ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **silvia1996** » 3 feb 2021, 2:01

gill90 ha scritto:Per la 5 hai a disposizione:

[..]

Guarda, sono rimasta a bocca aperta :-o

per la spiegazione così chiara. Davvero complimenti, oltre ad essere così bravo per te stesso, sai anche spiegare e condividere con gli altri; grazie mille. Hai proprio ragione, le manipolazioni vettoriali sono indispensabili ed io non ho queste tue capacità, non riesco ad incastrarle in questo modo. Mi sto scrivendo tutta la spiegazione cercando di ricordarmela ed applicarla su altri esercizi. Praticamente l'esercizio era su un campo non conservativo (somma di parte cons + parte non cons). In questo modo viene E=(d-ax)i (risposta d).

da **silvia1996** » 3 feb 2021, 2:30

CIao,

Per 4 e 7 (essendo simili), la densità di corrente di magnetizzazione jm presente all'interno del materiale viene =0 facendo ∇XM in tutti e due i casi. Per cui le risposte sarebbero a) in entrambi i casi vero?

Rimangono da fare 1,2 e 12. Per 1 e 2 non saprei cosa applicare

. Per la 12, la circuitazione del campo B lungo una linea chiusa non è sempre nulla per il Teorema di Gauss per B (seconda eq di Maxwell)? risposta d)

da **silvia1996** » 3 feb 2021, 22:27

Ciao,

Di nuovo io :)
Per la 1, sarebbe come calcolare il potenziale di un filo sul suo asse nel punto β vero? Per il principio di sovrapposizione sommo 2 volte: $\frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}\sqrt {{\beta ^2} + {\alpha ^2}} }}$ e viene $\frac{q}{{2\pi {\varepsilon _0}\sqrt {{\beta ^2} + {\alpha ^2}} }}$ --> risposta b).

Per la 2 devo riuscire a passare dal vettore di polarizzazione alla densità di carica superficiale ma non so come ...

da **silvia1996** » 3 feb 2021, 23:19

Per la 2 credo che la risposta sia la a), in quanto σp(x=0) = P(-i)= -α e σp(x=d)=P(i)=α

da **gill90** » 4 feb 2021, 0:13

Sono contento ti sia stato d'aiuto ;-)

Facciamo un recap:
Innanzitutto da che vedo per gran parte delle risposte ti basta conoscere: le equazioni di Maxwell

$1) \nabla \cdot \overline{E} ={\frac {\rho }{\varepsilon}}$

$2) \nabla \cdot \overline {B} =0$

$3) \nabla \times \overline{E} =-{\frac {\partial \overline{B} }{\partial t}}$

$4) \nabla \times \overline{B} =\mu\left(\overline{J} +\varepsilon{\frac {\partial \overline{E} }{\partial t}}\right)$

Qualche equazione costitutiva e di proprietà dei materiali (conducibilità, polarizzazione e magnetizzazione superficiali/volumiche)

$\overline {J} = \sigma \overline{E}$

$\sigma_P = \overline{P} \cdot \overline{n} \;\; ; \;\;\; \;\; \;\;\; \rho_P = - \nabla \cdot \overline{P}$

$J_{Ms} = \overline{M} \times \overline{n} \;\; ; \; \;\; \overline {J}_{Mv} = \nabla \times \overline{M}$

E qualche proprietà degli operatori

$\nabla \cdot (\nabla \times \overline{F}) = 0$
$\nabla \times (\nabla \overline{F}) = 0$
$\nabla \times (\nabla \times \overline{F}) = \nabla (\nabla \cdot \overline F) - \nabla^2 \overline F$
$\nabla \cdot (\nabla \overline{F}) = \nabla^2 \overline F$

Ricombinandole riesci a trovare la risposta a gran parte dei questiti sull'elettromagnetismo.

Detto ciò, la 5 è corretta (brava), la 6 pure, la 8 anche, la 11 pure, 4 e 7 ok e 1 anche.

La 10 invece non è giusta: riprendi le eq di Maxwell 1) e 3), e ricordando le proprietà degli operatori (che ho usato anche nella risposta precedente) scopri quando puoi definire un potenziale (sempre come gradiente del campo elettrico) e ricavare l'equazione di Poisson. Non potrai farlo sempre ma solo se...

