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da **ziomangrovia** » 4 nov 2018, 12:51

venexian ha scritto:Se vuoi toglierti uno sfizio fai questi calcoli:
1. Energia cinetica della sfera all'inizio del piano scabro (pura velocità di traslazione)
2. Energia cinetica della sfera a fine strisciamento (somma energie cinetiche di traslazione e di rotazione)
3. Sono uguali?

Se la seconda è maggiore della prima abbiamo un grosso problema. Se sono uguali c'è qualcosa di sbagliato. Se sono diverse, dove è finita la loro differenza?

$E_c=\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}1.55^2=1.2 J$
$E_c=\frac{1}{2}mv_{cm}^2=\frac{1}{2}1.11^2=0.62 J$
dove $v_{cm}=\omega r=\alpha tr=98*0.11*0.1=1.11$
Sono diverse, la prima è maggiore della seconda in quanto la forza di attrito ha effettuato lavoro sottraendogli energia cinetica.

Visto che ci sono faccio un'altra considerazione:

se volessi calcolare la distanza percorsa dal corpo
all'inizio del piano scabro fino al momento in cui inizia il puro rotolamento,
cioè nell'intervallo 0.11 sec

ma calcolando la distanza d_s

per il solo slittamento
e la distanza d_r

per il solo rotolamento,
che se non capisco male alla fine la distanza totale percorsa nell'intervallo sarebbe d=d_s+d_r

:

$d=v_i*t-\frac{1}{2}at^2=1.55*0.11-\frac{1}{2}3.92*0.11^2=0.15 m$
$d_r=\theta +\omega t+\frac{1}{2}98*0.11^2=\frac{1}{2}98*0.11^2=0.625 rad = 0.0625 m$
d_s=d-d_r=0.15-0.0625 m

Se ho fatto i calcoli giusti alla fine noto che la distanza totale percorsa, calcolata applicando la formula del moto uniformemente decelerato, è comprensiva anche dello spazio percorso durante il rotolamento del corpo.
Se ho un piano scabro e la velocità del centro di massa è maggiore della velocità di puro rotolamento significa che c'è strisciamento; inizialmente, quando ho scritto la prima volta il thread, credevo che la distanza percorsa con la formula del moto u.d. mi fornisse il valore dello spazio percorso SOLO in riferimento al moto di slittamento escludendo il rotolamento invece questo rappresenta lo spazio percorso dal corpo con entrambi i moti... insomma facevo confusione!

da **venexian** » 4 nov 2018, 17:15

Oops! Abbiamo un problema.

ziomangrovia ha scritto: $E_0=\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}1.55^2=1.2 J$

Fino a qui, tutto bene (1).

ziomangrovia ha scritto: $E_t=\frac{1}{2}mv_t^2=\frac{1}{2}1.12^2=0.63 J$

Qui va quasi tutto bene (2) (3).

E l'energia di rotazione dove è finita??? 0,63 J è l'energia di traslazione della sfera, ma non credi che tra due sfere che traslano alla stessa velocità, ma una delle due è anche in rotazione ci sia una differenza nel contenuto energetico? Vai a rivedere il post sulla dualità e vedrai che questa vale anche per l'energia.

Intanto risolviamo questo punto, poi andiamo avanti.

(1) Ho cambiato gli indici per mio gusto personale. :mrgreen:

(2) Ho cambiato l'indice in 't', per traslazione perché necessario.
(3) A me la velocità finale risulta 1,12 m/s, non 1,11 m/s. se si decide di utilizzare tre cifre decimali, devi verificare bene gli arrotondamenti. Posso essermi sbagliato io, tu rifai i calcoli... :cool:

da **ziomangrovia** » 4 nov 2018, 18:33

venexian ha scritto:Qui va quasi tutto bene (2) (3).

ooopss !!!! Accidenti accidenti... che cosa ho scritto! Pardon! La furia di scrivere....
l'energia "consumata" durante il rotolamento è $E=\frac{1}{2}mv_{cm}+\frac{1}{2}I_{cm}\omega^2$
$I_{cm}=\frac{2}{5}mr^2=\frac{2}{5}0.1^2=0.004$

$\alpha=98 rad/s$
$E=\frac{1}{2}1.11^2+\frac{1}{2}\frac{4}{1000}98^2=0.61605+19.208=19.82405=19.82 J$

Direi che la differenza energia meccanica ( 19.82 - 1.2 J

) rappresentano il lavoro effettuato della forza di attrito?

