Zeri del limite di una funzione

[polaris006]

Buongiorno a tutti,
sto cercando in rete se esista un teorema un enunciato in analisi complessa sul limite degli zeri di una funzione. Ho una funzione complessa in :



con , dove è un parametro e e delle costanti.

Siccome vale il seguente limite



allora



Dal momento che è il limite di , cosa posso dire del limite degli zeri di ?
Dal punto di vista numerico so che aumentando due zeri di tendono a zero e infatti ha due zeri in zero. Ma c'è un enunciato, una proposizione matematica che, sotto certe ipotesi, dica qualcosa sul limite degli zeri di una funzione o sugli zeri del limite di una funzione?

[IsidoroKZ]

Se la funzione fosse lineare in sembrerebbe un problema di luogo delle radici che si sa come calcolare, almeno asintoticamente. Con funzioni non lineari del parametro forse si puo` fare qualcosa di simile.

Meglio domandare a chi sa, vero dimaios e PietroBaima?

[gill90]

Io invece non ho capito bene la richiesta: ti interessa sapere come variano gli zeri di al variare del parametro ?

[PietroBaima]

Essendo la f non lineare non puoi fare molto, però puoi comunque dimostrare che se aumenti allora due soluzioni vanno a zero in modo piuttosto semplice.

Dalla equazione sai che



e che



se abbiamo



quindi significa che almeno una delle quattro soluzioni deve essere zero. Supponiamo sia (se poi è un’altra non cambia nulla) e applichiamo la condizione alla seconda equazione:



che significa che almeno un’altra deve essere nulla.
Questo vale anche se è una funzione di una variabile esterna.

[polaris006]

Scusate se tardo nel rispondere, ero convinta di aver attivato le notifiche per eventuali risposte, ma non le ho ricevute.
Grazie per le vostre risposte!

Dalla equazione sai che



e che

Chiedo scusa, probabilmente è una cosa ovvia, ma non mi è chiarissima questa premessa.
Grazie

[PietroBaima]

Il termine noto dell’equazione di partenza è il prodotto delle soluzioni, mentre il termine di primo grado è l’opposto della somma delle permutazioni del prodotto delle soluzioni a cui ne manca una.
Il termine di secondo grado è la somma delle permutazioni del prodotto delle soluzioni a cui ne mancano due eccetera eccetera (ricordando di alternare i segni).





eccetera eccetera

[polaris006]

Gentilissimo, grazie mille!

[PietroBaima]

Ah, naturalmente vale solo per polinomi monici.

[dimaios]

Personalmente avrei approcciato algebricamente l'equazione visto che il 4° grado può essere risolto in forma chiusa.
Le soluzioni ( complesse ) saranno funzione del parametro e si può tracciare l'andamento degli zeri in funzione della sua variazione.
Al limite la soluzione dovrebbe coincidere con quella indicata nel post iniziale.