Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesgue

[6367]

Immagino che non serva a niente, come metà delle cose che si imparano all'università, ma purtroppo devo impararlo.

Lo dice anche una mia collega laureata in fisica: tra le cose più inutili che abbia studiato.
Al contrario, io che sono laureato in ingegneria, l'ho apprezzato moltissimo.
Il mondo è bello perché è vario.

[Shika93]

Beh io faccio elettronica e ancora non ne vedo l'utilità.
Più che altro poi non capisco due teoremi applicati qua sopra: convergenza monotona e convergenza dominata.

[dimaios]

Beh io faccio elettronica e ancora non ne vedo l'utilità.

Benissimo. Vedrai che apprezzerai a breve.
Senza l'integrale di Lebesgue gran parte della teoria dei segnali sarebbe "aria fritta".

Se vuoi peggiorare la digestione ti consiglio anche l'integrale di Haar e quello di Ito.

[Shika93]

Quando capirò come si usa, mi piacerebbe.
Al momento gli esercizi fatti in classe mi sembrano fatti a caso. Tipo il calcolo del limite di un integrale di una funzione...Non ho idea di chi, cosa o come risolverli.

[dimaios]

Lo dice anche una mia collega laureata in fisica: tra le cose più inutili che abbia studiato.
.....

6367 si può tranquillamente affermare che la tua collega non ha capito molto del corso di laurea che ha frequentato.


Ascolta in 3:45 fino a 5:10 , il docente è molto esplicito.

Probabilmente PietroBaima può confermare visto che di meccanica quantistica ne sa sicuramente più di me.

[alev]

il calcolo del limite di un integrale di una funzione...Non ho idea di chi, cosa o come risolverli.

Chi li risolve? Tu...ed EY, se vuoi
Il come, dipende...ci sono vari modi che variano da caso a caso

Se ti va, postalo (con LaTeX...)

[Shika93]

Per esempio questo.
Mi è stato chiesto di determinare
e mi è stato suggerito di farlo notando che applicando il teorema di convergenza monotona o dominata che se non ho capito male il teorema di convergenza dominata è un caso particolare della monotona.

[PietroBaima]

dimaios, non ho idea di chi fra di noi sappia più meccanica quantistica, ma posso confermare che l'integrale di Lebesgue è una tappa fondamentale nell'apprendimento di questa materia, per quanto purtroppo, iniziale.
E' come apprendere i vettori, sono fondamentali e bisogna saperli, poi però bisogna saperli anche usare.

Shika93, quell'integrale è un esempio straclassico.
Un altro esempio è



che è la lunghezza del tratto di curva facente capo alla successione di funzioni fra 0 e 1.
Purtroppo la funzione f a cui converge quella successione di funzioni non è continua, quindi non ci possiamo aspettare la convergenza uniforme.
Infatti se n=1 la lunghezza di quel tratto di curva vale e tutte le curve sottese dovranno avere lunghezza maggiore, ma se scambi limite ed integrale la lunghezza fa 1. Bad news!

Il problema è che quando le cose possono andare peggio lo fanno sempre e se faccio l'integrale bene trovo una successione di lunghezze di archi di curva che tende ad 1 (non è facile da dimostrare).
Si dimostra che il problema sta nella definizione di integrale di Riemann.
Con Lebesgue è invece sempre possibile scambiare limite ed integrale e si dimostra che la successione tende a 2, pari alla somma del tratto orizzontale e del tratto verticale, quando n tende ad infinito.

Come vedi Lebesgue a qualcosa serve

[dimaios]

dimaios, non ho idea di chi fra di noi sappia più meccanica quantistica .....

Sicuramente tu. Io sto ancora cercando di capire dove è finito il gatto di Schrödinger.

[Shika93]

PietroBaima in matematichese come lo dimostro? Fino a qui ho capito che Lebesgue è bello e carino.
Già sta cosa che mi hai detto che con n=1 viene un risultato, ma se le cose cambiano ne viene un altro mi ha mandato in botta. Era su queste cose che intendevo "fatte a caso". perché? Devo studiare la convergenza della serie ?