(3) A me la velocità finale risulta 1,12 m/s, non 1,11 m/s. se si decide di utilizzare tre cifre decimali, devi verificare bene gli arrotondamenti. Posso essermi sbagliato io, tu rifai i calcoli...

io per trovare questo valore ho fatto in questo modo:
$\alpha=98 rad/s$
1.55-3.92t=9.8t

segue che

Correggimi se sbaglio a portare dietro questi "numerosi" e solo da ultimo approssimare.
poi $v_{cm}=\omega r = \alpha t r = 98t 0.1= 98*0.1129737609*0.1 = 1.1071428571 = 1.11 m/s$

da **venexian** » 4 nov 2018, 19:08

La fretta è una bruttissima compagna. Meglio mollarla subito.

Nella prima parte hai fatto un 'castrone' che non voglio neppure commentare.
Rileggi con calma, rifai i calcoli e dimentichiamo il post [23].

Riguardo alle approssimazioni, la questione non è semplice, ma deve essere affrontata con attenzione. Esiste un intero mondo che tratta gli errori e la loro propagazione nei calcoli. Dovresti aver studiato queste cose. Oppure le studierai. Se non dovessero fartele studiare, studiatele da solo.

Con l'esperienza potrai fare certe assunzioni che permettono di ottenere il risultato corretto anche con semplici regole pratiche senza applicare la teoria che risulterebbe troppo pesante nello svolgimento dei calcoli quotidiani.

La prima regola è quella di fare sempre tutti i passaggi usando le variabili e sostituirle con i valori solo al momento del calcolo finale (metodo analitico).
Le costanti vanno utilizzate con un numero di cifre significative uguale al numero di cifre della variabile più precisa tra quelle di cui disponi. Questo numero di cifre è quello da utilizzare nel calcolo, mentre il numero di cifre significative effettive è quello della variabile meno precisa di cui disponi.

Nel tuo caso specifico,

$V_f=V_0-\mu gt=1,55 - 0,4 \times 9,81 \times 0,11 = 1,118...$

A questo punto, visto che nel problema il coefficiente di attrito ti viene dato con una sola cifra decimale, tu dovresti limitarti a scrivere che la velocità è di 1 m/s, ma anche se il testo avrebbe dovuto essere scritto con più attenzione, possiamo considerare che le tre cifre siano veramente il 'minimo sindacale' (come anche tu hai fatto), che 0,4 nel testo significhi 0,400, 1 kg significhi 1,00 kg e arrotondare quella velocità a 1,12 m/s.

da **ziomangrovia** » 4 nov 2018, 19:16

Ok per le approssimazioni, ma quindi non va bene il calcolo dell'energia a fine strisciamento?

da **venexian** » 4 nov 2018, 19:17

Hai confuso la velocità angolare con l'accelerazione angolare !!!

da **ziomangrovia** » 4 nov 2018, 19:48

venexian ha scritto:Hai confuso la velocità angolare con l'accelerazione angolare !!!

Ci riprovo, in effetti qualcosa non mi tornava con questi valori :mrgreen:

Però le formule erano giuste, avevo solo sbagliato a riportare solo un valore.

$\alpha=98.10 rad/s^2$
$\omega=10.79 rad/s$
$E=\frac{1}{2}1.12^2+\frac{1}{2}\frac{4}{1000}10.79^2=0.63+0.23=0.86 J$

E mi torna che sia più piccolo, come dicevo prima dovuto alla perdita di energia durante il solo "strisciamento".

incrociamo le dita :roll:

PS ti sto facendo esaurire la pazienza lo so!

da **venexian** » 5 nov 2018, 0:56

Nessuna perdita di pazienza. E' un piacere.

I calcoli sono giusti, manca un po' di forma.

Io non sono un docente di fisica, ma ti mostro ugualmente come avrei voluto venisse risolto l'esercizio (1).

