Autovalori e autovettori

[Ianero]

Ci sono un paio di passaggi che non capisco, provo piano piano...

Perché quella è la definizione di autovettore: un vettore non nullo è autovettore di una matrice , con, p.es., o , se per qualche

Bene, come definizione ci sono.
Quindi questo che mi ha detto prima dimaios:

moltiplicando un vettore per una matrice si ottiene il medesimo vettore scalato per una costante

non vale sempre, ma quando accade, vuol dire che quella costante è un autovalore? Giusto?

Perché valga l'uguaglianza sopra si deve avere

Questo passaggio logico non l'ho capito, scusa Mi fai capire meglio il perché?

[DirtyDeeds]

non vale sempre, ma quando accade, vuol dire che quella costante è un autovalore? Giusto?

Sì, e quel vettore è un autovettore.

Per il passaggio che non hai capito, parti dall'uguaglianza



Adesso, somma ad entrambi i membri l'opposto di , cioè (in uno spazio vettoriale, ogni vettore ha un opposto che sommato con il vettore stesso dà il vettore nullo):



ovvero



La matrice identica ha la proprietà che , quindi si può scrivere



Raccogliendo nel secondo passaggio si ottiene l'espressione cercata

[Ianero]

Grazie DirtyDeeds
Ora ho solo due curiosità

Adesso, somma ad entrambi i membri l'opposto di , cioè (in uno spazio vettoriale, ogni vettore ha un opposto che sommato con il vettore stesso dà il vettore nullo):

Non è la stessa cosa che portare direttamente all'altro membro poiché 0 non è scalare ma vettore? Dico bene?

La matrice identica ha la proprietà che , quindi si può scrivere



Raccogliendo nel secondo passaggio si ottiene l'espressione cercata

Perché non posso scrivere direttamente così?

[DirtyDeeds]

Non è la stessa cosa che portare direttamente all'altro membro poiché 0 non è scalare ma vettore? Dico bene?

E' la stessa cosa, ma l'ho scritta in modo esplicito. L'operazione di "portare all'altro membro" in realtà coinvolge diversi assiomi. Per esempio, prendiamo l'equazione, nei numeri reali, .

Alle superiori hai imparato che la soluzione di questa equazione è e hai imparato a ricavarla secondo un certo procedimento meccanico. Ma quali sono gli assiomi dei numeri reali coinvolti in questa soluzione? Vediamoli.

Per qualunque



Questa uguaglianza è una conseguenza dell'assioma per l'elemento neutro della somma.



Questa è una conseguenza dell'assunzione e dell'assioma logico sulla sostitutività degli uguali in tutti i contesti: se posso scrivere dovunque c'è un e viceversa.



implica



per l'associatività dell'addizione.

Dalla commutatività si ottiene



e di nuovo per l'associatività



da cui, per l'assioma dell'opposto,



e per l'assioma dell'elemento neutro



Visto quanti passaggi per portare dall'altra parte? Quando si ha a che fare con strutture algebriche più strane dei reali (come per esempio le matrici), a volte, piuttosto che fare errori, conviene esplicitare qualche passaggio in più.

Perché non posso scrivere direttamente così?

Perché l'operazione non è definita: è una matrice e è un numero, tra questi due tipi di enti non è definita un'operazione di somma. Bisogna fare mooooolta attenzione a questi particolari, altrimenti si rischia di prendere delle belle cantonate algebriche.

[sebago]

non sono certo in grado di affrontarlo io

CHE BUGIA, stai giocando a "pinocchio"?....
Ti butta male, questo stesso intervento è la prova provata!
E ogni volta che leggo i tuoi post ho la sensazione che il mio pozzo (buco nero?) di ignoranza aumenti la profondità di qualche anno luce.
Ma come è possibile che tu sappia così tanto di così tante cose? Cosa hai mangiato da piccolo? Quanto tempo (presumo qualche decina di secoli) hai impiegato ad imparare tutto?
Boh, ma è proprio vero che vivi nel terzo pianeta del sistema solare?
E non tirare fuori la storiella dell'idraulico...

