Φ = 1,6180339887498 and more

[Shockwaver]

Principio di induzione
(mi annoiava troppo riscriverlo in latex )

Ok, volendo evitare di fare il furbo e avvicinarmi troppo a un caso limite, consideriamo n = 4 come pari.

Per verificare tramite principio di induzione ci spostiamo, volendo mantenere comunque n pari ci spostiamo su n = 6



cvd.

Per n dispari partiamo da n = 3 e procedendo allo stesso modo:




cvd.

[Shockwaver]

Spero vada bene..

[carlomariamanenti]

Occhio che c'è un errore in [1].
La successione di Fibonacci è così definita:
F(0)=0
F(1)=1
F(2)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
...

sedetiam, non si tratta di un errore: in genere vale e non ; ma in questo modo la soluzione era più facile da trovare.

Grazie a tutti per la partecipazione, proverò, (se riuscirò a non incasinarmi con Latex), a dissipare la curiosità di Ianero

Per che va da a i primi valori di , sono: , , , , , , .
Quest'ultimo numero è e quindi ci fa "subito" pensare ai quadrati dei numeri della famosa frequenza del nostro amico Leonardo Pisano filius del Bonacci.

Da una più "attenta" osservazione possiamo congetturare che ci siano due formule per i valori: quando è pari, la somma vale , mentre se è dispari vale .

Ora proviamo a dimostrare la congettura in funzione di con il sistema in genere ritenuto il più semplice: l'induzione.
Anche se per le due formule si potrebbe pensare procedere in due modi differenti, in pratica basta pero una unica procedura.

Si dimostra quindi che per un qualunque , se allora .

Non si tratta di un'ipotesi standard di induzione, perché si passa da a e la dimostrazione del tutto è parecchio noiosa da scrivere usando le varie proprietà dei numeri di Fibonacci.

Il disegno in FidocadJ, dove il cerchio nero indica il "più o meno k", ci aiuta però a dare la soluzione senza troppe descrizioni; a questo punto ci basta verificare i due casi e , cosa che si fa velocemente ... e "facendo" un doppio salto induttivo "carpiato" si ottiene la soluzione.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

L'induzione è uno senza dubbio un trucco "sporco": non serve infatti a trovare la soluzione di un problema, suppone invece che questa sia già stata data ... per un caso o per magia.
Quindi l'induzione serve per dimostrare che la soluzione "data" sia effettivamente la soluzione.

[claudiocedrone]

Lo dicevo io che il numero nel titolo era solo un depistaggio ...

[Ianero]

Grazie per le ottime spiegazioni a carlomariamanenti e Shockwaver

[Ianero]

Vedi ad esempio la pag. in inglese.

Cavolo, questo per un punto di riferimento così forte come Wikipedia non dovrebbe succedere..

[Shockwaver]

Grazie per le ottime spiegazioni a carlomariamanenti e Shockwaver

Figurati
Mi accorgo solo ora però che forse avrei fatto meglio a scrivere due righe anche sul principio di induzione oltre alla sua formulazione simbolica ;) e magari a dimostrare l'equivalenza dello stesso nel caso di step doppio..

[asamarco]

Mi riaggancio a questa discussione per segnalare il fatto curioso grazie alla successione di Fibonacci si possono convertire velocemente ma con buona precisione i kilometri in miglia. Si sfrutta il fatto che il rapporto mi/km è molto prossimo a quello della sezione aurea che da il titolo a questa discussione.

http://www.catonmat.net/blog/using-fibonacci-numbers-to-convert-from-miles-to-kilometers/

[claudiocedrone]

Ho la vaga sensazione (solo una sensazione, nulla di più e potrei sbagliare alla grande) che tale curiosa coincidenza di rapporti non sia affatto casuale come potrebbe sembrare a prima vista ma che invece dipenda da come si sono definiti e stabiliti illo tempore i due sistemi di misura della lunghezza (metrico e "anglosassone"); c'è qualche esperto di storia della metrologia nel forum in grado di confermare o smentire tale personale sensazione ? Solo per curiosità...

[carlomariamanenti]

Per i più curiosi un piccolo dono che ci viene fatto direttamente dal mitico ted.com.