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da **Pixy** » 8 mar 2013, 22:36

Salve ragazzi,ho già avuto in passato un aiuto e vorrei approfittare ancora una volta, sperando nella vostra cortesia
Quello che espongo forse sarà anche una cosa semplice , ma per me è difficile

Di questa funzione
$f(x)=\frac{1-cosx}{2}$
devo ricavare il rapporto incrementale quando l' angolo x è 60° o pi-greco-terzi per un generico incremento "h" seguendo il classico procedimento

$(\tfrac{1-cos(x+h)}2/h)-(\tfrac{1-cosx}{2}/h)$

La soluzione dovrebbe essere questa ( almeno secondo il libro di testo)

$\frac{-cosh+\sqrt{3}sinh+1}{4h}$

Però non riesco ad arrivarci, anche passando da regole di prostaferesi o altro.
C'è qualcuno che saprebbe spiegarmi i passaggi ?

Poi volevo chiedervi: la derivata della funzione è questa vero ?

$\frac{sinx}{4}$

Grazie anticipatamente a chi vorrà aiutarmi

da **Noise** » 8 mar 2013, 23:56

Non voglio scriverti il procedimento perché secondo me sarebbe più giusto che ti esercitassi. Ti dò un input.
Per il calcolo del rapporto incrementale, basta applicare pedissequamente le formule di addizione e sottrazione:
cos(x+h )=cosxcosh-sinxsinh.

La derivata è errata, il risultato è senx/2.
Il calcolo è banale se consideri che cos'x=-sinx. Tuttavia credo che l'esercizio sia calcolare la derivata a partire dal dal limite del rapporto incrementale. Ti dò allora un altro suggerimento: devi considerare che il limite per x->0 di senx/x è un limite notevole ed è uguale a 1.

Per il resto ti consiglio di esercitarti.

da **Pixy** » 9 mar 2013, 10:56

ciao noise intanto grazie per la risposta, ho già provato a partire da cos(x+h )=cosxcosh-sinxsinh. , ma non ci sono arrivato

e anche considerando limite per x->0 di senx/x ancora buio. Tu dici che ci si arriva da qui ?
Ora riproverò, ma mi ci ero già arenato...

Devo calcolare il rapporto incrementale nel punto indicato per un generico incremento "h"

Per quanto riguarda la derivata della funzione , hai ragione tu, mi ero scordate di moltiplicare la derivata di -cosx per il dividendo praticamente la derivata è questa

$D (\frac{1-cosx}{2})= \frac{2sinx}{2^{2}}= \frac{sinx}{2}$

Più tardi mi ci rimetto :) e ti faccio sapere ( purtroppo quando le funzioni sono sinusoidale, ci rimbalzo...)

da **DirtyDeeds** » 9 mar 2013, 11:47

Devi solo fare un passo per volta. Il rapporto incrementale è definito come

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Nel tuo caso si ha

$f(x)=\frac{1-\cos x}{2}$

da cui, per le formule di somma,

$f(x+h)=\frac{1-\cos(x+h)}{2} = \frac{1-(\cos x \cos h -\sin x \sin h)}{2}$

L'incremento allora vale

$\begin{align}f(x+h)-f(x) &= \frac{1-(\cos x \cos h -\sin x \sin h)}{2}-\frac{1-\cos x}{2} \\ &= \frac{-\cos x \cos h +\sin x \sin h+\cos x}{2}\end{align}$

da cui

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{-\cos x \cos h +\sin x \sin h+\cos x}{2h}$

Per $x = \pi/3$ , $\cos(\pi/3) = 1/2$ e $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ ; sostituendo si ottiene

$\begin{align}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \frac{-\dfrac{1}{2}\cos h +\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin h+\dfrac{1}{2}}{2h} \\ &= \frac{-\cos h +\sqrt{3}\sin h+1}{4h} \end{align}$

Noise, usa LaTeX per le formule, così che siano più leggibili.

da **Pixy** » 9 mar 2013, 15:13

Grazie Dirty
mi sembra che avesse avuto ragione noise che la cosa era più semplice del previsto, ma io mi sono perso forse nei passaggi, perché ero partito proprio dalle formule di addizione :shock:

A questo punto mi piacerebbe continuare la lezione per chiarire altri punti ( purtroppo non posso farmele spiegare dal prof perché io non vado a scuola :cry:

)

siccome la derivata di

$\frac{1-cosx}{2}$
è

$\frac{sinx}{2}$

quando l' angolo vale pi-greco-terzi la derivata è:

$\frac{^{\sqrt{3}}}{4}$

a questo punto partendo dalla soluzione di questo rapporto incrementale visto

$\frac{-cosh+\sqrt{3}sinh+1}{4h}$

mi è difficile arrivare al risultato di radice quadrata di 3 fratto 4 ponendo il limite per "h" che tende a zero a causa del termine 4h al denominatore che non riesco a sostituirlo in una maniera migliore.
Si potrebbe scrivere il risultato anche in questa maniera:

$\frac{-cosh}{4h}+\frac{\sqrt{3}sinh}{4h}+\frac{1}{4h}$

in effetti il secondo termine a causa del limite notevole sinh/h per h che tende a zero questo tende a 1,( come ha detto anche noise ) perciò questo secondo termine vale proprio radice quadrata di 3 fratto 4
ma il primo termine vale zero ? ( sono andato per tentativi, visto che il sinh/h per h che tende a zero tende a 1 forse il cosh per h che tende a zero questo tende a zero ).
Però rimane l' incognita del terzo termine
Non saresti così gentile ad aiutarmi a trasformare la cosa in modo da risolvere il 4h al denominatore ?

P.S. sembra quasi che il 3 termine meno il primo sia sempre uguale a zero...nel senso che il cosh/4h abbia il valore di 1/4h, però è impossibile

grazie

da **PietroBaima** » 9 mar 2013, 17:25

Se vuoi capire cosa succede a

$\frac{1-\cos(h)}{4h}$

puoi scrivere

$\frac{1-\cos(h)}{4h}=\frac{\sin^2(\frac{h}{2})}{2h}$

usando l'identità trigonometrica

$\sin^2(\alpha)=\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$ .

A questo punto puoi scrivere:

$\frac{1-\cos(h)}{4h}=\frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\frac{\sin(\frac{h}{2})}{4}$

Quando h tende a zero, il primo pezzo del secondo membro tende ad 1 ma il secondo pezzo tende a zero, quindi si può scrivere che:

$\underset{h\rightarrow0}{\lim}\frac{1-\cos(h)}{4h}=0$

O_/