Impedenza d'ingresso (o d'uscita): cos'è?

[rugweri]

Rieccomi con una delle mie domande teoriche assurde

Stavolta chiedo: cosa sono davvero l'impedenza d'ingresso e l'impedenza d'uscita di un circuito?

Alcuni testi di elettrotecnica (Alexander-Sadiku, ad esempio) e vari testi sull'analisi dei circuiti (io per ora, seguendo un consiglio di IsidoroKZ letto in un topic qualche giorno fa, sto leggendo il Vorpérian) la descrivono come una funzione di trasferimento, ma questa definizione confligge con una proprietà fondamentale delle funzioni di trasferimento che trova le sue radici nella teoria matematica dei sistemi: il loro denominatore, dato il sistema da studiare, deve essere sempre lo stesso, e precisamente deve corrispondere al polinomio caratteristico della matrice di stato del sistema. Per notare la discrepanza, basta pensare al banalissimo circuito RC serie: il denominatore della sua funzione di trasferimento in tensione non è assolutamente uguale al denominatore della sua impedenza d'ingresso.

D'altra parte, altri testi di elettrotecnica (Perfetti e Glisson, ad esempio) non riportano le impedenze d'ingresso e uscita tra le funzioni di trasferimento: Perfetti le indica genericamente come "funzioni di rete", mentre Glisson si limita a generalizzare il concetto di resistenza. Questo approccio, però, non è mai (almeno nei testi che ho avuto modo di vedere io) accompagnato da un'adeguata spiegazione formale. Inoltre, ad aggravare la situazione, non c'è (o almeno io non riesco a trovare) un solo motivo per cui le impedenze d'ingresso e d'uscita non dovrebbero essere funzioni di trasferimento: ne rispettano pienamente la definizione, in effetti.

In pratica, confusione ovunque: formalmente le impedenze d'ingresso e uscita dovrebbero essere funzioni di trasferimento, tuttavia non ne rispettano le proprietà. Dunque, ecco la domanda: come funziona davvero?

[MarkyMark]

I poli di una funzione di trasferimento sono determinati dalla struttura fisica del sistema e non dall'eccitazione o dalla risposta [Vorpérian]. Secondo me impedenza/ammettenza di ingresso/uscita sono delle funzioni di trasferimento come tutte le altre; si sta solo scegliendo di osservare la risposta alla stessa porta dove si è applicata l'eccitazione. Quando si calcola una funzione di trasferimento bisogna fare attenzione al tipo di eccitazione che si usa e a dove la si applica dato che queste due scelte possono modificare la struttura del circuito. Faccio l'esempio del circuito RC serie che hai citato.

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La fdt V/I è l'impedenza di ingresso del circuito e vale
.
Si ha un polo nell'origine.
La rete resa passiva è

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Quando calcoli la fdt in-out in tensione (se ho capito bene cosa intendi), il circuito è il seguente

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e

quindi il polo non è nell'origine. Il problema è che la rete resa passiva in questo caso è diversa da quella del caso precedente, a causa dell'eccitazione in tensione che si è usata.

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C'è una parte sul Vorpérian che parla di come inserire le eccitazioni quando si calcolano le fdt. Penso che anche "Teoria dei circuiti elettronici" di Beccari sia una lettura interessante.

[Ianero]

Potrebbe essere che stai confrontando la funzione di trasferimento tensione_in-tensione_out del circuito RC con una cosa diversa, ovvero la funzione di trasferimento tensione_in-corrente_in?

Vedo che ha già fatto MarkyMark :)

[rugweri]

Grazie per le risposte

Però, MarkyMark, qualcosa non torna: secondo il tuo ragionamento (che è poi lo stesso di Vorpérian da cui è partito il mio dubbio), allora anche i circuiti per la FdT corrente d'ingresso -> corrente d'uscita e per la FdT tensione d'ingresso -> tensione d'uscita dovrebbero differire tra loro e dunque le due FdT dovrebbero avere poli differenti

[MarkyMark]

Mi pare sia proprio così. Le funzioni di trasferimento di un circuito hanno gli stessi poli (non è proprio vero ) a patto che la rete resa passiva sia sempre la stessa. Per esempio, prendendo il solito RC serie

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posso inserire dei generatori di corrente tra due nodi del circuito e dei generatori di tensione in serie a un ramo

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in modo da non modificare la struttura del circuito. Tutte le funzioni di trasferimento di quel circuito, tra qualsiasi eccitazione e qualsiasi uscita, dovrebbero avere il polo nell'origine.

