ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **marco76** » 17 dic 2014, 14:10

Intendevo la tensione finale quindi tempo infinito :oops:

da **spud** » 17 dic 2014, 14:12

Ah scusa

da **kalos21** » 17 dic 2014, 14:59

si in effetti per $t\rightarrow \infty$ viene -4[V] hai ragione tu

marco76

da **marco76** » 17 dic 2014, 15:15

la formula dovrebbe contenere un gradino con la tensione iniziale, più una parte dipendente dal tempo (con la costante di tempo ReqC) in cui carichi la differenza tra tensione finale e iniziale.

da **kalos21** » 17 dic 2014, 16:29

io ho utilizzato la formula seguente: $V_c(t)=[V_c(0^+)-V_c(\infty)]e^{-t/\tau}+V_c(\infty)$

da **marco76** » 17 dic 2014, 17:47

l'avrei scritta così:
$V_c(t)=V_c(0^-)+[V_c(\infty)-V_c(0^-)][1-e^{-t/\tau}]$

la tua è giusta per t=o e infinito, prova a svolgere il polinomio magari sono uguali, che ragionamento hai fatto per ottenerla però me lo devi spiegare

da **kalos21** » 17 dic 2014, 18:15

si sono identiche; in verità l'ho letta dal libro come procedimento generale, ma penso che utilizzando le leggi di Kirchhoff, sostituendo l'equazione caratteristica del condensatore e risolvendo poi l'equazione differenziale mi dia la stessa formula. Concordi?
Tu come l'hai ricavata? :-)

da **spud** » 18 dic 2014, 14:48

Io ho fatto cosi, per semplificare il piu possibile la rete ho ridotto tutto a un generatore equivalente di Thevenin collegato ai capi del generatore, prima alla parte di rete di sinistra:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dove:

$E_{th}' = V_{ab0} = V_C(0) = 3\,\text{V}$

$R_{th}' = R_1 = 2\,\Omega$

nota: ricordati che per calcolare la $R_{th}$ si possono spegnere solo i generatori indipendenti, il fatto che in questo caso la tensone del generatore dipendente vada a zero, e che quindi sia considerabile come un corto, dipende dalla topologia del circuito.

A questo punto, una volta chiuso l'interruttore si ha:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Si può ancora ridurre a un generatore equivalente ai morsetti AB, considerando la tensione a vuoto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$I=\frac{E-E_{th}}{R_{th}'+R_2} = \frac{10-3}{2+2}=\frac{7}{4}\,\text{A}$

$E_{th} = V_{ab0} = E-IR_2=10-\frac{7}{4}2=10-3.5=6.5\,\text{V}$

$R_{th} = \frac{R_{th}'R_2}{R_{th}'+R_2} = 1\,\Omega$

Il circuito equivalente è quindi:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Dove per ricapitolare:

$E_{th} = 6.5\,\text{V}$

$R_{th} = 1\,\Omega$

$v_c(t=0) = 3\,\text{V}$

Ora risolviamo, le grandezze scritte in minuscolo dipendono dal tempo, quelle in maiuscolo sono grandezze a regime.

Kirchhoff:

$\frac{E_{th} - v_c}{R_{th}} = i_C$

Legge di bibopo del condensatore:

$i_C = C\frac{\text{d}v_C}{\text{d}t}$

Sostituiamo la legge di bipolo nella legge di Kirchhoff:

$\frac{E_{th} - v_c}{R_{th}} =C\frac{\text{d}v_C}{\text{d}t}$

$R_{th}C\frac{\text{d}v_c}{\text{d}t}+v_C=E_{th}$

Quindi abbiamo finalmente la nostra equazione differenziale lineare, del primo ordine, a coefficenti costanti, non omogenea (perché c'è la forzante). La soluzione sarà:

$v_C(t)=E_{th}-[E_{th}-v_C(0)]e^{-\tfrac{1}{R_{th}C}} = 6.5 - 3.5e^{-4t}$

Per vedere come va la corrente basta applicare la legge di bipolo del condensatore:

$i_C = C\frac{\text{d}v_C}{\text{d}t}= \frac{E_{th}-v_C(0)}{R_{th}}e^{-\tfrac{1}{R_{th}C}} = 3.5e^{-4t}$

se non ti piace, si poteva ottenere lo stesso risultato applicando la legge di Ohm, che vale sempre, anche durante i transitori.

$i_C = \frac{E_{th}-v_C}{R_{th}}$

L'andamento della tensione sarà:

: Tensione sul condensatore

Come puoi notare parte dalla tensione iniziale $V_C=3\,\text{V}$ ed arriva alla $E_{th} = 6.5\,\text{V}$ quindi a regime, dopo circa $5\tau = 1.25\,\text{s}$ .

Per la corrente:

: Corrente sulla maglia

La corrente parte da:

$I_C(0) = \frac{E_{th}-V_C(0)}{R_{th}} = \frac{6.5-3}{1} = 3.5\,\text{A}$

Come puoi vedere la corrente decresce con la stessa costante di tempo della tensione, e, quando questa arriva a regime la corrente va a zero.

da **g.schgor** » 18 dic 2014, 17:07

spud, non ti sei dimenticato per strada il generatore dipendente?

da **spud** » 18 dic 2014, 18:07

L'ho considerato nel primo equivalente di Thevenin, è un errore?

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Calcolare la corrente che attraversa il condensatore

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