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da **oiram92** » 18 giu 2014, 12:25

scusate se ci ho messo un po' per rispondere ma volevo essere sicuro di aver fatto tutto bene..

Circuito

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Parametri

$R = r_m = 4 \Omega$

$C = \frac{1}{2} F$

$L = \frac{8}{3} H$

v_g(t) = u(t) V

Condizioni iniziali

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Facendo una LKC al nodo i_L, i_g , i_C

si ha che

Facendo una LKT alla maglia esterna posso ricavare la corrente i_R = 0 A

Facendo una LKT alla maglia del resistore e del condensatore si ha v_C(0^-)=0 V

Circuito per t>0

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Induttore e condensatore sono in serie quindi :

$i_L = i_C = C \frac{dv_C}{dt}$

Facendo una LKT alla maglia esterna ricavo $i_R = \frac{v_g}{r_m+R}$

Facendo una LKT alla maglia del resistore-condensatore-induttore ottengo :

- R i_R + v_C+ v_L = 0

Esplicitando :

$LC \frac{d^2v_C}{dt^2} + v_C = R \frac{v_g}{r_m+R}$

Problema di Cauchy

$\frac{d^2v_C}{dt^2}+\frac{3}{4} v_C = \frac{3}{8}$

v_C(0^-)=v_C(0^+)

$\frac{dv_C(0^+)}{dt}=\frac{1}{C} i_L(0^-)$

Integrale generale

Le radici dell'omogenea associata sono :

$\lambda = \frac{\sqrt{3}}{2} i ; - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

quindi l'andamento di v_C(t)

è del tipo :

$v_C(t) = k_1 cos(\frac{\sqrt{3}}{2} t) + k_2 sin(\frac{\sqrt{3}}{2} t) + v_{Cp}$

Integrale particolare

Utilizzo il metodo di Lagrange, quindi imposto il sistema :

$s_1 cos(\frac{\sqrt{3}}{2} t) + s_2 sin(\frac{\sqrt{3}}{2} t) = 0$

$- \frac{\sqrt{3}}{2} s_1 sin(\frac{\sqrt{3}}{2} t) + \frac{\sqrt{3}}{2} s_2 cos(\frac{\sqrt{3}}{2} t) = \frac{3}{8}$

Che risolto mi da la soluzione particolare :

$v_{Cp} = \frac{1}{2}$

Andamento di v_C(t)

per

$v_C(t) = k_1 cos(\frac{\sqrt{3}}{2} t) + k_2 sin(\frac{\sqrt{3}}{2} t) + \frac{1}{2}$

Domanda

Se il procedimento è corretto (per favore qualcuno potrebbe dargli un'occhiata e confermare?), come faccio a determinare le costanti k_1,k_2

imponendo le condizioni iniziali? Io ho sempre risolto il problema di cauchy imponendo che il circuito si trovi a regime..
in questo caso come si fa? avendo un andamento di questo tipo ed avendo delle radici complesse come posso risolvere?

da **gill90** » 18 giu 2014, 13:17

L'impostazione della soluzione a radici complesse è esattamente identica a quella di radici reali. Non ho ben capito come imponi la soluzione particolare: data $\frac{d^2v_C}{dt^2}+\frac{3}{4} v_C = \frac{3}{8}$ per trovare la particolare, come suggerito da

RenzoDF, basta imporre v_C=cost

e ti trovi subito il suo valore. Partendo poi da
$v_C(t) = k_1 cos(\frac{\sqrt{3}}{2} t) + k_2 sin(\frac{\sqrt{3}}{2} t) + \frac{1}{2}$
Per trovarti i valori dei coefficienti (per qualunque soluzione) imponi le condizioni iniziali che ti vengono fornite: sai che v_C(0)=0V

e

, ma d'altronde sai che $i_C=C\frac{dv_c}{dt}$ , conosci l'espressione di v_C

quindi riesci a calcolarti anche i relativi coefficienti.

da **oiram92** » 18 giu 2014, 13:42

Finalmente ho capito!! Grazie! Dunque :

1) La soluzione particolare la ricavo analiticamente (analisi II) con il metodo di Lagrange, è un po' macchinoso ma è un metodo generale per risolvere qualsiasi equazione differenziale. Se può interessarti eccoti un link che spiega tutto il procedimento http://www.youmath.it/lezioni/analisi-due/equazioni-differenziali/645-metodo-del-wronskiano-per-equazioni-non-omogenee-del-secondo-ordine.html

2) Utilizzando la condizione v_C=cost

ottengo immediatamente la soluzione particolare :shock:

!! il metodo è valido sempre giusto? questo mi risparmierebbe una pagina di calcoli..

