Derivabilità e continuità

[piero1987]

Ciao a tutti.
Mi aiutate per favore a rispondere a questa domanda di teoria?

Dimostrare che una funzione derivabile in un punto è ivi continua.
Con un esempio dimostrare che non è vero il viceversa.

Devo scrivere qualche teorema?

io volevo prendere una funzione, calcolarne la continuità in un intervallo, e vedere che in quell'intervallo è derivabile;

Va bene? Mi date qualche suggerimento?

[DirtyDeeds]

Devo scrivere qualche teorema?

Devi dimostrare, appunto, un teorema, quello indicato nel testo.

calcolarne la continuità in un intervallo

Al di là che la continuità non è una cosa che si calcola, il teorema non parla di derivabilità in un intervallo, ma di derivabilità in un punto.

Va bene?

No.

Mi date qualche suggerimento?

Devi prendere una funzione generica e assumere che sia derivabile in un punto . Scrivi la definizione di derivata di in : cosa implica l'esistenza del limite che definisce la derivata?

Per la seconda parte, devi inventarti una particolare funzione (un "controesempio") di una funzione che sia continua in un punto, ma non derivabile in quel punto (p.es. una funzione che in un punto abbia derivata sinistra e destra differenti).

[IsidoroKZ]

E se vai abbastanza avanti con il controesempio potresti trovare delle funzioni continue in un intervallo, che NON sono derivabili in NESSUN punto in quell'intervallo :) Il matematico Hermite chiamava "flagello" queste funzioni

[6367]

potresti trovare delle funzioni continue in un intervallo, che NON sono derivabili in NESSUN punto in quell'intervallo

Per non impensierire piero1987 più del necessario va detto che sono esempi molto strani e artificiosi rispetto alle funzioni più popolari che si incontrano nella vita di tutti i giorni.

[DirtyDeeds]

E se vai abbastanza avanti con il controesempio potresti trovare delle funzioni continue in un intervallo, che NON sono derivabili in NESSUN punto in quell'intervallo

Vero! Anzi addirittura funzioni continue non derivabili su tutto . L'esempio più classico fu dato da Weierstrass. Per esempio,



La dimostrazione della non derivabilità si può trovare qui.

Qui c'è una tesi sull'argomento.

[piero1987]

Scusate non mi è chiaro che teorema devo utilizzare ....

[DirtyDeeds]

non mi è chiaro che teorema devo utilizzare ....

Non devi utilizzare alcun teorema. Devi usare due definizioni: quella di derivata e quella di continuità.