professore. Nella mia breve, ma altamente deludente esperienza universitaria, ho visto imprecisioni di tutti i colori e non mi sarei meravigliato se fosse stata insegnata una cosa del genere a lezione. Scusa lo sfogo ma non mi andava proprio di fare la figura dell'incompetente visto che ti ho risposto per primo

In primo luogo, vorrei chiedere scusa per la risposta un po tardiva che mi vedo costretto a dare solo ora per motivi di studio/lavoro.

matteo375 capisco lo sfogo perché mi è già successo in passato di assistere a qualche misto fritto di polpette, baccalà e analisi matematica, ed è per questo che ho chiesto aiuto per una cosa che secondo me non aveva senso. A seguito delle vostre risposte numerose, ricostruendo un certo ragionamento a mente fresca, ho notato, questa sera, una certa somiglianza con la delucidazione di

PietroBaima.
In sostanza credo che il mio è stato quello di non avere ancora una buona con la variazione tra il dominio temporale e quello fasoriale, con un pizzico di leggerezza da parte del prof. Vorrei inoltre ringraziare anche

RenzoDF, (parlando da ignorante cronico) ho scoperto grazie a te l'operatore della trasformata di Steinmetz

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