Regula falsi con più generatori

[PietroBaima]

Un saluto a tutti.
Stasera volevo rilassarmi un po', così mi sono messo a leggere gli articoli di admin

Dopo aver letto alcuni suoi articoli dove parla di belle esperienze di vita, sono incappato sull'articolo relativo allo spostamento dei generatori.

Mi stavo chiedendo se il circuito da cui è originato l'articolo si potesse risolvere in qualche modo con la regula falsi e ho quindi preso carta e penna. Il problema di quella rete è che contiene più di un generatore.

La regula falsi funziona perché una qualunque rete con un solo generatore, di corrente o tensione, ha sulla sua uscita una frazione della tensione o corrente impressa dal suo generatore corrispondente.

La relazione fra ingresso e uscita è quindi del tipo dove x è la variabile di uscita, tensione o corrente, G è il generatore che alimenta il circuito e è un rapporto di impedenze (complicato quanto vogliamo) che tiene conto di come sono disposti i componenti passivi nel circuito.

La regula falsi riscrive quella relazione in modo inverso, così: , in modo tale per cui imponendo l'uscita x falsa possiamo poi trovare un G falso e, calcolando poi x/G, possiamo poi conoscere il valore di vero, da cui calcolare poi il valore di x vero, incognito.

Per comodità scriviamo la proporzione , cioè, in pratica, o anche uguale a x vero, incognito.

Quello che stiamo facendo corrisponde a descrivere una retta avendone un punto a caso, sapendo che quella retta passa per l'origine (in quella rete spegnendo l'unico generatore l'uscita va certamente a zero) per poi ricalcolare la retta nel punto che ci interessa.

Se invece i generatori diventano due o più, la retta non passa più per lo zero (spegnendo il generatore oggetto della nostra regula falsi, questa volta pure errata, la retta non passa più per l'origine, perché l'altro generatore contribuirà a mantenere una certa uscita ad un valore, in generale, non nullo).

Se procediamo come prima quello che succede è che calcoliamo un punto su una retta che non passa per l'origine, per poi ricalcolare un punto in una nuova retta (diversa da quella di prima) che invece passa per l'origine.
Il risulato sarà ovviamente errato.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ragionando così ho quindi tratto la semplice conclusione che per applicare la regula falsi con più di un generatore bisognerà prendere due punti per descrivere la retta (prima assumevamo implicitamente che il primo punto fosse zero).

Vediamo di generalizzare.
Questa volta non abbiamo più una espressione del tipo , ma una espressione del tipo dove è il termine che tiene conto di tutti gli altri generatori presenti nella rete.

Se io isolo un generatore in particolare, da una rete, quando lo spengo, ottengo una tensione di uscita che terrà conto unicamente del contributo di tutti gli altri per il fattore di partizione che la rete introdurrà alla loro variabile indipendente. Poi, facendo variare il generatore che avevo prima spento, otterrò di muovermi su una retta.

La conclusione è che non è importante quanti generatori, oltre a quello scelto sul quale applicare la regula falsi, siano presenti nella rete, ma è importante considerarli lasciando un termine che li comprenda tutti.

Posso quindi riscrivere come dove è un termine equivalente a tutti gli altri generatori, già riscalati per il fattore che introduce su di loro la rete.

Se ho bisogno di due punti per caratterizzare la mia retta dovrò fare due false ipotesi, che chiamo e , dalle quali otterrò due generatori falsi, che chiamerò e . G è invece il generatore vero, quello che è veramente presente nella rete.

Ho quindi che:



mentre la rete risponde alla retta vera



Il trucco ora consiste nello scrivere le tre equazioni come proporzione.

Ricavo x dalla retta vera:



moltiplico numeratore e denominatore per



e espando



La vedete anche voi la proporzione ora?
No? basta raccogliere e in modo creativo



adesso mi ricordo anche delle due equazioni



e riscrivo come:



o anche



o se volete vederla con la notazione propria delle proporzioni:



Ho trovato!

