Laplace.....in pratica

[g.schgor]

Si mostra l'applicazione di Mathcad per trovare la risposta ad un gradino
di un circuito elettronico.
Viene applicato il metodo di Laplace, introducendo cioe' al posto delle
notazione di derivazione od integrazione, la variabile complessa s.

Il circuito ed i dati relativi sono questi:

Come si vede, sono stati anche indicate le espressioni delle tensioni ai
capi di ciascun elemento del circuito, introducendo le correnti che circolano
rispettivamente nei condensatori C1 e C2.

Ora l'obiettivo e' ottenere l'espressione di Vu(s) = Vi(s)*f(s,R1,R2,C1,C2),
facilmente ottenibile con l'applicazione di Kirchkoff alle maglie.
Unica osservazione e' che V(s), essendo un gradino diciamo di 10V, ha come
espressione di Laplace il rapporto 10/s.

Si ottiene quindi (sfruttando le possibilita' di MathCad di esplicitare variabili
sostituirle simbolicamente in altre espressioni), il seguente risultato:

Per non trascinare lunghe espressioni simboliche, si e' poi proceduto a trasformarlo
in un'espressione numerica nella sola s.
A questo punto vi e' la parte piu' interessante, cioe' l'antitrasformazione da s al
tempo, che MathCad esegue automaticamente ottenendo la Vu(t).

Per una opportuna visualizzazione dell'andamento nel tempo del segnale in uscita,
si procede poi a definire la serie di variabili indicizzate che rappresentano i punti
del grafico


Credo significativo l'esempio mostrato (tutt'altro che scontato),dichiarandomi
disponibile alle eventuali richieste di chiarimenti.

[dona79]

efficace come al solito!

Giovanni che ne dici di portare qualche esempio di filtraggio digitale? se ne avessi il tempo ti darei volentieri una mano!

Si potrebbe iniziare con un esempietto su un sigma delta che ne dici?

[g.schgor]

(x dona79)
A me piacerebbe, ma ho l'impressione che interesserebbe a pochi (gran parte del corso
"Elaborazione Numerica dei Segnali" e' proprio dedicata a questi argomenti, con
numerosi esempi, ma finora nessuno mi ha posto domande)

Se comunque hai qualche applicazione concreta che ritieni interessante, potremmo provarci.

[dona79]

per esempio sarebbe carino dimostrare l'effetto di un sigma delta sia come convertitore A/D che come decimatore di bit e far vedere l'effetto dell'oversampling sulla risoluzione.

il sigma delta è un oggettino a dir poco rivoluzionario ed i giovani non sanno neppure cos'è....

si potrebbe ad esempio con microcap realizzare un SD del 1 ordine con un contatore modulo N (il carry rappresenta l'uscita), sovracampionare una parola digitale d'ingresso e filtrare passa basso l'uscita. è un modo semplice per dimostrare che è posibile fornire la stessa informazione con la medesima risoluziona ad 1 solo bit anzichè gli 8-10-12 bit d'ingresso.

[g.schgor]

Ritengo la cosa molto interessante: potresti mandarmi uno schizzo da tradurre in MicroCap?

[dona79]

certo,
secondo me la cosa è fattibile con un simulatore ma anche con simulink o forse, ragionandoci un po', anche con matlab mathcad etc.
Ad esempio io n ho realizzati alcuni, per lavoro, direttamente in VHDL.

Il principio è abbastanza semplice, un modulatore SD può essere usato sia come ADC che come DAC, ma anche come filtro decimatore (che poi non è altro che un DAC senza passa basso in uscita)

Faccio qualche esempio chiarificatore, anche perché il sigma delta è un oggettino abbastanza semplice che ha risolto parecchi problemi, sopratutto legati alla realizzabilità dei convertitori(immaginate di costruire un DAC a 12,14 bit, un dramma dal punto di vista layoutistico!). Quindi ritengo utile per un elettronico capire come fuziona e perché si usa tale oggettino.

-SD usato come ADC. di seguito è riportato uno schema di principio (SD del 1 ordine). Il blocco sommatore e l'integratore ovviamente li dovete vedere come un unica cosa, un semplice opamp integratore insomma.
Il segnale d'ingresso (nello schema manca il sovracampionamento) viene integrato(quindi continuamente sommato con sè stesso) e confrontato con un DAC ad 1bit che altro non è che un semplice comparatore con soglia a Vdd/2.
Il blocco DAC 1 bit è secondo me forviante e serve solo per intendere che il segnale digitale in uscita dal comparatore (inteso come 1 e 0) viene traformato in un segnale adattato alla dinamica del segnale d'ingresso(esempo 0-5V).

