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da **904** » 29 dic 2012, 18:42

Ciao a tutti ho problemi nel risolvere la seguente serie : $\sum_{n=2}^{\infty}}\left ( \frac{n^2+1}{n+1}\right )^{sin\frac{1}{n}}$ ho provato col criterio del rapporto ma non sono riuscito a risolvere .

da **PietroBaima** » 30 dic 2012, 2:23

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left ( \frac{n^2+1}{n+1}\right )^{sin\frac{1}{n}}=1$

Ma chi è che da questi problemi ?

da **904** » 30 dic 2012, 16:15

come hai risolto il limite?

da **FrancescoFP** » 30 dic 2012, 16:56

Non vorrei dire una cavolata ma:

$\begin{itemize} \item $\lim_{x\to \infty } \frac{1}{x} = 0$ \item $sin(0)=0$ \item $a^0=1$ \item $\lim_{x\to \infty} a^{\sin\frac{1}{x}}=1$ \item $\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{n^2+1}{n+1}\right )^{\sin \frac{1}{n}} = 1$ \end{itemize}$

da **904** » 30 dic 2012, 17:00

nella base va a + infinito è una forma indeterminata infinito elevato a 0

da **FrancescoFP** » 30 dic 2012, 17:03

La forma infinita la risolvi raccogliendo a fattore comune e poi semplificando. Questa risoluzione la trovi in qualsiasi libro delle superiori

da **904** » 30 dic 2012, 17:11

raccogliendo a fattor comune e semplificando ti rimane comunque n

$\frac{n^2(1+\frac{1}{n^2})}{n(1+\frac{1}{n}}$

da **dimaios** » 30 dic 2012, 17:46

904, se devi calcolare il seguente limite.
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left ( \frac{n^2+1}{n+1}\right )^{\sin\frac{1}{n}}=1$

Trasformalo in questo modo equivalente :
$\lim_{n\rightarrow+\infty} e^{\sin\frac{1}{n} \cdot ln\left( \frac{n^2+1}{n+1} \right)}$
$\lim_{n\rightarrow+\infty} e^{ \frac{ sin\frac{1}{n} }{\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{n} \cdot ln\left( \frac{n^2+1}{n+1} \right)}$

A questo punto sai che :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{ sin\frac{1}{n} }{\frac{1}{n}}=1$

Per risolvere invece :
$\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \cdot ln\left( \frac{n^2+1}{n+1} \right)} = 0$

Usi la regola di de l'Hôpital.
Il finale è quindi :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left ( \frac{n^2+1}{n+1}\right )^{\sin\frac{1}{n}}=e^{1 \cdot 0} = 1$

da **904** » 30 dic 2012, 17:52

grazie mille !

da **PietroBaima** » 30 dic 2012, 18:01

mah, non vorrei apparire esagerato, ma il limite:

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left ( \frac{n^2+1}{n+1}\right )^{\sin\frac{1}{n}}=1$

si risolve a mente.

Vediamo come:

se $n\rightarrow+\infty$ , allora $n^2+1\sim n^2$ e $n+1\sim n$ .

Il rapporto quindi tende ad n.

Per quanto riguarda l'esponente mi farei aiutare dal buon vecchio McLaurin.

$\left(\sin\frac{1}{n}\right)_{n\rightarrow+\infty}=\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$

In definitiva si ha che:

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left ( \frac{n^2+1}{n+1}\right )^{\sin\frac{1}{n}}\sim \lim_{n\rightarrow+\infty}n^{\frac{1}{n}}$

che è un limite noto e che tende ad 1.

Superfluo dire, quindi, che la serie non può convergere poiché condizione necessaria per la convergenza è che il limite della successione associata tenda a zero al crescere di n.

O_/

Pietro.

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serie problematica

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