Spunti di riflessione (un we di mate)

[PietroBaima]

La trasformata di Fourier non è l'unico modo per arrivarci, ma si può procedere in modo molto più analitico, però al prezzo di usare spazi di Banach e algebre di Clifford.

Ho sempre in sospeso un articolo sulle equazioni differenziali, e, per completezza, volevo parlare anche di equazioni alle derivate parziali, che sono un caso molto interessante in fisica.

Il problema è che mi scontro con la semplicità dell'esposizione, che deve essere accessibile, ma sicuramente rigorosa.

Con le equazioni alle derivate parziali ci riuscivo in parte, ma con quelle non lineari (altro caso molto interessante) no.

Poi IsidoroKZ mi ha prestato un libro interessante sulla integrodifferenziazione non intera.
Verso la fine parla di un problema alle linee di trasmissione dispersive, risolto cercando l'ordine non intero della derivata che verifica l'equazione, e mi è venuto in mente che, se mi accontento di non prendere equazioni che richiedano algebre di Lie su immersioni di Sobolev, le cose potrebbero avere una complicazione accettabile.
Questo, per varie ragioni, significa che una semplice trasformata di Fourier potrebbe risolvere, quindi mi sono detto: "mah, posso provare a buttare giù qualche appunto".

Il problema è che, rileggendomi, sebbene la cosa mi sembri impegnativa da capire, ma comprensibile, non saprei giudicarmi da solo, quindi ho provato a stuzzicare il forum per avere un feedback.

Boh, non so, magari ci devo pensare ancora...

[PietroBaima]

Il contro che ho è che, a suo tempo, ne avevo parlato con dimaios, il quale mi aveva detto di lasciar perdere

Una certa parte di me continua a pensare che abbia ragione...

[PietroBaima]

poi a Metodi Matematici per l'Ingegneria lo studio dettagliato negli spazi di Sobolev.

Caspita, che corso completo che è MM per l'ingegneria!
D'altronde capisco che le PDE (lineari o no) siano importantissime.

Avrei una curiosità: parlavate di immersioni su algebre di Lie?

[Ianero]

Non ce l'ho fatta a resistere.

Ho trovato che le derivate non intere di:



sono pari a:



la derivazione non intera, sfasa

[PietroBaima]

la derivazione non intera, sfasa

Hai trovato un risultato molto importante.
Infatti lo sfasamento fra seno e la sua derivata prima è .

Quindi anche l'integrale fa la stessa cosa.

Quindi seno e coseno sono funzioni ortogonali solo se usiamo una norma intera...

[Ianero]

una norma intera

EDIT: ah dici come norma un integrale "primo", come si usa di solito...

[PietroBaima]

sì, potrei definire delle norme integrali dove l'integrale non è intero...

Magari delle trasformate di Laplace non intere...

[Ianero]

E le funzioni ortogonali diventerebbero quelle sfasate solo di una certa quantità non più multipla di ...

[Ianero]

Magari delle trasformate di Laplace non intere...

Portano a qualcosa?

Magari le convoluzioni non diventano prodotti, ma ci diventa qualche altra operazione difficile nel tempo

[PietroBaima]

Ecco, bravo.

Due funzioni potrebbero essere ortogonali a patto di trovare il corretto indice non intero di integrazione.
Deformerei lo spazio di integrazione intorno alla funzione.

La domanda è: ci sono funzioni sempre ortogonali? Ci sono funzioni che non sono mai ortogonali? Ci sono degli spazi che "vedono" due funzioni date come ortogonali?

Se ci sono possiamo fare a pezzi una equazione differenziale.

Il problema è il prezzo da pagare.