[rugweri]

(non è proprio vero )

In realtà per la teoria matematica dei sistemi dovrebbe essere così... ma forse la tua puntualizzazione mi ha fatto capire
Butto giù una riflessione: di fatto, quando calcoliamo una FdT "standard" noi non andiamo a modificare strutturalmente il circuito in sé: qualsiasi cosa mettiamo all'ingresso, da lì "in poi" il circuito è sempre quello fino all'uscita.

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Quando calcoliamo le impedenze, invece, di fatto qualcosa modifichiamo: dato che stiamo mettendo un generatore di qualcosa (corrente/tensione) all'ingresso ma di fatto l'ingresso e l'uscita si corrispondono in termini strutturali, in effetti noi stiamo sia fornendo l'eccitazione al circuito che imponendo delle condizioni sul punto d'uscita (circuito aperto o corto circuito) che cambiano la struttura del circuito. Ti torna?

[MarkyMark]

...dato che stiamo mettendo un generatore di qualcosa (corrente/tensione) all'ingresso ma di fatto l'ingresso e l'uscita si corrispondono in termini strutturali, in effetti noi stiamo sia fornendo l'eccitazione al circuito che imponendo delle condizioni sul punto d'uscita (circuito aperto o corto circuito) che cambiano la struttura del circuito. Ti torna?

Questo mi torna. Però

...qualsiasi cosa mettiamo all'ingresso, da lì "in poi" il circuito è sempre quello fino all'uscita.

non mi torna tanto. I poli di un sistema sono gli autovalori della matrice di stato e questa matrice cambia se all'ingresso metto un generatore di tensione oppure un generatore di corrente. Prendo di nuovo il circuito RC serie e supponiamo che la risposta che si sta osservando sia sempre la tensione sul condensatore.
Eccitazione in tensione:

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Polo finito in .

Eccitazione in corrente:

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polo nell'origine.
In questo caso non ho imposto vincoli sulla porta di uscita. Cosa ne pensi?

[MarkyMark]

Il mio "non è proprio vero" era riferito al fatto che i poli di una funzione di trasferimento sono un sottoinsieme dei poli del circuito quindi non sempre si possono trovare tutti i poli del circuito calcolando i poli di una qualsiasi fdt :)

[Ianero]

Probabilmente farò un intervento debole, ma il circuito non dovrebbe essere sempre un sistema diverso di volta in volta se lo si pensa come tensione->tensione, tensione->corrente, corrente->tensione, corrente->corrente?
E' differente la maniera con cui trasforma i differenti tipi di segnali.

In particolare lo stesso circuito, se non faccio errori logici, lo possiamo schematizzare in tanti modi, ad esempio:

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a seconda di chi per noi è il segnale che iniettiamo e chi quello che leggiamo.
Scusatemi se la mia risposta non è molto significativa, ma è per specificare il mio sospetto su questa:

noi non andiamo a modificare strutturalmente il circuito in sé

[rugweri]

Ho trovato la risposta... in un libro che avrei dovuto consultare immediatamente
La tua discussione sulla variazione dei poli, MarkyMark mi ha fatto riflettere: e se fosse un problema di modello?

Matematicamente, la matrice di stato non può dipendere dall'ingresso del sistema... ma di fatto il tuo esempio ci dimostra che cambiare il generatore può cambiare la matrice di stato. A questo punto, è chiaro che il generatore non si limita a fornire l'ingresso ma di fatto modifica attivamente il circuito. Partendo da questa evidenza, mi è balenato in testa un lontano ricordo del discorso di Rossetto sulle "FdT d'interfaccia"... e sono andato a guardare: lui spiega molto bene che di fatto il modello "elettrotecnico" di un circuito cela qualcosa di molto più complesso e delle assunzioni non banali, e soprattutto mostra bene quanto sottolineato da Ianero: in effetti, in base a quel che si valuta le trasformazioni applicate all'ingresso non sono le stesse!!!
L'esempio più ovvio ce l'abbiamo proprio confrontando l'impedenza d'ingresso e la FdT tensione/tensione: nel primo caso l'ingresso fa il giro del circuito e "ritorna", nell'altro semplicemente attraversa il circuito.
Un altro esempio ovvio è quello che hai fatto tu con il circuito RC: di fatto, la tensione viene trasformata secondo la legge del partitore, mentre la corrente subisce una trasformazione totalmente diversa.
Ora ho capito