La 12 nemmeno, riguarda la 4) di Maxwell.

La 9 non mi convince in realtà perché mi sarei aspettato dei segni meno in una delle risposte, quindi non saprei quale possa essere.. Azzarderei che le alternative sono sbagliate ma può essere che abbia fatto degli errori di calcolo io

Nemmeno la 2 mi torna tra le alternative... Sicura che sia scritta giusta?

da **silvia1996** » 4 feb 2021, 3:47

Praticamente, sei riuscito a riassumere pagine e pagine di appunti e nozioni in un paio di righe ... sono semplicemente sbalordita e mi sono appena stampata queste preziose righe. Davvero molto grata.
Ti vorrei ringraziare anche per aver controllato tutte le altre risposte, mi ha tranquillizata, molto molto d'aiuto, non immagini quanto.

Per la 10, in effetti ∇XE deve essere = 0, che il campo sia conservativo, per cui che il potenziale elettrico sia statico. In effetti, ∇XE=0 vale solo per l'elettrostatica, non sempre. Grazie, grazie davvero.

Per la 12, se E uniforme e crescente linearmente nel tempo, e tenendo conto della 4) di Maxwell (positivo in parentesi), allora anche B è crescente linearmente nel tempo vero?... se non sono troppo fusa a quest'ora.

Per la 9, come suggerito da Folgore98, sono andata sul link: https://it.wikipedia.org/wiki/Onda_elet ... conduttori . Non ho fatto i calcoli

. Però diciamo che se mi capitasse all'esame non mi azzarderei a provare a risolverla.

Per la 2 ho ricontrollato, non ho soltanto messo i versori per il vettore P=αxi+βj-2βz. Siccome il dielettrico è spesso d (da 0 a d lungo x), ho pensato che la carica superficiale σp (per x=0) ha verso opposto delle x crescenti --> -2. Mentro x=d il verso è concorde alle x crescente, per cui +2. σp(x=0) = P(-i)= -α mentre σp(x=d)=P(i)=α. Questo perché la superficie del dielettrico è sul piano y,z e soltanto lungo x posso considerare la direzione della carica superficiale. Non so se sto ragionano in modo corretto però.

da **gill90** » 5 feb 2021, 0:00

E sulla 10 ci siamo!

Per la 12,

Evidentemente eri un po' fusa per l'ora si :mrgreen:

guarda come dipende $\overline B$ da $\overline E$ : non c'è una semplice proporzionalità tra i due.

Per la 9,

Allora rivediamola così ricontrollo i conti anche io: partendo dalla 4) di Maxwell, deriviamo ambo i membri rispetto al tempo:

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla \times \overline{B}\right) =\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu\overline{J} +\mu \varepsilon{\frac {\partial \overline{E} }{\partial t}}\right)$

$\nabla \times \frac{\partial \overline{B}}{\partial t} =\mu\frac{\partial \overline{J}}{\partial t} +\mu \varepsilon \frac{\partial^2 \overline{E}}{\partial t^2}$

Ora, ricordando la relazione costitutiva per la corrente $\overline {J} = \sigma \overline{E}$ e la 3) di Maxwell (3) (appare la derivata temporale di $\overline B$ cambiata di segno), possiamo riassemblare così:

$\nabla \times \left(- \nabla \times \overline{E} \right)=\mu\sigma\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} +\mu \varepsilon \frac{\partial^2 \overline{E}}{\partial t^2}$

Ora utilizza la formula per il rotore del rotore (sempre tra le proprietà degli operatori) cioè $\nabla \times (\nabla \times \overline{E}) = \nabla (\nabla \cdot \overline E) - \nabla^2 \overline E$ , e la 1) di Maxwell che nel caso di metalli non avranno densità di carica interna (cioè hai $\nabla \cdot \overline{E} =0$ ), ottieni alla fine:

$\nabla^2 \overline{E} = \mu\sigma\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} +\mu \varepsilon \frac{\partial^2 \overline{E}}{\partial t^2}$

Che riportata tutta nel membro a sinistra ti dà:

$\nabla^2 \overline{E} - \mu\sigma\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} -\mu \varepsilon \frac{\partial^2 \overline{E}}{\partial t^2}=0$

