ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **gianpie** » 14 dic 2012, 19:47

Salve, ricorro ancora una volta al vostro gentile aiuto riguardo un problema di Teoria dei segnali.
Si deve trovare la densità spettrale di potenza del processo così definito

$s(t,\xi )= \left\{\begin{matrix} 1 & Pr = 1/4 \\ e^{-(t-T)}u(t-T) & Pr = 3/4 \end{matrix}\right.$

Ho riscritto il processo come segue

$s(t,Z)= (1-z) + ze^{-(t-T)}u(t-T)$
dove z è una variabile aleatoria così definita

$Z = \left\{\begin{matrix} 0 & Pr = 1/4\\ 1 & Pr = 3/4 \end{matrix}\right.$

con densità di probabilità

$p_Z(z)=\frac{1}{4}\delta (z)+\frac{3}{4}\delta (z-1)$

Adesso calcolo la funzione di Autocorrelazione e se essa dovesse dipendere dalla sola differenza degli istanti di tempo allora la densità spettrale di potenza è la sua trasformata di Fourier.

$R_s(t_1,t_2)= \overline{\left [(1-z)+ze^{-(t_1-T)}u(t_1-T) \right ]\left [(1-z)+ze^{-(t_2-T)}u(t_2-T) \right ]} =$

$= \overline{(1-z)^2} + \overline{z(1-z)} \left [e^{-(t_1-T)}u(t_1-T)+e^{-(t_2-T)}u(t_2-T) \right ] +$
$\overline{z^2}e^{-(t_1-T)}e^{-(t_2-T)}u(t_1-T)u(t_2-T)$

Le medie
$\overline{(1-z)^2} = \frac{1}{4}$

$\overline{z(1-z)} = 0$

$\overline{z^2} = \frac{3}{4}$

quindi
$R_s(t_1,t_2)= \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-(t_1+t_2-2T)}u(t_1-T)u(t_2-T)$

il processo non è stazionario quindi non posso applicare la formula
$W_s(f)= \mathbf{F}\left \{R_s(t_2 -t_1) \right \}$

Trovo la densità spettrale di potenza con la seguente formula

$W_s(f)= \mathbf{F}\left \{\phi _s(\tau ) \right \}$

dove

$\phi _s(\tau ) = \lim_{T->\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}R_s(t,t+\tau )dt$

Effettuando i calcoli mi saltano fuori due termini

$W_s(f)= \mathbf{F}\left \{ \frac{1}{4} \right \}+\mathbf{F}\left \{ \lim_{T->\infty } \frac{3}{4T}e^{-\tau} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2(t-T_0)}u(t-T_0)u(t+\tau -T_0)dt\right \}$

che tipo di ragionamento posso fare sul secondo integrale ?

Grazie anticipatamente !

da **DirtyDeeds** » 14 dic 2012, 19:49

Perché hai duplicato la domanda? Cancello l'altra, la prossima volta evita duplicazioni.

da **gianpie** » 14 dic 2012, 19:59

Scusami ma non ho capito qual è la sezione giusta per questo tipo di problemi !

da **DirtyDeeds** » 14 dic 2012, 21:25

gianpie ha scritto:Trovo la densità spettrale di potenza con la seguente formula

$W_s(f)= \mathbf{F}\left \{\phi _s(\tau ) \right \}$

Da dove arriva questa formula? :-M

da **gianpie** » 14 dic 2012, 21:53

Dal famoso libro -_-

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da **DirtyDeeds** » 14 dic 2012, 22:54

Diciamo che il tuo libro la fa molto facile ;-)

Tornando al limite

$\lim_{T->\infty } \frac{3}{4T}e^{-\tau} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2(t-T_0)}u(t-T_0)u(t+\tau -T_0)dt$

si vede che l'integrale è finito per qualunque

e quindi il limite tende a 0.

da **jordan20** » 15 dic 2012, 13:39

gianpie ha scritto:Dal famoso libro -_-

Chissà perché ma lo conosco anche io quel "famoso" libro ed anche i maledetti autori che, guardacaso, coincidono con i docenti del corso,

gianpie

da **dimaios** » 15 dic 2012, 16:52

gianpie,

jordan20 sareste cosi' cortesi da rivelarmi il titolo e autori del libro ( magari in MP se lo ritenete più opportuno anche se non vedo controindicazioni nel rendere pubblico il titolo di un libro). Prima di leggere queste due pagine ed un esercizio precedentemente proposto attribuivo alla parola manifestazione un significato non direttamente legato ad una grandezza relativa alla teoria dei segnali. Sono molto curioso. Grazie. ;-)

da **jordan20** » 15 dic 2012, 16:56

Se non vado errato (perché il mio prof di Cominicazioni Elettriche, nonché ex assistente di uno dei due prof in questione :mrgreen:

, ne usa un altro) dovrebbe essere questo,

dimaios:
http://www.libreriauniversitaria.it/lezioni-teoria-segnali-mamola-giovanni/libro/9788877583765

da **dimaios** » 15 dic 2012, 17:14

Non ho trovato il preview del libro o l'indice ma gli appunti nel sito accademico del Prof. Giovanni Mamola non mi sembrano male. Siccome per Natale mi faccio sempre come regalo un bel pacco di libri potrei inserire anche questo volume visto il prezzo popolare.

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Spettro di potenza segnale non stazionario

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