Stabilità in anello chiuso con luogo delle radici

[stdio93]

Buongiorno a tutti, ho problemi con una serie di esercizi riguardanti lo studio della stabilità in anello chiuso al variare di un parametro mediante la tecnica del luogo delle radici. Vi presento un -per me non- semplice esempio:

Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Studiare la stabilità del sistema retroazionato con retroazione negativa utilizzando il luogo delle radici".
Comincio col tracciare il luogo delle radici, del quale non posto l'immagine, ma mi limito a mostrarlo mediante un link di wolfram alpha (comunque il grafico è veramente molto semplice da ottenere). Determino comunque i seguenti parametri:

-->punto di intersezione degli asintoti
-->Angoli tra asse reale e asintoti
Segue il tracciamento del grafico:
https://drive.google.com/file/d/0B6BvNK ... sp=sharing
I miei problemi cominciano solo ora: come faccio a determinare la stabilità del sistema in funzione di ? Cioè a dire che per valori compresi tra a e b il sistema è stabile ecc.? Sono giorni che ci sbatto la testa ma non ne arrivo ad una... Grazie!

[dimaios]

Il luogo delle radici indica la traiettoria dei poli in catena chiusa al variare del guadagno.
Scrivi esplicitamente l'espressione dei poli ( polinomio ) che sarà funzione del guadagno.
Nel caso che hai illustrato il guadagno avrà un valore per cui uno dei due poli è nullo ( finisce nell'origine ).
Trova quel valore e poi ne riparliamo.

[Arrow]

Scusate l'ignoranza ma ne approfitto per chiedere
Quindi col "luogo delle radici" non devi fare il diagramma di nyquist e calcolare margine di fase e d'ampiezza poi progettare l'adeguata rete?

[stdio93]

dimaios intendi per caso l'espressione che ha al numeratore la produttoria delle distanze dei poli dall'origine e al denominatore la produttoria delle distanze degli zeri dall'origine, nel nostro caso:
? Se non è potrebbe essere quella la lacuna sulla quale mi blocco...

[dimaios]

Se è la funzione d'anello aperto scrivibile come quanto vale quella in anello chiuso ?

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per cui il denominatore determina la stabilità o meno del sistema retroazionato.

Scrivi il polinomio in forma estesa ( sarà in funzione di ).

[dimaios]

Quindi col "luogo delle radici" non devi fare il diagramma di nyquist e calcolare margine di fase e d'ampiezza poi progettare l'adeguata rete?

No, sono due metodi diversi che hanno origini diverse.
Da un punto di vista matematico ambedue sfruttano il grafico della funzione di trasferimento nel dominio complesso ma i metodi sono profondamente diversi.
Personalmente preferisco il teorema di Nyquist per la generalità che lo contraddistingue e permette di impiegarlo anche nei sistemi non lineari.
Tra le altre cose è stato inventato circa 15 anni prima del metodo del luogo delle radici.

[stdio93]

Nel mio caso quindi ottengo che le radici dell'equazione sono date da , da qui quindi che conclusioni posso trarre?

[dimaios]

Quindi :


e



Il polo è inizialmente a destra e a sinistra.

Se aumenti il guadagno ad un certo punto vale e passa nel semipiano sinistro.
Fino ad allora rimane a destra per cui il sistema è instabile.
Trova il valore per cui si ha questo passaggio.

[stdio93]

Mi risulta quindi che per il sistema non ha poli con parte reale positiva ed è dunque asintoticamente stabile. Per ho un polo a parte reale negativa e uno nullo, quindi deduco che il sistema è semplicemente stabile. Infine per il sistema si trova con almeno un polo a parte reale positiva e quindi diventa instabile. È corretto?

[dimaios]

Si. Puoi dedurre anche per quali valori di i poli sono reali ed immaginari.