E non mi pare che tra le risposte ce ne sia una con i segni meno, pertanto mi suona strano...
Controlla se non hai dimenticato un meno nella trascrizione delle risposte, in caso contrario non c'è una risposta corretta

Per la 2,

Mi pareva

Allora devi utilizzare la formula che lega densità superficiale di carica e polarizzazione ( $\sigma_P = \overline{P} \cdot \overline{n}$ ), in particolare ti basta calcolare il valore di $\overline{P}$ nei due punti di interesse (x=0 e x=d) e fare il prodotto scalare con la normale del piano, che è diretta lungo...

da **silvia1996** » 5 feb 2021, 0:36

gill90 ha scritto:Evidentemente eri un po' fusa per l'ora si guarda come dipende da : non c'è una semplice proporzionalità tra i due.

non essendoci una semplice proporzionalità tra i due, allora non cresce o decresce linearmente nel tempo; mi dispiace, ma non capisco come la circuitazione del campo B possa essere costante.

gill90 ha scritto:Mi pareva Allora devi utilizzare la formula che lega densità superficiale di carica e polarizzazione (), in particolare ti basta calcolare il valore di nei due punti di interesse (x=0 e x=d) e fare il prodotto scalare con la normale del piano, che è diretta lungo...

è diretta lungo x vero? Così σp(x=0)=P(-i)=-α mentre σp(x=d)=P(i)=α. Per quello pensavo che risposta a) fosse quella corretta.

adesso ricontrollo anche la 9

e grazie di nuovo, in primis per la pazienza :oops:

da **silvia1996** » 5 feb 2021, 1:30

silvia1996 ha scritto:è diretta lungo x vero? Così σp(x=0)=P(-i)=-α mentre σp(x=d)=P(i)=α. Per quello pensavo che risposta a) fosse quella corretta.

Ho un dubbio ora; se P=αx+β-2β, la risposta a) non dovrebbe essere -αx e +αx?

gill90 ha scritto:Controlla se non hai dimenticato un meno nella trascrizione delle risposte, in caso contrario non c'è una risposta corretta

Ho ricontrollato ma niente, non c'è traccia di sengo "-" ... può essere che nelle soluzioni ci sia un errore. Però così ho potuto aggiungere lo svolgimento agli appunti preziosi

. Ci fossero stati i segni "-" credo che intendeva la soluzione a).

da **gill90** » 5 feb 2021, 1:37

Non ti preoccupare, l'importante è che capisci come fare ;-)

silvia1996 ha scritto:mi dispiace, ma non capisco come la circuitazione del campo B possa essere costante.

Se $\nabla \times \overline{B} =\mu\left(\overline{J} +\varepsilon{\frac {\partial \overline{E} }{\partial t}}\right)$ , in forma differenziale, allora applicando il teorema del rotore e trasformando in forma integrale (intuitivamente hai un'idea della differenza?) ottieni (supponiamo $\overline J = \overline 0$ dato che il testo non assume la presenza di correnti):

$\oint_{\partial S}{\overline{B} \cdot d\overline l}=\iint_S\mu\varepsilon{\frac {\partial \overline{E} }{\partial t}}\cdot d\overline S$

Che ti dice che la circuitazione di $\overline{B}$ lungo una linea $\partial S$ che è il bordo di una superficie

(che scegli tu arbitrariamente) è un integrale di superficie della derivata temporale di $\overline{E}$ . Ora la superficie non ha molta importanza, ma quello che conta è il termine dentro all'integrale: se $\overline{E}$ aumenta linearmente nel tempo (ad esempio $\overline{E}=\alpha t \hat i$ ), allora la sua derivata temporale vale...

silvia1996 ha scritto:è diretta lungo x vero? Così σp(x=0)=P(-i)=-α mentre σp(x=d)=P(i)=α

Ni, nel senso che è sì diretta lungo x, però calcoli male i valori: quanto vale $\overline P(0)$ ? E $\overline P(d)$ ? Una volta che avrai trovato quei valori, in base a quello che correttamente dici la superficie avrà normale diretta lungo x, e quindi con il prodotto scalare $\sigma_P = \overline{P} \cdot \overline{n}$ rimarranno solo le componenti $\hat i$ del tuo vettore polarizzazione.
Ti torna?

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