ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Patras** » 15 gen 2018, 17:23

Ciao a tutti! Scusate se è 'offtopic ma sono disperato perché non so più a chi rivolgermi invece tra questi thread so che ci sono persone che di matematica ne sanno. Se vi ho fatto arrabbiare per favore non mettetemi ban basta che mi cancellate il post non lo farò più.
Vi chiedo per favore di aiutarmi.
Sto studiando la matrice caratteristica per un modello a tempo discreto di invecchiamento delle cellule.
Il problema è il seguente:

Una popolazione di cellule è soggetta alle seguenti regole ( a tempo discreto):
- in ogni istante intero

, esse sono suddivise in neonate, adulte, vecchie.
- le cellule vecchie rimangono tali (in percentuale a, 1>a<0

) o muoiono (in percentuale 1-a), nell'istante t+1
- le cellule adulte invecchiano (in percentuale b, 1>b>0

) oppure si sdoppiano in due cellule neonate (in percentuale 1-b

), nell'istante t+1

- le cellule neonate divengono tutte adulte, nell'istante t+1

Provando a scrivere il modello di stato mi viene il dubbio se sottrarre o no le quantità precedenti? Mi viene la tentazione di farlo come per i modelli compartimentali ma qui non si fa e non capisco perché in sostanza la matrice che descrive giustamente il modello risulta:

$x(t+1) = Fx(t)= \begin{pmatrix} x_1(t+1) \\ x_2(t+1) \\ x_3(t+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2(1-b) & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \end{pmatrix}$

dove x_1, x_2, x_3

cellule rispettivamente neonate, adulte e vecchie...

Non capisco perché le quantità che vengono perse durante gli istanti precedenti non vengono sottratte in percentuale ad esempio in questo modo:
$\begin{pmatrix} -1 & 2(1-b) & 0 \\ 1 & 1-2(1-b)-b & 0 \\ 0 & b & a \end{pmatrix}$

c'è qualcuno che riesca a chiarirmi il mio dubbio per favore?

da **MarkyMark** » 15 gen 2018, 18:21

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

da **fairyvilje** » 15 gen 2018, 18:37

Premesso che ho verificato ed il modello finale corretto è quello che il libro riporta.
Non capisco l'origine del tuo dubbio.
Se J(t+1)

sono i giovani al tempo t+1

per esempio, secondo le regole specificate questi sono
J(t+1)=J(t)-J(t)=0

Dove il primo J(t)

è legato al fatto che l'istante successivo dipende dallo stato nell'istante precedente ed il secondo che nessuno a causa delle regole di transizione permane nello stato J ma tutti passano nella categoria adulta.
Ha più senso?
Se applichi lo stesso ragionamento agli altri tipi di cellula dovresti ottenere il risultato del libro.
Per rendere più chiara la cosa prova a scrivere il sistema nella forma di equazioni delle differenze. I rate diventano forse più chiari da interpretare.

da **Patras** » 15 gen 2018, 20:30

Grazie a tutti per le risposte. Mi avete fatto notare che alla fine sono annegato in un bicchiere d'acqua sbagliando ad applicare il ragionamento che facevo in partenza... infatti qui sarebbe stato corretto fare

$\begin{pmatrix} 1-1 & 2(1-b) & 0 \\ 1 & 1-(1-b)-b & 0 \\ 0 & b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2(1-b) & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & b & a \end{pmatrix}$

cioè tra un'istante e l'altro una popolazione di cellule non si conserva dentro una delle prime due generazioni, perché tutte cambiano generazione. La conservazione avviene solo grazie a sdoppiamenti o maturazioni invece quelle vecchie vengono parzialmente conservate in percentuale a.

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Modello di stato a tempo discreto invecchiamento cellule

[1] Modello di stato a tempo discreto invecchiamento cellule

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