ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **DirtyDeeds** » 22 lug 2015, 12:31

sebago ha scritto:Ma a prescindere da tutte le considerazioni sulle funzioni,

Non si può prescindere da quelle considerazioni, perché il punto è tutto lì.

Nota: la spiegazione in [19] è ovviamente lacunosa perché ho bellamente taciuto tutti i (non banali) teoremi che servono per fare i diversi passaggi.

da **RobertFirpo** » 22 lug 2015, 13:24

Ho trovato questo articolo, scritto dal fisico teorico David Barman:
https://plus.maths.org/content/infinity-or-just-112

da **PietroBaima** » 22 lug 2015, 13:25

sebago, proviamo con una dimostrazione più semplice, di qualcosa di evidentemente assurdo.
Coinvolgere la funzione zeta di Riemann diventerebbe un po' tecnico.

Tu conosci le serie di potenze, vero?
In particolare questa:

$\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n$

bene, se pongo x=1 ottengo:

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n=\frac{1}{2}$

cioè

$1-1+1-1+1-1+...=\frac{1}{2}$

:mrgreen:

Tu mi dirai: "mi stai prendendo per il naso! Quella serie converge solo se |x|<1 !"

Questo è vero, però abbiamo un teorema, dovuto a Cesaro, che ci dice che la somma di una serie è calcolabile utilizzando questo limite:

$S=\lim _{n \to +\infty} \frac{s_0+s_1+...+s_n}{n}$

dove con s0, s1...sn intendo le somme parziali, cioè la somma della serie quando mi arresto al termine di ordine 0 poi 1 ecc...
In pratica ci dice che la somma della serie è la media aritmetica delle infinite somme parziali.

Proviamo ad applicarla al nostro caso.

La serie è:

+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+...

le somme parziali sono:

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ...

quindi il limite é:

$S=\lim _{n \to +\infty} \frac{1+0+1+0...}{n}$

chiaramente il numeratore è n/2, quindi il limite... vale $\frac{1}{2}$ :mrgreen:

Ti sto ancora prendendo per il naso? (forse)

Se poi non mi andasse bene avere un funzione definita solo per alcuni punti e ne volessi fare una estensione definita sull'insieme dei reali potrei, per esempio, pensare di mediare le somme parziali (che oscillano fra 0 e 1, come abbiamo visto) e ne ricaverei... una retta del tipo y=1/2 :mrgreen:

Ti ho completamente confuso, vero?

da **Ianero** » 22 lug 2015, 18:16

Chiedo scusa per i dubbi esistenziali che hanno colpito qualcuno e ringrazio per le belle risposte che leggo :-)

da **ikim** » 22 lug 2015, 18:32

C'è un bel libro, che mi sento di consigliarvi, sull'ipotesi di Riemann: http://www.ibs.it/code/9788817008433/du-sautoy-marcus/enigma-dei-numeri.html. Parte dalle origini della teoria dei numeri con Gauss fino ad arrivare ai giorni nostri. L'ho trovato davvero interessante, spero piaccia anche a voi

da **claudiocedrone** » 22 lug 2015, 20:17

Non avete idea di quanto sia per me consolante constatare che anche chi sa la matematica... non la sa :lol:

da **sebago** » 24 lug 2015, 9:49

PietroBaima ha scritto:dimostrazione più semplice, di qualcosa di evidentemente assurdo

gran parte del problema sta tutto qui: se il risultato è EVIDENTEMENTE assurdo, perché la dimostrazione si ritiene "valida"?

PietroBaima ha scritto:abbiamo un teorema, dovuto a Cesaro, che ci dice che la somma di una serie è calcolabile utilizzando questo limite:
$S=\lim _{n \to +\infty} \frac{s_0+s_1+...+s_n}{n}$

Ma il teorema è valido anche se la serie non converge? ma allora non è un serpente che si morde la coda?
O (mi sorge il dubbio) dobbiamo ridefinire il concetto di "somma" (e prevedo guai grossi)? Con quale scopo, poi, visto che i risultati sono palesemente assurdi?

PietroBaima ha scritto:Ti ho completamente confuso, vero?

ALLA GRANDE :!:

da **PietroBaima** » 24 lug 2015, 11:53

sebago ha scritto:Ma il teorema è valido anche se la serie non converge? ma allora non è un serpente che si morde la coda?

Ovviamente non è valida se la serie non converge.
Spesso capita che il limite vada ad infinito, ma alcune volte capita che dia un risultato senza senso, come in questo caso.

sebago ha scritto:gran parte del problema sta tutto qui: se il risultato è EVIDENTEMENTE assurdo, perché la dimostrazione si ritiene "valida"?

Il grosso problema è che questi risultati senza senso corrispondono al prolungamento analitico della funzione zeta, si utilizzano in alcuni campi della fisica e danno risultati verificabili sperimentalmente (e anche teoricamente) e... nessuno ne conosce il perché...

Si usa, per esempio:
1+1+1+1+...=-1/2 (teoria delle stringhe)
1+2+3+4+...=-1/12 (effetto Casimir)

Poi si ha anche che:
$\zeta(-2n)=0$
che è altrettanto inquietante (per esempio n=1 vuol dire che 1^2+2^2+3^2+...=0

)

Inoltre sono legati con i numeri di Bernoulli, la formula di Faulhaber e molte altre funzioni speciali che sono ritenute assolutamente inconfutabili.

Appaiono quindi corretti, ma... perché?

sebago ha scritto:O (mi sorge il dubbio) dobbiamo ridefinire il concetto di "somma" (e prevedo guai grossi)? Con quale scopo, poi, visto che i risultati sono palesemente assurdi?

Risposta dei matematici fino al 2015 (e probabilmente per ancora molti anni a venire):

scriba dei matematici del mondo ha scritto:MAH...

Ciao,
Pietro.

da **Ianero** » 24 lug 2015, 13:42

da **PietroBaima** » 24 lug 2015, 14:30

no, ovviamente tendono ad infinito... :mrgreen:

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Ramanujan e l'infinito

[21] Re: Ramanujan e l'infinito

[22] Re: Ramanujan e l'infinito

[23] Re: Ramanujan e l'infinito

[24] Re: Ramanujan e l'infinito

[25] Re: Ramanujan e l'infinito

[26] Re: Ramanujan e l'infinito

[27] Re: Ramanujan e l'infinito

[28] Re: Ramanujan e l'infinito

[29] Re: Ramanujan e l'infinito

[30] Re: Ramanujan e l'infinito

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