clavicordo ha scritto:Direi che è sempre il solito discorso dell'irriducibilità: come per gli assiomi si arriva a un punto in cui non si può più dimostrare alcunché.
Non è proprio così, perché il concetto di sistema di assiomi come lo intendono i (logici) matematici moderni è profondamente diverso da quello che poteva essere ai tempi di Euclide, e gli assiomi non sono più considerati qualcosa che debba o meno essere dimostrato. Un sistema di assiomi (
teoria) è solo un insieme di formule (sequenze di simboli costruite secondo le regole grammaticali di un qualche linguaggio formale): siamo liberi di inventarci i sistemi di assiomi che più ci piacciono per poi chiederci: esiste una struttura (cioè un insieme dotato di operazioni) che soddisfi tali assiomi? Se esiste, si dice che tale struttura è un
modello della teoria.
Per esempio, gli assiomi della teoria dei gruppi sono (

è un'operazione a due posti,

un elemento speciale, chiamato
elemento identico):

Qui gli assiomi non definiscono che cosa debbano essere quei simboli, siamo liberi di interpretarli come qualunque struttura: i gruppi, per un matematico, saranno i modelli di tale teoria, cioè le strutture che soddisfano a tali assiomi. Per esempio:
1) Gli insieme degli interi

con l'operazione di somma e

come elemento identico è un modello della teoria sopra, cioè è un gruppo.
2) L'insieme delle matrici invertibili

è un gruppo rispetto all'operazione di moltiplicazione tra matrici e con elemento identico coincidente con la matrice identità.
3) L'insieme delle trasformazioni di Galileo della meccanica newtoniana è un gruppo rispetto all'operazione di composizione. Lo stesso vale per l'insieme delle trasformazioni di Lorentz della meccanica relativistica.
Insomma, con il concetto moderno di assioma si perde l'idea che gli assiomi debbano esprimere qualche verità del mondo reale. Esprimono proprietà di simboli, ma i simboli sono liberi di essere interpretati.