In uscita avremo quindi uno stream di bit il cui valore medio coincide col segnale analogico Vin.

Ora, qual è il vantaggio? il vantaggio è che, grazie al sovracampionamento, ovvero si prendono molti più punti rispetto al minimo sindacale imposto da Nyquist, la risoluzione ottenuta con 1 solo bit di uscita è la stessa di un ADC ad N bit!(ovviamente esiste un legame tra N ed il fattore OS di oversampling)

[dona79]

u sigma delta usato come DAC è invece moolto + semplice.

Facciamo un esempio base su un SD del 1 ordine prendendo un contatore modulo 2^N con carry ed ovviamente N bit in ingresso, quindi un contatore che, ad ogni colpo di clock, ingrementa la parola digitale in uscita della parola in ingresso, quindi non un contatore UP o DOWN, ma una macchina in grado di sommare tra loro parole digitali.
Bhè, allora è intuitivo capire che, se prendo come uscita il solo carry (e poi lo filtro passa basso), ho ottenuto un DAC sigma delta del 1 ordine...

esempio. contatore a 5 bit (modulo 32) e parola in ingresso COSTANTE pari a 4 (00100). E' evidente che ogni 8 colpi di clock avrò un overflow e quindi il bit di carry rimarra alto fino al colpo successivo. lo stream in uscita sarà quindi costituito da 7 seri ed un 1, quindi in media 1/8 che corrisponde a 4/32!

non a caso infatti questi oggetti li troviamo, ad esempio, nei lettori MP3 da 4 soldi, perché è possibile ricostruitre una parola digitale a moooolti bit (non conosco il protocollo MP3, ma credo >10 bit) con un SD ad 1 bit che lavora ad 1Gs/sec.
Ora, magari molti utenti non hanno esperienza di progettazione elettronica integrata, ma vi assicuro che la complessità pratica della realizzazione di una macchina DAC o ADC aumenta esponenzialmente col numero dei bit, ed è per questa ragione ch egli ultimi hanni i SD stanno spopolando.


La stessa tecnica può essere usata nei filtri digitali per decimare bit ed incrementar la risoluzione. immaginate di avre un filtro digitale dal quale escono 5 bit interi e 10 bit frazionari (la numerosità dei bit frazionari è dettata dalla precisione con cui si vogliono rappresentare i coefficienti). Ora, non è detto però che chi riceverà i bit del filtro poss accettarli tutti, magari ne può ricvere solo 6, quindi butiamo via 9 bit? No, basta dare in pasto i 10 bit ad un sigma delta ed ottenere in uscita un solo bit che, variando molto velocemente tra 0 ed 1, mediamente rappresenta la parola a 10 bit d'ingresso.

Spero di essere stato esaustivo

ciao

[g.schgor]

Si, mi sembra abbastanza chiaro, ma vorrei pregarti di aprire un nuovo Topic su
questo argomento (che con Laplace non c'entra niente), trasferendovi questi posts.

Da parte mia ho esaminato le possibilita' di simulazione: purtroppo devo escludere
MicroCap (perche' nella versione Demo non vi e' possibilita' di utilizzare elementi
sommatori), ma ritengo sia fattibile in MathCad.
Prima di entrare nel vivo, vorrei pero' controllare con te se la mia interpretazione
del metodo e' corretta:
In definitiva si tratta di ricavare la modulazione di un bitstream (serie di bits) in
modo che la distribuzione dei bits a 1 segua mediamente l'andamento del segnale
in ingresso. E' cosi?
Mi sembra poi che cio' che si perde in "codificazione" (1 solo bit) debba essere
compensato dalla frequenza del bitstream (per non far fare brutta figura al buon
Shannon!).

Tu hai fatto degli esempi applicativi nel campo delle telecomunicazioni, ma che
diresti di controllare in questo modo un inverter per ottenere un'onda pressoche'
sinusoidale?

[dona79]

esattamente, ciò che si perde passando da N ad 1 solo bit deve essere compensato dall'oversampling.
il mio esempio non era per nulla rivolto alle telecom ma ad un qualsivoglia filtro digitale che può essere visto come filtro di un qualsivoglia sistema di controllo (perché no anche di un inverter!)