Esercizio sui controllori

[Andy85]

Ciao a tutti! Ho un problema a comprendere e risolvere questo esercizio. Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi a venirne fuori? Grazie

Assegnato un processo con fdt chiuso in retroazione unitaria, determinare i parametri della fdt del controllore in modo da soddisfare le seguenti specifiche:
1) per r(t)= t (rampa unitaria come riferimento) si abbia a regime un errore <= 0.1;
2) la fdt ad anello aperto presenti margine di fase di 40° e pulsazione di attraversamento di 1 rad/s.

Mi domando: se il controllore da progettare introduce un polo e uno zero e il processo non ha nessun polo nell'origine, la funzione sul ramo diretto sarà di tipo 0.
Quindi, l'errore di cui parla è quello di velocità e dovrebbe essere infinito perché la costante di velocità è nulla. Non è in contraddizione con la specifica richiesta o sto sbagliando io?
Come si dovrebbe procedere in questo caso per progettare il controllore??

[g.schgor]

Vedo che nessuno ti risponde, quindi cerco di farlo io,
avvertendo che non sono un professore.

Dunque per la prima domanda, data la funzione, osserverei
che ai fini della dinamica del sistema ha importanza solo
il polo più lento (l'altro polo e lo zero sono praticamente ininfluenti).
Quindi il sistema ad anello aperto risulterebbe .
Se chiudendo l'anello si vuole <un errore statico di 0.1, deve essere K=10.

La seconda domanda mi lascia perplesso.
Sei sicuro Il margine di fase debba essere di 40°? Il sistema "naturale"
è praticamente del primo ordine, con un margine di fase di 140°, quindi
il regolatore dovrebbe peggiorarne la dinamica?

[Andy85]

Innanzitutto grazie per avermi risposto..
Sono d'accordo sul fatto che il polo dominante è quello in -1, e quindi sulla approssimazione che hai fatto. Il margine di fase è proprio quello, ho riportato la traccia così com'è.
Provo ad esporre il procedimento che vorrei applicare, forse riesco a spiegare meglio il mio dubbio..

Io dovrei progettare una rete anticipatrice o ritardatrice del tipo

a1, b1 si ricavano da formule tenendo conto dei valori di modulo e fase del processo G(s) nella pulsazione di attraversamento (quindi senza il controllore), e di a0. Si applica la seguente formula:

Sapendo che l'errore noto è si ricava a0 invertendo la formula di sopra, e di conseguenza si ricavano a1 e b1.
Poiché il sistema non ha poli nell'origine, il diventa nullo e di conseguenza l'errore tende ad infinito e non inferiore a 0.1.

Se invece fosse stato di tipo 1 (un polo nell'origine), avrei ottenuto un valore costante e avrei potuto determinare facilmente a0 e poi a1, b1.

Questo è il mio dubbio, non mi quadrano i conti applicando le formule analitiche di progetto. Non vorrei fosse sbagliata la traccia, o peggio ancora non aver capito come va fatto il progetto!

[g.schgor]

dovrei progettare una rete anticipatrice o ritardatrice

perché? Il problema non lo chiede. Dovrebbe bastare un regolatore proporzionale.
Anche la seconda domanda chiede una risposta a 1r/s, quindi non si vede motivo
di "forzare" il controllo (vedi forzamento)

[Andy85]

L'esercizio è una traccia d'esame e riporta come appendice le formule delle reti anticipatrici e ritardatrici. Questo mi fa pensare che debba utilizzare una delle due.

Utilizzando un semplice controllore del tipo , con K calcolato sfruttando l'errore a regime, ottengo dei risultati prossimi a quelli desiderati (margine di fase di circa 47°) ma non credo basti solo quello..

[g.schgor]

Non ho detto che sia impossibile trasformare la funzione
in modo da rispettare le specifiche, ho detto che mi sembra assurdo
(come del resto molti problemi scolastici) mettere un regolatore che
riduce la velocità di risposta e rende più instabile il sistema...
Comunque non mi torna che con un integratore da 1r/s con
un'amplificazione di 20 si raggiungano le prestazioni volute.
Mi spieghi il< procedimento?

[Andy85]

Ho semplicemente considerato come funzione ad anello


e poi ho tracciato i diagrammi di bode in matlab. Ma ripeto, non credo sia il procedimento giusto

[g.schgor]

La funzione originaria può essere ridotta a
e questa ha un guadagno statico di 6dB
che si riducono a 3dB in corrispondenza di 1r/s (0.16Hz). Dunque se si vuole
che la funzione complessiva passi qui per 0dB con un controllore integratore
bisogna che l'integratore abbia una frequenza di taglio inferiore a questa.
A conti fatti a me risulta .
Mi fai vedere i tuoi diagrammi?

[g.schgor]

Attendevo dettagli della tua soluzione.
Per completare il discorso, invio le prove della mia,
ottenute con l'applicazione delle funzioni di Laplace (LF) di Microcap.
rispettivamente per il blocco integratore e quello del sistema
originale (semplificato)

Forum28d.GIF (3.11 KiB) Osservato 6100 volte

Da questo si ottengono facilmente i rispettivi diagrammi di Bode:

Forum28g.GIF (5.95 KiB) Osservato 6100 volte

La traccia verde è quella del sistema originale, la blu quella del'integratore
e la rossa quella dell'intero sistema.
Di questa viene anche mostrato il diagramma delle fasi,
evidenziando il margine di fase.
Se sei interessato, posso inviare altri dettagli.

[g.schgor]

La mancanza di risposte mi fa ritenere che l'argomento non interessi più,
tuttavia vorrei chiuderlo ribadendo la considerazione iniziale sull'assurdità
di un problema del genere.
Questo dovrebbe infatti intitolarsi: come progettare un regolatore
per rendere un sistema più lento e più instabile.
Mi sono preso la briga di simularne il funzionamento chiudendo l'anello

Forum28ac.GIF (3.15 KiB) Osservato 6067 volte

ed ecco il risultato

Forum28acg.GIF (5.42 KiB) Osservato 6067 volte

dove la traccia blu è il riferimento, quella verde l'errore e la rossa
la risposta del sistema.
Bel risultato per l'insegnamento della progettazione di regolatori...