Se non temessi di distruggere qualche foresta amUtenteCancellatoca mi stamperei in carta patinata tutti i tuoi post e tutti i tuoi articoli , non perché avessi l'assurda ambizione di comprenderli perfettamente ma giusto per avere in casa un po' di OPERE D'ARTE.
Meno male che esistono i pdf e EY. E soprattutto coloro che ti hanno acchiappato e reso visibile ai comuni mortali: admin e webmaster.
Che, anche se fosse solo per questo, non ringrazieremo mai abbastanza.
Un abbraccio.

[Ianero]

Visto quanti passaggi per portare dall'altra parte?

Perché l'operazione non è definita...

Giusto!

[clavicordo]

DirtyDeeds riporta giustamente l'attenzione su "portare all'altro membro" che a scuola si impara in modo troppo meccanico, senza sapere cosa si fa.

Su wikipedia ci sono cosette simpatiche su questi argomenti. A me piacciono sempre le interpretazioni geometriche perché agganciano l'intuizione visiva con quel mondo astratto e per me oscuro dei matematici: http://it.wikipedia.org/wiki/Determinante . Ad esempio per la semplice matrice 2 x 2:= (a, b, c, d) il determinante, che vale ad-bc, si può visualizzare come area del parallelogramma individuato dai vettori (a,c) e (b,d).

Una delle visualizzazioni "pratiche" dell'autovalore è associata alla "conservazione della forma" (da ricondurre a un "endomorfismo", in questo caso, credo): ad esempio moltiplicando un vettore per uno scalare non se ne varia la direzione ma solo il modulo e, se lo scalare è negativo, il verso; ricordando che un vettore è anche una matrice a una sola riga o colonna....

[DirtyDeeds]

A me piacciono sempre le interpretazioni geometriche perché agganciano l'intuizione visiva con quel mondo astratto e per me oscuro dei matematici

Giusto, ecco perché avevo fatto l'esempio della rotazione. Però bisogna anche stare attenti a non limitarsi alle interpretazioni geometriche nel nostro spazio tridimensionale perché esistono spazi vettoriali che sfuggono a tale tipo di interpretazione. Ecco perché avevo anche fatto la domanda:

Adesso prendiamo un filtro (elettrico, acustico): un filtro è un dispositivo che effettua una trasformazione lineare di un segnale. Chi sono gli autovettori? E gli autovalori?

Ma non solo: nella risposta alla domanda sopra c'è tutta l'essenza del perché sia utile considerare problemi agli autovalori

da ricondurre a un "endomorfismo", in questo caso, credo)

Endomorfismo è sinonimo di operatore, cioè di una funzione da uno spazio vettoriale in se stesso.

ad esempio moltiplicando un vettore per uno scalare non se ne varia la direzione ma solo il modulo

Attenzione che il concetto di modulo è struttura aggiuntiva: nel linguaggio degli spazi vettoriali è semplicemente un vettore proporzionale a .

[clavicordo]

Attenzione che il concetto di modulo è struttura aggiuntiva

Questo mi pare un punto importante, che delinea il confine tra chi è realmente competente in questa materia e chi no (come me ): non si può spiegare ciò che viene "prima" con ciò che viene "dopo"!

Peraltro voglio ringraziare RenzoDF per le sue segnalazioni. L'articolo sugli strumenti musicali mostra come le soluzioni dell'equazione d'onda applicata a uno strumento musicale siano associate agli autovalori indotti da una trasformazione lineare (nei limiti delle approssimazioni) che riproduce il modello di ogni strumento musicale. L'articolista però non accenna nemmeno a tale trasformazione ma si limita a riportare gli "autovalori", che non sono altro che le "frequenze di risonanza" dello strumento... Molto illuminante è invece la lezione del prof.

[Ianero]

Attenzione che il concetto di modulo è struttura aggiuntiva: nel linguaggio degli spazi vettoriali è semplicemente un vettore proporzionale a .

Sono curioso di capirne qualcosa in più riguardo questa precisazione :)