Info Derivata - Integrale

[subliminal]

Salve a tutti amici, avrei il seguente quesito da proporvi:


In generale abbiamo che


Allora

[ ponendo ]

Riscrivendo quindi abbiamo che:



ma vale anche il viceversa ?




Grazie mille a tutti.

[EcoTan]

provo a rispondere ma sono scarsissimo:

[cronos80]

Secondo me ci sono un po' di puntini sulle i da mettere:

In generale abbiamo che

Credo tu voglia dire:

In caso contrario bisogna specificare se , altrimenti è una costante se integrata in
Da qui poi tutto il resto. Chiarisci prima questo e poi andiamo avanti

[subliminal]

Si in effetti è un errore di battitura

E' cosi:

[fairyvilje]

Questa è una bella domanda e non ha una risposta banale. La continuità e la linearità degli operatori derivata e integrale consentono la libera composizione, e quindi "volgarmente", passarli uno dentro l'altro. Il problema è capire quando sono continui e lineari. Per fortuna quello che scrivi va bene nella maggior parte delle funzioni "utili" che ti capitano a tiro. In generale però è falso.

[cronos80]

Si in effetti è un errore di battitura

Allora conviene che riscrivi tutto controllando gli errori di battitura

La continuità e la linearità degli operatori derivata e integrale consentono la libera composizione, e quindi "volgarmente", passarli uno dentro l'altro. Il problema è capire quando sono continui e lineari. Per fortuna quello che scrivi va bene nella maggior parte delle funzioni "utili" che ti capitano a tiro. In generale però è falso.

fairyvilje hai ragione quando dici di fare attenzione, però questi operatori sono sempre continui e lineari. sono gli argomenti passati a questi operatori che possono non essere continui e lineari. Il succo operativamente parlando è lo stesso, ma concettualmente è diverso.
Quindi, in generale è vero, nelle opportune condizioni di esistenza degli argomenti.

[fairyvilje]

Non concordo, dipende dallo spazio di definizione degli operatori. Su alcuni spazi di funzione sono lineari e continui su altri no, a parità di definizione, e questo dipende dalla struttura dello spazio, non solo dell'operatore. Un esempio banale che può essere velocemente ricondotto alla variante integrale con funzioni persino continue ed infinitamente derivabili (...).





Addio continuità.

[cronos80]

Vedi che l'esempio che hai fatto dimostra esattamente quello che ho detto. E' la funzione f che non è continua in partenza. Non è la sommatoria che a volte è continua (o lineare) e a volte no è l'argomento.
E' come se dicessi che l'operatore '+' a volte è lineare e a volte no.

[fairyvilje]

E quindi un integrale non può esistere per funzioni discontinue? :)
Solo perché lo si definisce su un insieme ridotto di funzioni per le quali ha buone proprietà non significa che sia sempre così guardando più in largo :)
Allora facciamo questa.





Edit: Corrette funzioni

[cronos80]

E quindi un integrale non può esistere per funzioni discontinue? :)

Certo che esiste, però bisogna fare attenzione a cosa si integra e entro che dominio.

Allora facciamo questa.

Sempre lo stesso discorso...f è discontinua in partenza, non è l'integrale ad esserlo.
Se la definizione dell'integrale/derivata fosse dipendente dal dominio non si potrebbe definire il metodo di integrazione per parti.
Ancora, il limite non è un operatore lineare (per la verità non è nemmeno un operatore), quindi non è per colpa dell'integrale che non puoi fare la composizione. Prova a fare lo stesso discorso con due operatori lineari, ad esempio la definizione dell'integrale per parti.