1.
Al fine di omogeneizzare le precisioni, consideriamo i dati forniti nel testo come segue:
massa della sfera: $m=1,00 \, \textup{kg}$
raggio della sfera: $r=0,100 \, \textup{m}$
lunghezza a riposo della molla: $l_0=0,300 \, \textup{m}$
lunghezza della molla compressa: $l_c=0,100 \, \textup{m}$
coefficiente della molla: $K=60,0 \, \textup{N/m}$
coefficiente di attrito del piano: $\mu=0,400 \, \textup{N/N}$
accelerazione gravitazionale: $g=9,81 \, \textup{m/s}^2$

2.
Calcoliamo la lunghezza di espansione della molla:
$L=l_0-l_c = 0,300 \, \textup{m}-0,100 \, \textup{m}=0,200 \, \textup{m}$

3.
Calcoliamo l'energia al termine della fase di accelerazione di traslazione della sfera, uguale all'energia rilasciata dalla molla:
$E_0=\frac{1}{2}KL^2=\frac{1}{2}mv_0^2= \frac{1}{2} \times 60,0 \, \textup{N/m} \times (0,200\,\textup{m})^2=1,20 \, \textup{J}$

4.
Dall'equazione in 3. e considerando che tutti i valori sono positivi, è possibile ricavare la velocità di traslazione della sfera all'inizio del piano scabro:
$\frac{1}{2}KL^2=\frac{1}{2}mv_0^2 \rightarrow v_0= L\sqrt[2]{\frac{K}{m} }=0,200 \, \textup{m}\sqrt[2]{\frac{60,0 \, \textup{N/m}}{1,00 \, \textup{kg}} }=1,55 \, \textup{m/s}$

5.
Calcoliamo ora la forza di attrito sviluppata dal piano sulla sfera:
$F=\mu mg=0,400 \, \textup{N/N} \times 1,00 \, \textup{kg} \times 9,81 \, \textup{m/s}^2 = 3,92 \, \textup{N}$

6.
La forza calcolata in 5. agisce sulla sfera imponendo un moto uniformemente decelerato di modulo:
$a=\frac{F}{m}=\mu g=0,400 \, \textup{N/N} \times 9,81 \, \textup{m/s}^2 = 3,92 \, \textup{m/s}^2$

7.
La stessa forza impone alla sfera un momento che possiamo calcolare come:
$\tau=\mu mgr=0,400 \, \textup{N/N} \times 1,00 \, \textup{kg} \times 9,81 \, \textup{m/s}^2 \times 0,100 \, \textup{m} = 0,392 \, \textup{Nm}$

8.
Imponendo di conseguenza un'accelerazione angolare pari a:
$\alpha=\frac{\tau}{I}=\frac{\mu mgr}{\frac{2}{5}mr^2}=\frac{5 \mu g}{2 r}=\frac{5 \times 0,400 \, \textup{N/N} \times 1,00 \, \textup{kg}}{2 \times 0,100 \, \textup{m} }=98,1 \, \textup{rad/s}^2$

9. Sapendo che al termine della fase di accelerazione angolare, quando la sfera smette di strisciare sul piano si ha la condizione:
$v_f=\omega_f r$

10.
Calcoliamo prima la velocità di traslazione come:
$v_f=v_0-at=v_0-\mu gt$

11.
Poi la velocità angolare come:
$\omega_f=\alpha t=\frac{5 \mu gt}{2 r}$

12.
E unendo 10. e 11.:
$v_0-\mu gt=\frac{5\mu gt}{2 r}r=\frac{5}{2}\mu gt$

13.
Ricaviamo il tempo di strisciamento come:
$t=\frac{2}{7}\frac{v_0}{\mu g}=\frac{2 L}{7 \mu g}\sqrt[2]{\frac{K}{m} }=\frac{2 \times 0,200 \, \textup{m}}{7 \times 0,400 \, \textup{N/N} \times 9,81 \, \textup{m/s}^2}\sqrt[2]{\frac{60,0 \, \textup{N/m}}{1,00 \, \textup{kg}} }=0,113 \, \textup{s}$

14.
E' ora possibile ricavare la velocità di traslazione al termine dello slittamento:
$v_f=v_0-\mu gt=v_o-\mu g\frac{2}{7}\frac{v_0}{\mu g}=\frac{5}{7}v_0=\frac{5 L}{7}\sqrt[2]{\frac{K}{m} }=\frac{5 \times 0,200 \, \textup{m}}{7}\sqrt[2]{\frac{60,0 \, \textup{N/m}}{1,00 \, \textup{kg}} }=1,11 \, \textup{s}$

