Coro all'unisono

[clavicordo]

Devo però fare ammenda: quanto ho riportato sul processo armonico non viene da Wiki, ma dall'università di Roma La Sapienza: http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/html/libro1.2/libro-7.3.html#next.

In effetti dalla d.d.p. si può calcolare la potenza del segnale come momento del secondo ordine, tenendo conto che il valore medio è nullo: qualche volenteroso?

[EcoTan]

potrei approcciare il problema con una simulazione numerica

Ho voluto dilettarmi a fare un "esperimento matematico" a modo mio.
L'intuizione mi diceva che molte sinusoidi con fase casuale si azzerano a vicenda, ma ho dovuto rendermi conto che non è esattamente così.
Allora ho scritto un programmino in QuickBasic per verificare la seguente ipotesi:
Sommando un grande numero N di sinusoidi aventi tutte la stessa frequenza, ampiezza unitaria e fase casuale, si ottiene una sinusoide di ampiezza pari alla radice quadrata di N.
In pratica il programma assume un N pari a 100 (ho provato anche con 16000), genera le 100 sinusoidi con fase casuale, ne fa la somma e la divide per la radice di 100, traccia il risultato sullo schermo e si aspetta di trovare una sinusoide di ampiezza unitaria cioè tale da occupare tutta l'altezza dello schermo. Ripete 10 volte l'estrazione delle 100 fasi casuali quindi traccia 10 sinusoidi risultanti. In realtà le 10 sinusoidi tracciate non occupano esattamente lo schermo però alcune sono più piccole ed alcune scappano fuori, perciò l'ipotesi di partenza mi sembra mediamente plausibile.
Riporto il programmino in QuickBasic:

Codice: Seleziona tutto

SCREEN 12: REM impostiamo lo schermo 640 x 480
DIM fase(100): REM dichiariamo le fasi per 100 sinusoidi
FOR estraz = 1 TO 10: REM per ognuna di 10 estrazioni
FOR i = 1 TO 100: REM generiamo 100 valori della fase
fase(i) = RND(i * estraz) * 6.282: REM casuali fra zero e 2 pigreco
NEXT i
FOR t = 0 TO 640: REM e per ogni ascissa sullo schermo
som = 0: REM per prima cosa azzeriamo la somma
FOR i = 1 TO 100
som = som + SIN(6.282 * t / 640 + fase(i)): REM sommiamo le 100 sinusoidi
NEXT i
som = som / SQR(100): REM dividiamo la somma per la radice di 100
som = som * 240: REM adattiamo il risultato allo schermo
PSET (t, som + 240): REM e tracciamo il punto
NEXT t
NEXT estraz
END

Ho il file .jpg della schermata con le 10 sinusoidi ma non ho un server per caricarlo.

[EcoTan]

O è casuale o è fisso

si può avere uno sfasamento casuale e fisso

Il mio sistema neuronale, a livello congenito o acquisito, confligge con la logica formale e conseguentemente con la statistica fina.
Tuttavia, essendomi già avventurato in una simulazione numerica, la differenza fra "sfasamento casuale fisso" e "sfasamento casuale" mi pare che si traduca in una operatività assai semplice: se lo sfasamento è "casuale fisso" bisogna estrarre a sorte uno sfasamento fra zero e due pigreca per ogni sinusoide da sommare, se invece lo sfasamento è "casuale" bisogna rifare la suddetta estrazione ad ogni istante di tempo.
Il segnale risultante sullo schermo, nel primo caso si presenta come una sinusoide e nel secondo caso come una nuvolaglia di punti, ma ripetendo l'operazione si evidenza comunque una ampiezza mediamente pari alla radice quadrata di N.

[EcoTan]

Ho il file .jpg della schermata con le 10 sinusoidi ma non ho un server per caricarlo.

Dimenticavo che esiste la scheda "Invia allegato".
Dunque ecco la schermata:

[Russell]

E' forse antiintuitivo, ma almeno con 2 sinusoidi è facilmente dimostrabile:
definisci la prima come

Codice: Seleziona tutto

exp iw

e la seconda come

Codice: Seleziona tutto

exp i(w+x)

se le sommi e ti concentri sul valore assoluto trovi che ti interessa solo il termine

Codice: Seleziona tutto

1+ exp ix

che se fai un po' di conti ha media pari proprio a radice di 2

[EcoTan]

Quindi la cosa sarebbe confermata, e forse ci si arriva anche con considerazioni energetiche. Ma scusami, indicheresti qualche passaggetto in più ? C'è trigonometria?

[clavicordo]

che se fai un po' di conti ha media pari proprio a radice di 2

ossia i 3 dB di cui dicevo prima.

Io ho provato a fare i conti e ottengo un potenza media di (A^2)/4 il che non mi pare irragionevole.

Ma, DirtyDeeds, sicuramente tu riesci a fare il calcolo della potenza a partire dalla d.d.p. che ho riportato sopra ... So che non è gentile sollecitare risposte nel forum, ma, chiedo perdono, in questo caso la mia combinazione di curiosità e incapacità mi spinge a farlo!

[DirtyDeeds]

Ma, DirtyDeeds, sicuramente tu riesci a fare il calcolo della potenz

In questo periodo non è cosa, verranno tempi migliori Anche perché non è solo una questione di calcolo, ci sono alcuni punti importanti da chiarire sui processi casuali altrimenti si rischia di fare un po' di confusione.

[Russell]

Si, un po' di trigonometria c'è.
A parte le prime 2 espressioni che sono banali, mi soffermo sull'ultimo ragionamento, probabilmente il passaggio piu' complesso.
Dimostrare che la media del modulo di

è pari a

ovvero

cioè

volendo gia' da qui puoi tirare la conclusione, oppure fai un ulteriore passaggio

Adesso mediare in x è banale infatti
la media di è zero, uguale per e
quindi hai che il termine fa' sempre
ok?