Riprendiamo il discorso interrotto in LogicBignami XI sull'esecuzione delle operazioni matematiche principali nel sistema numerico binario, analizzando anche il concetto di overflow.

L'overflow (o traboccamento) si presenta quando, in una macchina di calcolo, a seguito di un'operazione, si supera il massimo numero manipolabile della macchina stessa.

Supponiamo di avere un dispositivo che manipoli numeri binari naturali a [Formula]bit, e supponiamo di voler eseguire la somma tra i numeri e [Formula]:

Il risultato, considerando anche l'ultimo riporto (indicato in blu), è giustamente pari a [Formula] c'è però un problema: abbiamo detto che il nostro circuito può manipolare solo bit, quindi potrà "vedere" soltanto i primi [Formula]bit del risultato e, per tanto, otterremo un risultato errato.

In questa terza parte vedremo come eseguire le principali operazioni matematiche con i sistemi di numerazioni diversi da quello decimale e vedremo come rappresentare i numeri negativi.

Nei diversi sistemi numerici si applicano le medesime regole della matematica che già conosciamo per il sistema numerico decimale e, nello specifico, non volendo uscire dal target di questi articoli, per quelli di nostro interesse (esadecimale, ottale e binario), illustreremo solamente come eseguire le [Formula] operazioni di base: somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

In particolare approfondiremo maggiormente le operazioni matematiche eseguite con i numeri binari essendo questi manipolabili direttamente tramite circuiti elettronici basati sulla logica booleana a due elementi.

Nell'articolo precedente, LogicBignami (IX), abbiamo presentato i sistemi numerici binario, ottale e esadecimale, e abbiamo visto come da questi sia possibile risalire al corrispondente valore nel sistema numerico decimale.

Adesso proseguiamo qui il discorso, analizzando la conversione opposta, ossia il passaggio dal sistema numerico decimale verso un qualsiasi altro sistema numerico e, in particolare, verso i tre appena nominati.

Il metodo delle divisioni successive è applicabile per la conversione di un numero decimale intero (o della parte intera di un numero frazionario) verso un qualsiasi altro sistema numerico.

In pratica si tratta di dividere, una prima volta, il numero decimale per la radice, o base, del sistema numerico verso cui vogliamo effettuare la conversione, ricavandone quoto e resto: questo primo resto rappresenta la cifra meno significativa (LSD o LSB per i numeri binari) del numero verso cui stiamo effettuando la conversione.

Era mia intenzione trattare il seguente argomento quando se ne fosse presentata l'opportunità durante l'illustrazione del funzionamento di alcuni circuiti di logica combinatoria (soprattutto nei decodificatori), ma poi ho ritenuto più opportuno, per non disperdere troppo la teoria, di inserire questo capitolo come "addendum" nella serie sulla riduzione delle funzioni booleane.

Negli ultimi tre articoli (LogicBignami (VI), LogicBignami (VII) e LogicBignami (VIII)) abbiamo visto tre metodi che ci permettono di attuare la riduzione di una funzione booleana in formato canonico.

Fino ad ora abbiamo considerato tabelle della verità in cui gli stati logici relativi alla funzione booleana d'uscita erano o a [Formula] logico (stato logico "falso") o a logico (stato logico "vero").

Visto che la serie di articoli si sta allungando, e, ad ogni nuova uscita, mi tocca aggiornare, in ogni singolo articolo, l'elenco di quelli collegati, ho pensato di riunire il tutto in questo indice, in modo da doverne aggiornare un solo.

Spero, inoltre, possa far piacere trovare una mini descrizione, di cosa tratta ogni singolo LogicBignami, se questo non si evince chiaramente dal titolo riportato nell'indice.

Elementi di algebra - Palatini Faggioli Complementi di matematica - ZwirnerAlgebra di commutazione - Walter Ruggeri Corso di elettronica digitale integrata - Bellafemmina Sargenti Tamburini Fundamentals of logic design - Roth jr. Kinney Digital logic circuit analysis & design - Nelson Nagle Irwin Carroll Manuale di elettronica e telecomunicazioni - AA. VV. Elettronica industriale - Mialich Rossi Automazione industriale - Celati Esercizi e applicazioni di elettronica integrata - Panella Spalierno Tecnologia delle costruzioni elettroniche - Lotti Calcinaro

Come annunciato in chiusura dell'articolo precedente (LogicBignami (VIII)) prima di illustrare come funziono alcuni dispositivi standard (cioè realizzati tramite un unico dispositivo integrato) realizzati in "logica combinatoria", analizzeremo i sistemi di numerazione (e codifica), questo perchè molti di questi circuiti sono stati realizzati proprio per manipolare numeri e/o codici.

