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Energia nell'equazione radar

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Energia nell'equazione radar

Messaggioda Foto UtenteIanero » 21 lug 2019, 13:19

Nel libro Skolnik, Introduction to Radar Systems, ed. 2, pag. 52 (sec. Transmitter Power) viene citata innanzitutto l'equazione radar nella sua forma più semplice:

R_{\max}=\left[\frac{P_t G A_e \sigma }{(4 \pi )^2 S_{\min}} \right]^{1/4}

dove P_t è la potenza trasmessa (integrale spaziale del vettore di poynting prodotto dall'antenna trasmittente in campo lontano), G è il guadagno dell'antenna trasmittente, A_e è l'area equivalente dell'antenna ricevente, \sigma è la radar cross section del bersaglio, S_{\min} è la potenza ricevuta minima affinché quel particolare bersaglio possa essere rivelato alla distanza massima di R_{\max}.

Successivamente, l'autore afferma che:
The average radar power P_{av} is also of interest in radar and is defined as the average transmitter power over the pulse-repetition period. If the transmitted waveform is a train of rectangular pulses of width \tau and pulse-repetition period T_p=\frac{1}{f_p}, the average power is related to the peak power by:

P_{av}=\frac{P_t\cdot \tau}{T_p}


e poi subito dopo riscrive l'equazione radar sostituendo a P_t l'espressione \frac{P_{av}\cdot T_p}{\tau}=\frac{E_t}{\tau} (E_t la chiama energia trasmessa).

Non riesco a capire come mai, sicuramente apparentemente (ma io purtroppo non vedo dove sia questo 'apparentemente'), sembra che abbia mischiato tempo e frequenza come se fossero intercambiabili.
Infatti, secondo me se vogliamo scrivere in maniera esplicita l'equazione radar, anche nella sua forma semplice come quella di sopra, essa diventa:

R_{\max}=\left[\frac{P_t(\omega) G(\theta, \phi,\omega) A_e(\theta, \phi,\omega) \sigma(\theta, \phi,\theta_b,\phi_b,\omega) }{(4 \pi )^2 S_{\min}(\theta, \phi,\theta_b,\phi_b,\omega)} \right]^{1/4}=R_{\max}(\theta, \phi,\theta_b,\phi_b,\omega)

in cui \theta,\phi rappresentano la direzione di puntamento comune delle due antenne, \theta_b,\phi_b è l'orientazione del bersaglio rispetto alle antenne, \omega è la pulsazione.

Seguendo quanto scritto da Skolnik avrei quindi che:

P_{av}(\omega):=\frac{P_t(\omega)\cdot \tau}{T_p}

che per me non significa niente, nessun tipo di 'media'.
L'unico modo che io conosco di legare la media temporale della potenza istantanea con la potenza complessa è il seguente:

<\mathcal{P}(t)>=\int_{\omega=-\infty}^{\infty}P(\omega)\mathrm{d}\omega

Qualcuno sa giustificare quanto affermato dall'autore?
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[2] Re: Energia nell'equazione radar

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 22 lug 2019, 11:33

Da idraulico che sono, evidentemente più che incompetente di sistemi radar, non trovo strana quella relazione, anzi mi sembra più che normale; se non ricordo male la potenza media di un segnale f(t) può essere determinata sia nel dominio del tempo andando a integrare (e "mediare") |f(t)|^2 su un intervallo (al limite) infinito, sia andando ad integrare la densità spettrale di potenza; nel caso di un segnale periodico poi, come la sequenza di impulsi in oggetto (per il quale, se a base sinusoidale, la potenza di picco Pt corrisponde a metà del valore di picco massimo), ci si può limitare ad un periodo T, e il passaggio da un metodo di calcolo all'altro può essere derivato andando a rappresentare f(t) con la sua serie di Fourier in forma complessa ... o sbaglio? :-k
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[3] Re: Energia nell'equazione radar

Messaggioda Foto UtenteIanero » 22 lug 2019, 17:09

Grazie per avermi risposto.

Considerando il fatto che il segnale trasmesso è un segnale periodico, la relazione integrale tra la potenza istantanea e quella complessa si semplifica in:

<\mathcal{P}(t)>=\sum_{n}P_n

dove P_n è la potenza trasportata dall'armonica n-esima, a pulsazione \frac{2\pi}{T_p}\cdot n (T_p periodo di ripetizione degli impulsi).
In altre parole, quella P(\omega) che avevo scritto nel precedente messaggio è diventata un treno di impulsi di Dirac.

Da qui, come posso far comparire <\mathcal{P}(t)> nell'equazione radar in luogo di P_t(\omega)?