3) per trovare i coefficienti dovrei fare quindi :

$v_C(0) = k_1 cos(0)+k_2 sin(0) + \frac{1}{2} = k_1 + \frac{1}{2} = v_C(0^-) = 0$

da cui :

$k_1 = - \frac{1}{2}$

e poi :

$\frac{dv_C(0)}{dt} = - k_1 \frac{\sqrt{3}}{2} sin(0) + k_2 \frac{\sqrt{3}}{2} cos(0) + 1/2$

e poiché :

$\frac{dv_C}{dt} = \frac{1}{C} i_L(0^-) = 2$

otteniamo :

$\frac{\sqrt{3}}{2} k_2 + \frac{1}{2} = 2$

da cui :

$k_2 = \sqrt{3}$

quindi in definitiva, l'andamento di v_C(t)

è :

$v_C(t) = -\frac{1}{2} cos(\frac{\sqrt{3}}{2} t) + \sqrt{3} sin(\frac{\sqrt{3}}{2} t) + \frac{1}{2}$

da **RenzoDF** » 18 giu 2014, 14:30

oiram92 ha scritto:... La soluzione particolare la ricavo analiticamente (analisi II) con il metodo di Lagrange, è un po' macchinoso

1) Stai scherzando, vero? :mrgreen:

2)

si usa quando si può usare, dipende dall'equazione differenziale; nel nostro caso con termine costante a secondo membro, grazie alla presenza a primo membra della v_C(t)

e della sua derivata seconda, l'integrale particolare si determina direttamente.

3) Per quanto riguarda poi il tuo procedimento, ti chiedo: sei sicuro di aver derivato per bene v_C(t)

?

da **oiram92** » 18 giu 2014, 14:44

RenzoDF ha scritto:stai scherzando, vero?

perché? Forse perché ho detto che è "macchinoso"? Beh non è difficile come procedimento però è un po' lunghetto..faccio sempre una pagina di calcoli (però scrivo abbastanza largo :lol:

)

RenzoDF ha scritto: si usa quando si può usare, dipende dall'equazione differenziale.

e da cosa lo capisco se lo posso usare o meno? ti ringrazio

[EDIT]mi hai preceduto

, però quando non è così (non abbiamo un termine costante al secondo membro) allora si dovrebbe usare il metodo di Lagrange? [/EDIT]

RenzoDF ha scritto: Per quanto riguarda poi il tuo procedimento, ti chiedo: sei sicuro di aver derivato per bene ?

opss..

$\frac{dv_C(0)}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} k_2$

c'era un termine $\frac{1}{2}$ di troppo :oops:

da **RenzoDF** » 18 giu 2014, 14:56

oiram92 ha scritto:... perché? Forse perché ho detto che è "macchinoso"?

Perché anche gli idraulici sanno che Lagrange si usa solo ed esclusivamente come ultima alternativa ... e non di certo in questo caso!
Se fossi un Professore, boccerei direttamente uno studente che lo applicasse a quell'equazione differenziale.

oiram92 ha scritto:...e da cosa lo capisco se lo posso usare o meno? ti ringrazio...

Lo capisci "guardando" l'equazione differenziale; come ho già detto, quando compare anche la derivata di ordine zero, ovvero la funzione stessa e a secondo membro abbiamo una costante, è chiaro che esisterà un integrale particolare dato semplicemente dal rapporto fra il termine costante ed il coefficiente della derivata di ordine zero, non credi?

oiram92 ha scritto:... però quando non è così (non abbiamo un termine costante al secondo membro) allora si dovrebbe usare il metodo di Lagrange?

Assolutamente no, ... non ne conosci altri di metodi?

da **oiram92** » 18 giu 2014, 15:34

RenzoDF ha scritto:Assolutamente no, ... non ne conosci altri di metodi?

l'unico altro metodo che conosco è quello di fare "il confronto" con altre forme già note, diciamo gli "integrali particolari fondamentali". Nel caso in cui il termine noto è una combinazione di più "integrali particolari fondamentali" si usa il principio di sovrapposizione (cioè la somma dei singoli integrali particolari).

da **RenzoDF** » 18 giu 2014, 16:16

Mai sentito parlare di "metodo di somiglianza" ?

da **Mariacarmela** » 18 giu 2014, 16:22

ci sarebbe anche il nucleo risolvente di Cauchy

comunque il metodo che ti suggerisce Renzo devi eguagliare un polinomio al termine forzante ricavarti le derivate e...e alla fine imporre le condizioni inziali

da **oiram92** » 18 giu 2014, 17:31

RenzoDF ha scritto:Mai sentito parlare di "metodo di somiglianza" ?

il metodo di somiglianza lo conoscevo come "metodo del confronto", cambia il nome ma il succo è sempre quello

adesso me lo ripasso per bene :ok:

Mariacarmela ha scritto:ci sarebbe anche il nucleo risolvente di Cauchy
comunque il metodo che ti suggerisce Renzo devi eguagliare un polinomio al termine forzante ricavarti le derivate e...e alla fine imporre le condizioni inziali

il nucleo risolvente di Cauchy non lo avevo mai sentito finora :oops:

grazie dei consigli :ok:

adesso mi sento molto più sicuro (perlomeno in regime stazionario)

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Risoluzione problema di cauchy

[11] Re: Risoluzione problema di cauchy

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