Richiesta: testo semplice sulle serie numeriche

[Max2433BO]

Buon dì a tutti, ho bisogno di aiuto sulla spiegazione delle seguenti formule applicate al sistema binario.

Considerando al momento i soli numeri interi, so che, in un sistema numerico posizionato-pesato, i numeri sono rappresentabili secondo la formula:



dove
è la radice (o base) del sistema di numerazione, e rappresenta l'insieme dei caratteri diversi utilizzabili per ogni cifra
è il numero in base
rappresenta la i-esima cifra, appartene all'insieme di caratteri stabiliti dalla base , di cui è composto il numero , con compreso tra e
è il numero delle cifre di cui è composto il numero
è la cifra più significativa (detta MSD: Most Significant Digit)
è la cifra meno significativa (detta LSD [*]: Least Significant Digit)

Quindi in un sistema binario () ogni cifra sarà rappresentata o dal carattere o dal carattere .

Ora, il valore decimale di un numero è dato dalla relazione:


che, in un sistema binario, quindi , diventa:


se pongo ottengo, ovviamente, che , se pongo, invece, , ai tempi delle superiori (... quando c'erano i dinosauri che scorrazzavano per la pianura padana... ) si era dimostrato, empiricamente con esempi, che , mentre il numero massimo di permutazioni di cifre in un numero binario di cifre è pari a .

Ho visto che la spiegazione matematica, non empirica, di questi risultati, dipende dallo studio delle serie numeriche, che, all'ITIS, a suo tempo non venivano trattate.

Visto che sto proponendo, a puntate, un Bignami sull'elettronica digitale, mi piacerebbe dare una spiegazione logica ma, al tempo stesso, se possibile, semplice di quanto sopra.

Per questo vi chiedo se potete indirizzarmi verso dei testi, possibilmente online, che mi possano permettere di capire perché si giunge a tali risultati.

Un ringraziamento anticipato a tutti.

Max

P.S.
[*] da non confondere con LysergSäureDiethylamid... che è tutta un'altra cosa

EDIT:

Ho trovato un altro testo delle superiori (Complementi di matematica - G. Zwernier) che, al paragrafo "Progressioni geometriche" cita il seguente teorema:

La somma di termini consecutivi di una prograssione geometrica, la cui ragione (che equivale alla succitata base o radice) sia diversa da uno, si ottiene moltiplicnado il primo termine della serie per una frazione, il cui numeratore è la differenza tra l'unità e la ragione stessa elevata al numero di termini, mentre al denominatore è la differenza tra l'unità e la ragione

Quindi:



con equivarrebbe a:



... quindi mi rimane da trovare perché il numero delle permutazioni di cifre binarie è pari a ...

[lacoontfreed]

Spero che intendi la rappresentazione dei numeri, se no, ho capito male.
Teorema di rappresentazione dimostrazione

pagina 3 Teorema: Rappresentazione dei Numeri Reali

[Max2433BO]

Quello che cercavo era, perché, in un numero binario, se abbiamo che:



... ma questo l'ho trovato.

Adesso mi rimane da capire perché, dato un numero binario di cifre, il massimo numero di permutazioni uniche possibili delle cifre è pari a ...

... magari nel libro che mi hai suggerito trovo qualcosa, devo guardarci con più calma.

Comunque, grazie lo stesso.

Max

[xyz]

...
Adesso mi rimane da capire perché, dato un numero binario di cifre, il massimo numero di permutazioni uniche possibili delle cifre è pari a ...
...

Non sono permutazioni ma disposizioni con ripetizione.

Devi tenere conto di tutte le disposizioni dei numeri binari con n-cifre che sono appunto , il conteggio parte dal numero zero quindi per i numeri binari vanno da 0 a .

Puoi verificarlo in base 10, per 2 cifre hai 100 () numeri che vanno da 0 a 99 ().

[lacoontfreed]

si dimostra per induzione
è vero per n=0, se è vero per n-1 allora sarà vera anche per n

[Max2433BO]

Quindi posso semplicemente sostenere che, per il teorema che ho citato in [1], si riesce a dimostrare che dato un numero binario di cifre, il numero più grande che si riesce a rappresentare è pari a e, per questo, considerando anche lo le combinazioni possibili che si possono ottenere sono per la rappresentazione dello zero?

Max