Grazie di nuovo.
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[4] Re: Energia nell'equazione radar

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 22 lug 2019, 17:50

Non so se può esserti utile, ma prova a dare un occhio da pag. 71 del testo

"Introduction to Ultra-Wideband Radar Systems"

https://books.google.it/books?id=vkTSTfvgDZoC&printsec=frontcover&hl=it#v=onepage&q&f=false
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[5] Re: Energia nell'equazione radar

Messaggioda Foto UtenteIanero » 22 lug 2019, 18:21

Grazie, do un’occhiata e ti faccio sapere.
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[6] Re: Energia nell'equazione radar

Messaggioda Foto UtenteIanero » 22 lug 2019, 20:23

Sono andato a leggere.
Quanto riportato in quelle pagine è proprio quello che ho scritto in maniera più concisa in [3], quanto mettiamo dentro il fatto che il segnale è periodico.
Dunque la potenza media nel tempo è uguale alla somma delle potenze associate alle singole componenti armoniche del segnale periodico, giusto.
Da qui però come andiamo avanti?
Per giustificare quello che dice Skolnik, dovrei trovare un modo di scrivere P_t(\omega) (che nell'equazione radar per un segnale periodico abbiamo detto essere un treno di impulsi di Dirac) in funzione di <\mathcal{P}(t)>, mentre io so fare solo il contrario. Non mi stupirebbe se la cosa inversa non fosse possibile, in quanto la relazione tra le due è di tipo integrale (o sommatoria, nel caso periodico), dunque potrei avere più segnali differenti a stessa potenza media nel tempo, ma con differenti P_t(\omega).

Purtroppo ancora non riesco a capire come si giustifica quello che dice. A te torna ciò che dico?

EDIT: stavo pensando che il discorso funzionerebbe se si ragionasse con una sola sinusoide, ma sarebbe troppo strano se l'equazione radar nella forma dove compare l'energia, che lui vuole ottenere a partire da quella dove compare la potenza, valesse solo per il caso singola frequenza. Anche perché un radar a impulsi non può essere descritto in frequenza da un solo tono, sarebbe assurdo.
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[7] Re: Energia nell'equazione radar

Messaggioda Foto UtentePioz » 22 lug 2019, 23:14

Anche io non vedo nessun problema su quello che fa il libro. L'unica cosa che forse ti sfugge (e ci sfugge visto che non so cosafaccia dopo) e' quello che vuole ottenere.

Mi spiego meglio. Se prendi ad esempio un LED o una lampadina pilotati in PWM quello che vedi istante per istante e' o lo stato ON a cui corrisponde una certa potenza emessa (V*I banalmente) o lo stato OFF in cui non c'e' nessuna potenza emessa. Se la guardi macroscopicamente pero' quello che vedi e' la potenza emessa in media che si traduce in un'intensita' luminosa direttamente proporzionale al dutycycle \tau/T.


Ritornado alla questione di cosa vuole derivare con quella sostituzione secondo me il discorso e' che la distanza massima a cui puoi rilevare un oggetto dipende dalla potenza istantanea (ovviamente) ma e' anche comodo sapere la potenza media (e quindi l'effettiva energia) che poi e' quella che succhi dall'enel di turno. Piu' piiccolo fai \tau piu' sara' la distanza che sei in grado di coprire a parita' di bolletta della luce. (\tau in ogni caso e' sicuramente vincolato in modo indipendente anche da altri fattori, pero' non saprei dirti molto i piu' su questo)
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[8] Re: Energia nell'equazione radar

Messaggioda Foto UtentePioz » 22 lug 2019, 23:37

Forse ho intenso il problema nel tuo ragionamento.

Dove ti confondi tu e' che stai cercando di calcolare una potenza RMS..cioe' vuoi fare il valore RMS della potenza pulsata ma questa cosa non ha senso. La potenza e' gia' potenza e cio' che e' RMS sono i valori di tensioni e correnti, campo elettrico e magnetico. La potenza RMS non ha alcun significato. Di quella ha senso solo il valore medio.

Tornado all'esempio del LED pilotato in PWM, sia tensione che corrente hanno un andamento ad onda quadra con un certo dutycycle D. Il valore efficace delle due grandezze e' calcolabile semplicemente e risulta proporzionale a \sqrt D. Quando poi le moltiplichi tra di loro la radice se ne va e la potenza effettiva emessa dipende in proporzionalita' diretta da D. Se grafichi la potenza istantanea e ne fai la media banalmente arrivi allo stesso risultato

Foto UtenteIsidoroKZ aveva pubblicato un articolo su questo
https://www.electroyou.it/isidorokz/wik ... e-watt-rms
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[9] Re: Energia nell'equazione radar

Messaggioda Foto UtenteIanero » 23 lug 2019, 7:12

Da nessuna parte ho tentato di calcolare potenze RMS e altre cose inesistenti come quella. In quale passaggio lo vedi?

Comunque grazie di interessarti al problema.
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[10] Re: Energia nell'equazione radar

Messaggioda Foto Utentelelerelele » 23 lug 2019, 9:00

RenzoDF ha scritto:Da idraulico che sono, evidentemente più che incompetente di sistemi radar.....
Rimango sempre stupefatto, dai livelli raggiunti dagli idraulici ai giorni d'oggi. :mrgreen:

anche un po invidioso.

saluti.
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