15.
Calcoliamo ora l'energia cinetica di traslazione della sfera come:
$E_t=\frac{1}{2}mv_f^2= \frac{1}{2} m (\frac{5}{7}v_0)^2=\frac{25}{49}E_0=\frac{25}{98}KL^2=\frac{25}{98}\times 60,0 \, \textup{N/m} \times (0,200 \, \textup{m})^2=0,612 \, \textup{N}$

16.
E quella di rotazione come:
$E_r=\frac{1}{2}I \omega^2=\frac{1}{2}\frac{2}{5}mr^2\frac{v_f^2}{r^2}=\frac{2}{5}\frac{1}{2}mv_f^2=\frac{2}{5}E_t$
$E_r=\frac{10}{49}E_0=\frac{10}{98} KL^2=\frac{10}{98} \times 60,0 \, \textup {N/m} \times (0,200 \, \textup {m} )^2=0,245 \, \textup{N}$

17.
L'energia totale posseduta dalla sfera in quel momento sarà allora:
$E_f=E_t+E_r=(\frac{25}{49}\frac{10}{49})E_0=\frac{35}{98}E_0$
$E_f=\frac{35}{98}KL^2=\frac{35}{98} \times 60,0 \, \textup {N/m} \times (0,200 \, \textup {m} )^2=0,857 \, \textup{N}$

Come vedi, anche se ci sono calcoli intermedi, tutto l'esercizio è risolto in modo simbolico e questo permette di evitare il trascinarsi dietro gli errori di calcolo. Tutte le equazioni, prima dei calcoli fanno riferimento solo e esclusivamente ai dati iniziali e questo permette anche di fare un calcolo dettagliato della propagazione degli errori. Se ti abitui a lavorare in questo modo, i risultati si vedranno di certo.

Nota1: nella stesura ci possono essere dei refusi: le formule sono tante e LaTex è 'cancaro'. Se ne trovi, segnalali e qualche amministratore (2) potrà correggerli.

Nota2: La parte del cuneo te lafai da sola però!!!

(1) Fino al termine dello strisciamento.
(2) I pochi che non ce l'hanno con me...

da **claudiocedrone** » 5 nov 2018, 2:19

Scusate l'intromissione ma ho qualche appunto "formale" da rivolgere a

ziomangrovia riguardo LaTeX; quando serve un segno di moltiplicazione non usare l'asterisco poiché oltre che "brutto da vedere" (opinione personale :mrgreen:

) in LaTeX indica invece la convoluzione, usa invece "\times" o "\cdot", poi le unità di misura devono essere separate dal valore tramite uno spazio insecabile che ottieni con "\," inoltre le unità di misura non vanno scritte in corsivo; puoi trarre esempio di ciò da quanto scritto da

venexian passando il puntatore sui suoi calcoli ;-)

da **ziomangrovia** » 5 nov 2018, 6:50

venexian ha scritto:Nota2: La parte del cuneo te lafai da sola però!!!

Non ti puoi immaginare quanto mi è stato utile il tuo contributo, ho capito (o perlomeno credo) molte cose.
Non posso essere presente alle lezioni per cui sono un autodidatta, non mi giustifico ma è certamente più faticoso.
Proverò a svolgere il resto, dammi qualche giorno perché stamani si riparte a lavorare

Riguardo al pregresso, ti vorrei domandare se nel post[21] ho scritto fesserie dal punto in cui scrivo "Visto che ci sono faccio un'altra considerazione:"
Il mio proposito era di capire quali sono i contributi in termine di distanza forniti dal moto di trascinamento (cioè quando la velocità del centro di massa è superiore a $\omega_fr$ ) e dal moto di rotolamento, considerando dall'inizio del tratto scabro fino a quando il moto diventa di puro rotolamento.

Aggiungo che quest'ultimo post è da incorniciare, è di una chiarezza incredibile.
Per LaTex non sapevo di questo formalismo e sicuramente do la colpa alla mia superficialità in merito al suo utilizzo. La cosa strabiliante è che non sapevo che le formule si evidenziassero passandoci sopra con il puntatore.
Farò tesoro di tutti i preziosi suggerimenti.

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