I sistemi numerici che analizzeremo saranno tutti del tipo posizionale/pesato, intendendo che il valore assunto da una cifra (o digit) appartenente ad un numero qualsiasi, dipende, oltre che dal valore assunto dalla cifra stessa, anche dalla posizione che questa occupa all'interno del numero stesso.

L'esempio più semplice ci viene dal sistema decimale che usiamo tutti i giorni: in questo sistema sappiamo che ogni cifra può assumere un valore intero compreso tra [Formula] e [Formula] e, a seconda della posizione che assume all'interno del numero stesso, viene moltiplicata per potenze di .

Dopo aver visto la riduzione di una funzione booleana mediante il metodo algebrico (LogicBignami (VI)) e mediante il metodo "grafico" delle mappe di Karnaugh (LogicBignami (VII)) analizziamo, adesso, un metodo, cosiddetto "tabellare", il Quine-McCluskey.

Questo metodo si presta ad essere tradotto in una routine da far svolgere ad un elaboratore dati, questo permette la riduzione di una funzione booleana con un numero qualsiasi (*) di variabili booleane, a differenza del metodo utilizzante le mappe di Karnaug che, come abbiamo detto nel precedente articolo LogicBignami (VII), oltre le 5 variabili booleane si complica eccessivamente.

(*) In realtà le tempistiche per la soluzione del problema di riduzione della funzione booleana con il metodo Quine-McCluskey cresce in maniera esponenziale all'aumentare del numero di variabili booleane da trattare, tant'è che, al di spora della decina di variabili booleane, convengono altri sistemi di riduzione di tipo euristico, la cui descrizione, però, esula l'impostazione data a questa serie di articoli divulgativi.

Dopo aver analizzato la riduzione delle formule booleane con il metodo algebrico (vedi LogicBignami (VI)) vediamo adesso un sistema "grafico" che ci permette la riduzione senza ricorrere a nessun passaggio matematico.

Questo metodo risulta applicabile in maniera semplice per funzioni booleane con un massimo di 5 variabili, oltre tale numero l'utilizzo delle mappe di Karnaugh si complica, in questi casi si deve ripiegare sul metodo algebrico già visto, o sul metodo della tabulazione o di Quine-McCluskey che vedremo in seguito.

Le mappe di Karnaugh rappresentano un particolare sistema di visualizzare i mintermini (o maxtermini) di una tabella della verità sotto forma di griglia.

Per trasformare una tabella della verità in griglia si dovranno suddividere le variabili booleane in due gruppi: un gruppo individuerà le colonne e l'altro le righe.

In LogicBignami (IV) abbiamo visto, dall'analisi dei mintermini o dei maxtermini, come sia possibile ricavare la funzione booleana della variabile d'uscita [Formula] realtiva ad una qualsiasi tabella della verità.

Le funzioni così ottenute vengono definite in formato canonico in quanto ogni termine prodotto logico (nel caso dei mintermini) o somma logica (nel caso dei maxtermini) contiene sempre tutte le variabili d'ingresso da a [Formula].

Così, ad esempio, le funzioni:

e

[Formula]

sono entrambe in formato canonico in quanto in tutti i termini sono sempre presenti tutte e tre le variabili [Formula], , e [Formula] seppur diversamente complementate.

Da queste funzioni logiche in formato canonico abbiamo visto, nell'articolo precedente riguardanti le porte logiche EX-OR e EX-NOR (LogicBignami (V)), come sia possibile ricavarne il circuito digitale (in logica AOI, NAND o NOR) che la realizzi.

Prima di vedere come si possono ridurre le funzioni logiche ricavate come indicato nel precedente articolo LogicBignami (IV), con quello che adesso conosciamo delle tabelle della verità, possiamo concludere quello che avevamo lasciato in sospeso ossia l'analisi della funzione logica EX-OR e delle porte logiche EX-OR e EX-NOR.

Nell'articolo LogicBignami (II), abbiamo visto che la tabella della verità della funzione logica EX-OR è la seguente:

Possiamo così ricavare la funzione , che avevamo preannunciato nel summenzionato articolo, dall'analisi dei mintermini corrispondenti allo stato logico 1 della funzione stessa:

La porta logica, che realizza la funzione EX-OR, avrà lo stesso simbolo grafico, la stessa tabella della verità e funzione logica in cui, al posto delle funzione booleane, in ingresso, avremo le variabili d'ingresso : e [Formula]: