Soluzioni problemi di massimo e minimo

[g.schgor]

Constatata la scarsa partecipazione a questa sezione del Forum,
cerco di “rompere il ghiaccio” ponendo all’attenzione dei visitatori
alcune procedure di calcolo, enormemente facilitate dall’utilizzo di Mathcad.

Cominciamo con i problemi di ricerca del massimo (o del minimo)
di una funzione data.
Se dunque si ha una funzione F di una variabile x e si vuole ricavare
qual’e’ il valore di questa variabile che rende massima la funzione,
si procede normalmente derivando F in x, uguagliando poi a zero
tale derivata e ricavando il valore di x.
Per distinguere tra massimi e minimi, si deriva ulteriormente e si
esamina se la “derivata seconda” e’ in quel punto negativa (massimo)
o postiva (minimo).

Questa la “teoria”, facilmente applicata nelle scuole con l’esempio della
solita parabola, tipo: trovare x che rende massima F=-0.5*x^2+2*x+1
Da F’=-x+2=0 si ricava x=2 e da F’’=-1 che e’ <0 quindi un massimo.

Tutto semplice, almeno finche’ F e’ facilmente derivabile, ma
davanti ad una F=(3x^2-1)/(2+x^4) quanti saprebbero come cavarsela?

Qui puo’ venire in aiuto Mathcad, che permette sia di derivare simbolicamente
un’espressione, sia di risolvere automaticamente l’equazione per ricavare la x.
Ecco lo svolgimento nel caso della funzione data:

Non descrivo in dettaglio la procedura (ma se qualcuno fosse interessato....)
perche’ vorrei proporre un metodo concettualmente piu’ elementare,
che non fa ricorso alle derivate.
E’ semplicemente la “ricerca visiva” sull’andamento della funzione, resa
possibile dall’impiego del calcolatore.
Parametrizzando infatti la variabile, e’ possibile “disegnare” questo andamento
(entro limiti stabiliti) e “toccare con mano” eventuali massimi o minimi.
Ecco allora lo svolgimento per la funzione di prima:


Se non e' tutto chiaro, posso entrare in maggior dettaglio su specifiche richieste.

[g.schgor]

(risposta ad una specifica richiesta)
E' passata tanta acqua sotto i ponti (e le immagini
di un server esterno sono state cancellate)-
Anche Mathcad è cambiato: ora c'è la possibilità di
un'edizione gratuita (Express) e completa (Prime).
Limitandoci alla prima, la cosa più semplice è
indicizzare (n) la variabile (x), fissarne il campo di variazione
e fare il grafico della funzione (F)

[g.schgor]

Mi è stato chiesto se non è possibile derivare direttamente la funzione.
Ovviamente sì

MaxMin1.gif (36.87 KiB) Visto 1948 volte

(per una soluzione simbolica occorre però Mathcad Prime)