E' una cosa estremamente semplice da applicare: faccio una ipotesi sull'uscita e calcolo quanto vale un generatore che mi scelgo, poi ne faccio una seconda (distante a sufficienza dalla prima) e calcolo di nuovo quanto dovrebbe valere lo stesso generatore di prima e poi recito la proporzione:

La differenza fra l'incognita e il primo valore che ho imposto sta alla differenza fra il generatore vero e il valore che ho trovato per primo come la differenza fra l'incognita e il secondo valore che ho imposto sta alla differenza fra il generatore vero e il valore che ho trovato per secondo.

Nel prossimi post farò qualche esempio... stay tuned!

[PietroBaima]

Voglio trovare Vo sulla seguente rete con due generatori indipendenti:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Scelgo E1 come generatore bersaglio e presumo che la tensione Vo sia uguale a 5V:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ottengo che il generatore di tensione E1 dovrebbe valere 20V.

Faccio una seconda ipotesi comoda, per esempio Vo=10V. Ottengo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ottengo che il generatore di tensione E1 dovrebbe valere 45V.

Se Vo=5V allora E1=20V, se Vo=10V allora E1=45V, mentre E1 vero è 10V.

Quindi

da cui immediatamente

[JAndrea]

Molto bello, non avrei mai pensato di applicare questo metodo, che ho poco più che sentito citare dal prof. di Calcolo numerico, per la risoluzione di una rete elettrica.
È un metodo che in qualche situazione può tornare comodo, ma che forse si potrebbe ancor meglio implementare su calcolatore.

[PietroBaima]

Voglio trovare Vo dalla seguente rete con tre generatori:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Scelgo sempre E1 come generatore bersaglio e impongo che Vo sia 10V.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Se impongo una tensione di uscita pari a 10V allora E1 dovrebbe valere 0V.

Impongo, per la seconda scelta, che Vo sia pari a 20V.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Se impongo una tensione di uscita pari a 20V allora E1 dovrebbe valere 50V.

Con una Vo=10V E1 dovrebbe essere 0V, con una Vo=20V E1 dovrebbe essere 50V.

La mia proporzione diventa quindi:



da cui immediatamente

[PietroBaima]

È un metodo che in qualche situazione può tornare comodo, ma che forse si potrebbe ancor meglio implementare su calcolatore.

Credo sia un metodo che si presti meglio ad essere applicato a mano.
Poi non so nemmeno se sia originale, è facile che sia già stato pensato da qualcuno...
Secondo me quando passa di qua RenzoDF mi dice che ho scoperto l'acqua calda e che l'avevano scoperto già gli antichi egizi

[RenzoDF]

... Poi non so nemmeno se sia originale, è facile che sia già stato pensato da qualcuno... Secondo me quando passa di qua RenzoDF mi dice che ho scoperto l'acqua calda e che l'avevano scoperto già gli antichi egizi

Diciamo che ad una prima occhiata assomiglia al metodo della doppia falsa posizione o metodo elchataym, portato in europa dal solito Fibonacci, ma come origine attribuibile allo Yingbuzu cinese; vedi viewtopic.php?t=28142#p225876, ma direi che tu sei andato ben "oltre"
... e quindi i miei COMPLIMENTI

Sarebbe più che gradito un Bell'Articolo su questo nuovo "magico" Metodo , carissimo Pietro!

[PietroBaima]

WOW

ricevere dei complimenti "idraulici" è sempre un grande onore! Grazie Renzo!

Un saluto con stima
Pietro

PS: lo sapevo che l'aveva già scoperto qualcuno... figurati se arrivo primo da qualche parte, io


PPS: Belli i link a Fibonacci e quello che avevi scritto a suo tempo!

PPPS: Articolo? dici?

[RenzoDF]

Certo ... Bisogna tramandare ai posteri questi moderni sviluppi delle "antiche" conoscenze matematiche.

[PietroBaima]

Allora sarà fatto

[RenzoDF]