Circuito dinamico con generatore sinusoidale

[Freezix]

Scusa la mia coglio...ggine
Mi scuso veramente tanto.

[RenzoDF]

Ohhhh bravo! ... ora si che ha un bell'aspetto

Non ti resta che:
a) ripostare equazione caratteristica e soluzioni
b) scrivere la forma dell'integrale generale dell'omogenea associata e ricavare un integrale particolare
c) indicare le condizioni iniziali su vc e su vc'
d) ottenere la soluzione finale per vc(t)

Poi io controllo.

[Freezix]

Sostituendo i vari valori ottengo:

Risolvo tale equazione differenziale con Laplace trasformando tale equazione nel dominio complesso:

Calcolo l'integrale dell'equazione omogenea(transitorio):

e
Sottosmorzamento.Soluzioni complesse e coniugate.

Trasformo l'integrale in:

Calcolo l'integrale particolare(regime):

Allora:

Riassumendo:

L'obbiettivo prossimo è quello di calcolare K e con le condizioni iniziali.
Per t<0 nella sottorete sinistra ho un regime sinusoidale mentre nella sottorete destra ho un regime stazionario (transitorio esaurito).
Nella sottorete sinistra che consideriamo per lo studio delle condizioni iniziali è presente un generatore di tensione sinusoidale con valore massimo .Per calcolare uso il partitore di tensione e trovo .Essendo la fase di GIT nulla allora posso considerare solo la parte reale della soluzione.
Per la continuità della tensione sul condensatore:

Per calcolare la fase facciamo l'arcotangente del rapporto tra la parte immaginaria e quella reale e otteniamo:
Per trovare K vado a sostituire:


Giusto?

[RenzoDF]

... Giusto?

Un paio di minuti e vediamo :) ... oggi tanto per cambiare lo faccio via Sage

[RenzoDF]

Ecco cosa mi è ritornato come risposta dalla "nuvola"

Preciso che per la vc(0) ho assunto un valore nullo (per far uscire qualcosa di più pulito come relazione finale) ma ovviamente l'andamento non cambia con quegli (assurdi) 4 decimi di millivolt di carica iniziale.
Prova a vedere se le funzioni finali coincidono; purtroppo con i CAS, semplificare una somma trigonometrica è sempre un problema.

Io intanto provo ad un livello "superiore", ovvero bypassando tutti i calcoli e simulando direttamente per via numerica la rete con LTspice. ... ci metto 5 minuti.

BTW dov'è nei tuoi calcoli la condizione iniziale sulla derivata prima di vc?

[Freezix]

perché devo considerare anche le condizioni sulla derivata prima?Fino ad ora non l'ho mai fatto perché non ci è mai stato detto.Comunque posterò il calcolo.
Ti volevo chiedere ma perché si considera il valore massimo di V e non quello efficace?

[RenzoDF]

...perché devo considerare anche le condizioni sulla derivata prima?

Perché, da che matematica è matematica, si fa così
L'angolo, come l'hai calcolato tu, non ha nulla a che vedere con l'angolo dell'oscillazione transitoria, che viene a dipendere dai parametri della semirete destra per t >0.
L'angolo da te calcolato invece corrisponde allo sfasamento del fasore Vc rispetto al generatore V, ovvero è relativo al regime della semirete sinistra per t < 0, con T2 aperto; in poche parole "un altro mondo" e "un altro tempo".
Quello che "rimane" del "passato", per t > 0, nella "memoria" del condensatore, sono solo ed esclusivamente quei 4 decimi di millivolt e null'altro.

...Fino ad ora non l'ho mai fatto perché non ci è mai stato detto....

Ah bravo! ... a volte le cose bisogna studiarsele autonomamente, non aspettare che te le raccontino.

...Ti volevo chiedere ma perché si considera il valore massimo di V e non quello efficace?

A quale calcolo ti riferisci?
Ad ogni modo, in generale, perché quando si considera un transitorio, si devono (ovviamente) usare i valori istantanei; i valori efficaci si considerano solo in un'analisi (pratica, ma non H-demica), a regime.

Ad ogni modo, dalla relazione fornita da Sage, "arrangiandomi", ottengo



La simulazione numerica con LTspice fornisce il seguente risultato

Nella rete da analizzare ho aggiunto un GIT Behavioral al fine di confrontare l'andamento simulato
per Vc (in verde), con quello ricavato per via analitica Vmat (in rosso)

NB Lo ripeto, io ho assunto nulla la vc(0), se vuoi provare a vedere cosa cambia tenendone conto basta che tu vada ad iscriverti su
http://www.sagemath.org/
attraverso Try Sage Online dove, senza dover installare nulla e gratuitamente, avrai a disposizione una delle più complete risorse di calcolo matematico della rete (online e non solo).

[Freezix]

Non ho ben capito.Lo studio delle condizioni iniziali della derivata prima si considerano per lo studio dell'oscillazione transitoria?
Una volta calcolata la derivata di V_c in t=0 la devo porre uguale a zero?E la fase sarà nulla?

[RenzoDF]

... Lo studio delle condizioni iniziali della derivata prima si considerano per lo studio dell'oscillazione transitoria?

Visto che per studiare il transitorio per t > 0, ovvero a partire da t=0+, dobbiamo risolvere quell'equazione differenziale, non vedo altro modo se non quello di andare a ricavarsi le condizioni iniziali per vC(t) e di vC'(t) per t=0+.

A tal fine possiamo usare la continuità di vC(t) e di iL(t) per dire che sia vC(0+)=vC(0-) sia iL(0+)=iL(0-), e possiamo andare quindi a calcolarci vC(0-) e iL(0-) studiando rispettivamente il regime sinusoidale della sottorete sinistra e il regime stazionario della sottorete destra per t < 0.

Questa continuità non esiste però per le loro derivate, ovvero vC'(0+) non sarà uguale a vC'(0-) e di conseguenza per valutare la vC'(0+) dovremo far uso della nuova topologia della rete per t > 0 associata alla conoscenza di vC(0+) e di iL(0+), idraulicamente parlando ... la "vasca da bagno" (C), quando allo scoccare della mezzanotte apro lo scarico (un interruttore), rimarrà allo stesso livello del giorno prima (vc), ma la velocità con la quale andrà a svuotarsi (vc') dipenderà dalla portata dello scarico che sono andato ad aprire, non credi?

...Una volta calcolata la derivata di V_c in t=0 la devo porre uguale a zero?

Perché mai dovrei calcolarmela se poi la dovessi porre uguale a zero?

...E la fase sarà nulla?

Se per fase intendi il presente nella funzione sinusoidale, non vedo perché; il e il k presenti nella tua soluzione dovranno essere calcolati proprio a partire dalla tua



con il seguente sistema



Ora il problema da affrontare è quindi il calcolo della derivata vc'(0+), aspettando i tuoi sviluppi in tal senso,
Saluti
Renzo

[Freezix]

Una volta calcolata la derivata di V_c in t=0 la devo porre uguale a zero?

Scusami...volevo scrivere (V_c)' cioè la derivata di V_c.
Questa è la derivata:

Quindi quando mi sono trovato in precedenza la fase e la costante,li ho considerati solo quando il circuito è a regime cioè per t<0 (tale procedimento è giusto?Deve essere annesso alla soluzione dell'esercizio?).Quindi ciò che devo considerare ora sono le condizioni iniziali per t>0.Giusto?