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da **lillo** » 27 mar 2020, 11:57

e mentre provo inutilmente a risolvere il problema in [1], provo a dare un input per il problema in [6]:

$n\times 0=n\times (0+0)=$ ......

da **Ianero** » 27 mar 2020, 12:20

Grazie

lillo di interessarti :-)

Se ti fa piacere, ti faccio vedere come l'ho approcciato io (altrimenti non leggere questo messaggio da qui in poi :mrgreen:

).

Chiamiamo $E=\{n\in\mathbb{N}| \text{l'asserto è vero }\forall k\leq n\}$ .
Per l'assioma di associatività della somma in $\mathbb{R}$ , abbiamo che $(x_1+x_2)+x_3=x_1+(x_2+x_3)\implies 3\in E$ .
Supponiamo che $n\in E$ , ovvero che $\sum_{k=1}^n x_k$ sia indipendente dalla disposizione delle parentesi, e verifichiamo se $n+1\in E$ . Fissata la prima, tra le n addizioni da svolgere:

$x_1+x_2+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n+x_{n+1}$

il risultato sarà univocamente determinato, poiché per ipotesi induttiva le successive parentesi saranno ininfluenti (dopo aver fissato la prima somma $(x_i+x_{i+1} )$ , ciò che resta è una somma di soli n addendi).
Supponiamo per assurdo che due diverse scelte dell’addizione iniziale diano due risultati diversi:

$S_1=x_1+x_2+...+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n+x_{n+1}$
$S_2=x_1+x_2+...+(x_j+x_{j+1} )+...+...+x_n+x_{n+1}$
$S_1\neq S_2$

Prendiamo in considerazione per il momento solo le scelte iniziali che non contengano $x_{n+1}$ .
Siccome per ipotesi induttiva è possibile distribuire le successive parentesi a piacimento, possiamo scrivere:

$S_1=[x_1+x_2+...+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n ]+x_{n+1}$
$S_2=[x_1+x_2+...+(x_j+x_{j+1} )+...+...+x_n ]+x_{n+1}$

Se $S_1\neq S_2\implies S_1-x_{n+1}\neq S_2-x_{n+1}\implies$

$[x_1+x_2+...+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n]+x_{n+1}+(-x_{n+1} )\neq$
$\neq[x_1+x_2+...+(x_j+x_{j+1})+...+...+x_n]+x_{n+1}+(-x_{n+1})$

che è, per entrambi i membri, la somma di tre addendi. Poiché $3\in E$ , posso equivalentemente scrivere che:

$[x_1+x_2+...+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n ]+[x_{n+1}+(-x_{n+1} ]\neq$
$\neq [x_1+x_2+...+(x_j+x_{j+1} )+...+...+x_n ]+[x_{n+1}+(-x_{n+1})]$

$[x_1+x_2+...+...+(x_i+x_{i+1} )+...+x_n ]\neq [x_1+x_2+...+(x_j+x_{j+1} )+...+...+x_n ]$

che è assurdo per ipotesi induttiva.
La dimostrazione fin qui condotta non è valida nel caso in cui si prendono in considerazione, per l’ipotesi per assurdo, scelte iniziali che contengano $x_{n+1}$ . Nel caso in cui una tra le due sia proprio $(x_n+x_{n+1})$ , come facciamo? :-P

da **MonkeyDRufy** » 27 mar 2020, 16:18

Io avrei trovato questa soluzione:

Ipotizziamo vero per n-1 e consideriamo la somma di n reali:

a_1 +... + a_n

Mettiamo le parentesi in modo casuale (spezzando in 2 la serie)

$S_1 = (a_1 +... +a_i) + (a_{i +1} +... a_n)$

$S_2 = (a_1 +... +a_k) + (a_{k+1} +... + a_i + a_{i+1} +... +a_n)$

Ovviamente si può porre a_i nell'addendo di destra o sinistra senza ledere di generalità.

Ora abbiamo S_1 = H + K

Ed $S_2 = (a_1 +... + a_k) + (a_{k+1} +... + a_i + K)$ che è uguale ad (a_1 +... + a_i) + K = H+K

da **Ianero** » 27 mar 2020, 17:17

MonkeyDRufy ha scritto:Ora abbiamo
Ed $S_2 = (a_1 +... + a_k) + (a_{k+1} +... + a_i + K)$ che è uguale ad

E come fai a dirlo? E' quello che devi dimostrare nel caso

, hai utilizzato la tesi come ipotesi.

da **MonkeyDRufy** » 27 mar 2020, 17:33

Ianero ha scritto:
E come fai a dirlo?

Perché ho supposto valido per n-1

da **Ianero** » 27 mar 2020, 17:40

Ma in quella somma dove hai riarrangiato le parentesi ( S_2

) ce ne sono

di termini, non n-1

.

da **MonkeyDRufy** » 27 mar 2020, 17:53

Non ti seguo, l'unico caso per cui la somma rimane di n termini è quando K = a_n ma anche in questo caso si può facilmente aggirare l'ostacolo prendendo a modello S_2 piuttosto che S_1 e vice versa

da **Ianero** » 27 mar 2020, 17:56

Quando scrivi questo:

MonkeyDRufy ha scritto:Ora abbiamo
Ed $S_2 = (a_1 +... + a_k) + (a_{k+1} +... + a_i + K)$ che è uguale ad

Stai dicendo che questo:

$(a_1 +... + a_k) + (a_{k+1} +... + a_i + a_{i+1}+...+a_n)$

è la stessa cosa di questo:

$(a_1 +... + a_k + a_{k+1} +... + a_i) + (a_{i+1}+...+a_n)$

che è esattamente quello che devi dimostrare, perché hai redistribuito le parentesi su una somma di

termini, e nessuno ti garantisce che lo puoi fare senza che il risultato cambi.

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